LA PROBABILITA’. CHE COS’E’? La probabilità di un evento è il quoziente tra il numero dei casi favorevoli a quell’evento e quello dei casi possibili quando.

Slides:



Advertisements
Presentazioni simili
Dr. Marta Giorgetti Esercizi Calcolo combinatorio, spazio degli eventi, probabilità, indipendenza, teorema di Bayes.
Advertisements

Elementi di calcolo delle probabilità
La probabilità nei giochi
La Matematica tra Gioco e Realtà
Definizione di probabilità, calcolo combinatorio,
La probabilità.
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The.
Corsi Abilitanti Speciali Classe 59A III semestre - 3
Bruno Mario Cesana Stefano Calza
Definizioni di probabilità
Definizioni Chiamiamo esperimento aleatorio ogni fenomeno del mondo reale alle cui manifestazioni può essere associata una situazione di incertezza. Esempi:
Marco Riani STATISTICA A – K (60 ore) Marco Riani
Calcolo delle Probabilità
Torna alla prima pagina Sergio Console Calcolo Combinatorio e cenni di calcolo delle Probabilità Istituzioni di Matematiche Scienze Naturali.
Esempio Ritorniamo al caso illustrato con i diagrammi di Venn e
Elementi di Calcolo delle Probabilità
verificarsi di un evento probabilità di vincere
Corso di biomatematica Lezione 2: Probabilità e distribuzioni di probabilità Davide Grandi.
LA PROBABILITA’.
Corso di Probabilità e Inferenza 1
lezione del 10 aprile 2013 appunti
Impostazione Assiomatica del Calcolo della Probabilità
DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITA’
Analisi Statistica dei Dati
Esercitazione di Matematica
REGOLE DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Orientamento universitario
La probabilità Schema classico.
Carte casuali.
Elementi di teoria della probabilità e distribuzioni di probabilità
Calcolo delle Probabilità
Lancio dadi Analisi probabilità esito somme varie.
Esercitazioni elementari su probabilità e associazioni di oggetti vari
Estrazione Casuale palline
Esercizio 1 Da un mazzo di carte da 40 estraggo casualmente e senza reimmissione 3 carte: quante sono le possibili terne? considerate i seguenti eventi:
Probabilità probabilità Probabilità totale
Esercizi con soluzione
Probabilità ed eventi casuali (Prof. Daniele Baldissin)
Torna alla prima pagina Sergio Console Calcolo delle Probabilità seconda parte Istituzioni di Matematiche Scienze Naturali.
PROBABILITA’.
IL CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Rischio e Probabilità. Probabilità di un Evento P(E)  P(E)=1 o 100% => evento certo;  P(E) molto piccolo => evento improbabile;  P(E)=0 o 0% => evento.
Calcolo combinatorio e probabilità
Probabilità e Variabili Casuali
Evento: “Fatto o avvenimento che già si è verificato o che può verificarsi ….” Gli eventi di cui ci occuperemo saranno soltanto gli eventi casuali, il.
La probabilità condizionata
Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 17 maggio / 23 Analisi bivariata Per ogni unità statistica si considerano congiuntamente.
2) PROBABILITA’ La quantificazione della ‘possibilità’ del verificarsi di un evento casuale E è detta probabilità P(E) Definizione classica: P(E) è il.
Spiegazione di alcuni concetti
PROBABILITÀ Corsi Abilitanti Speciali Classe 59A III semestre - 2.
3 ALS - ASA 7 Aprile 2014.
LA PROBABILITA’ DESTINATARI: alunni della seconda classe della scuola media di II° grado TEMPO PREVISTO: 5 ore + 1 ora di verifica + 1 ora di recupero.
Probabilità e Genetica
ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Probabilità Esercitazioni numeriche del corso di GENETICA AA 2010/2011 LEZIONE N°1.
LA PROBABILITA’.
16) STATISTICA pag.22. Frequenze frequenza assoluta (o frequenza): numero che esprime quante volte un certo valore compare in una rilevazione statistica.
Elementi di teoria della probabilità e distribuzioni di probabilità.
La probabilità matematica
METODI E TECNOLOGIE PER L’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n°17.
ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’. Evento Aleatorio Un evento si dice aleatorio se può o non può verificarsi (Alea in greco vuol dire dado)
1 TEORIA DELLA PROBABILITÁ. 2 Cenni storici i primi approcci alla teoria della probabilità sono della metà del XVII secolo (Pascal, Fermat, Bernoulli)
Un evento è un fatto che può accadere o non accadere. Se esso avviene con certezza si dice evento certo, mentre se non può mai accadere si dice evento.
Teoria dei Sistemi di Trasporto Tematica 4: Elementi minimi di teoria della probabilità.
IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ
Spiegazione di alcuni concetti
La probabilità matematica
LA LA PROBABILITA'.
Definizioni di probabilità
Transcript della presentazione:

LA PROBABILITA’

CHE COS’E’? La probabilità di un evento è il quoziente tra il numero dei casi favorevoli a quell’evento e quello dei casi possibili quando essi sono tutti egualmente possibili.

SOMMA LOGICA DI EVENTI Dati gli eventi E1, E2 relativi allo stesso insieme universo, il loro evento unione che indichiamo con E1 U E2, è quell’evento che si verifica al verificarsi di almeno uno degli eventi dati. A B A U B universo

FORMULE TEOREMA DELLA SOMMA PER EVENTI COMPATIBILI Compatibili sono eventi per i quali il verificarsi di uno non esclude il verificarsi dell’altro; con il linguaggio degli insiemi indicheremo che la loro intersezione non è vuota P(E1 U E2)= P(E1)+ P(E2) - P(E1 ∩ E2) TEOREMA DELLA SOMMA PER EVENTI INCOMPATIBILI Incompatibili = eventi per i quali il verificarsi di uno esclude l’altro Con il linguaggio degli insiemi indicheremo che la loro intersezione è vuota P(E1 U E2)= P(E1)+ P(E2)

IL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI Siano E1 ed E2 eventi riferiti allo stesso universo, definisco il prodotto logico degli eventi E1 ed E2 l’evento E= E1 ∩ E2 che si verifica se entrambi gli eventi E1 e E2 si verificano

ESEMPIO DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI INDIPENDENTI Da un mazzo di 40 carte si peschino successivamente due carte con reimmissione della prima carta nel mazzo; si calcoli la probabilità di estrarre un fante e il re di cuori. Indichiamo con Ef = estrazione di un fante ed Ere = estrazione del re di cuori; per calcolare la probabilità di E = Ef ∩ Ere dobbiamo considerare due importanti elementi: che gli eventi sono indipendenti che il testo del problema non indica l’ordine in cui si devono verificare gli eventi Nel caso in esame gli eventi Ef ed Ere sono indipendenti e non interessa l’ordine perché il testo non lo richiede. Dovremo tenere presente i seguenti eventi incompatibili (Ef ∩ Ere) e (Ere ∩ Ef) per cui E é l’unione di (Ef ∩ Ere) U (Ere ∩ Ef) e Poiché P(Ef ∩ Ere)= P(Ef)∙P(Ere)= P(Ere ∩ Ef) => P(E)= (4/40∙1/40)∙2=1/200

ESEMPIO DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI DIPENDENTI Prendiamo in considerazione il seguente esempio in cui gli eventi che costituiscono il prodotto logico siano dipendenti e la richiesta preveda un ordine con cui si debbano verificare. In un sacchetto di frutta secca ci sono 16 noci, 20 castagne e 64 nocciole (totale 100); calcolare la probabilità che estraendone due contemporaneamente escano nell’ordine una noce e una nocciola. E = esce una noce e una nocciola En = esce una noce E nocc = esce una nocciola E = En ∩ E nocc P(E) = P(En)∙P(E nocc | En) = 16/100∙64/99 = 256/2475

PROBABILITA’ CONDIZIONATA E PRODOTTO LOGICO DI EVENTI Dati due eventi E1 e E2 si dice probabilità condizionata di E1 rispetto a E2, e si indica P(E1|E2), la probabilità che si verifichi E1 nell’ipotesi che E2 si sia verificato.

FORMULE Se gli eventi sono dipendenti P(E1 ∩ E2)= P(E1)∙ P(E2|E1) Se gli eventi sono indipendenti P(E1∩E2)= P(E1)∙ P(E2) AB A ∩ B

ESEMPI

ESEMPIO SOMMA LOGICA DI EVENTI COMPATIBILI Dentro un’urna vi sono 30 palline: 10 bianche numerate da 1 a 10, 10 rosse e 10 gialle numerate allo stesso modo. Calcoliamo la probabilità che estraendo a caso venga estratta una pallina gialla o pari. 30= palline totali E1=estrazione di una pallina gialla E2=estrazione di una pallina pari E = estrazione di una pallina gialla o pari ?= P(E1 U E2) I due eventi sono compatibili, quindi: P(E1)=1/3 P(E2)= 1/2 P(E1 ∩ E2)= 5/30= 1/6 infatti le palline gialle e pari sono 5 su 30 P(E1 U E2)= 1/3+1/2-1/6= 2/3

ESEMPIO SOMMA LOGICA DI EVENTI INCOMPATIBILI Consideriamo 12 dischetti numerati da 1 a 12 e gli eventi: E1= esce un multiplo di 5 E2= esce un multiplo di 3 E = esce un multiplo di 5 o di 3. Calcoliamo la probabilità che estraendo un dischetto sia un multiplo di 3 o di 5. Gli eventi sono incompatibili P(E1)= 2/12= 1/6 P(E2)=4/12=1/3 P(E)= P(E1 U E2)= P(E1)+ P(E2) =1/3+1/6=1/2

ESEMPIO DI PROBABILITA’ CONDIZIONATA DI EVENTI DIPENDENTI Si hanno 7 lampadine buone ( B ) e 3 rotte ( R ). Calcolare la probabilità che estraendone due a caso (senza reinserire la prima lampada) siano entrambe buone. Indichiamo con B1= estrazione della prima lampadina buona, e con B2= estrazione di una seconda lampadina buona e rispettivamente con P(B2/B1)= la probabilità di estrarre la seconda lampadina buona dopo aver estratto la prima buona calcoliamo ?= P(B1∩B2) Ricordando il teorema della probabilità condizionata P(B2∩B1)= P(B1 ) ∙ P(B2/B1)= 7/10∙6/9=42/90=7/15

SINTESI COMPATIBILI INCOMPATIBILI E1 U E2 P(E1UE2)= P(E1)+ P(E2) – P(E1∩ E2) P(E1UE2)= P(E1)+ P(E2) DIPENDENTI INDIPENDENTI E1 ∩ E2 P(E1∩E2)= P(E1)∙P(E2|E1) P(E1∩E2)= P(E1)∙P(E2)

PROBABILITA’ TOTALE: Partizione dell’universo Si abbiano due urne 1 e 2: l’urna 1 contiene 3 palline bianche e due nere, l’urna 2 contiene 4 palline bianche e 5 nere. Calcola la probabilità che estraendo una pallina a caso da un’urna, la pallina sia bianca. Indichiamo con Eb l’evento estrazione di una pallina bianca. Sottoponiamo la scelta dell’urna al lancio di un dado, scelgo la prima se esce un numero minore di tre, scelgo la 2 se esce un numero >= a 3. I due eventi E1(esce un numero <3) e E2(esce un numero ≥3) sono eventi incompatibili ed esauriscono tutte le possibilità di uscita del dado; essi hanno P(E1)=1/3 e P(E2)=2/3 La probabilità che esca una pallina bianca è condizionata alla scelta dell’urna nel senso che P(Eb|E1)=P(Eb ∩ E1)/P(E1) e P(Eb|E2)=P(Eb ∩ E2)/P(E2) P(Eb ∩ E1)=P(Eb|E1)∙P(E1)=3/5∙1/3=1/5 P(Eb ∩ E2)=P(Eb|E2)∙P(E2)=4/9∙2/3=8/27 Gli eventi Eb ∩ E1 e Eb ∩ E2 sono eventi incompatibili e l’evento Eb=(Eb∩E1) U(Eb∩E2) quindi P(Eb)=P(Eb ∩ E1)+P(Eb ∩ E2)=1/5+8/27=67/135

LA FORMULA DEL TEOREMA DI BAYES P(Pa l A) = P(A ∩ Pa) / P(A)

IL TEOREMA DI BAYES Poniamoci ora la domanda inversa al problema precedente: “qual è la probabilità che la pallina estratta provenga dalla seconda urna?” Siamo di fronte ad un evento che si è già verificato e vogliamo conoscere la probabilità da assegnare alla causa che può averlo prodotto. Indichiamo con Eb l’evento “uscita di una pallina bianca” e con E 2 l’evento “ uscita della pallina dall’urna 2”. P(E2 l Eb)= ? Per il teorema della probabilità composta abbiamo che P(E2 ∩ Eb)= P(E2 l Eb) · P(Eb) Grazie alla proprietà simmetrica dell’intersezione di due insiemi possiamo dire che P(E2 l Eb) = P(E2 ∩ Eb) / P(Eb) = P(E ∩ E2) / P(Eb) Grazie ai calcoli del problema precedente sappiamo che P(Eb ∩ E2) = 8/27, mentre P(Eb) =67/135 => P(E2 l Eb)= (8/27) / (67/135) = 40/67