ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’

Evento Aleatorio Un evento si dice aleatorio se può o non può verificarsi (Alea in greco vuol dire dado)

Esempi di eventi aleatori 1.Ottenere un certo numero nel lancio di un dado 2.Estrarre determinati numeri da un’urna (lotto- superenalotto) 3.Essere interrogati a scuola 4.Estrarre determinate carte da un mazzo di carte da gioco

Eventi certi e eventi impossibili Un evento si dice certo se si verificherà con certezza Esempio: l’uscita di un numero minore di 7 nel lancio di un dado Un evento si dice impossibile quando non può mai verificarsi Esempio: l’uscita del numero 7 nel lancio di un dado

La probabilità di un evento aleatorio è il quoziente tra il numero di casi favorevoli f e il numero di casi possibili u P(E) = f  numero di casi favorevoli u  numero di casi possibili f u Definizione di probabilità

Esempi Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12 calcoliamo la probabilità dei seguenti eventi: E 1 = > E 2 = > E 3 = > Evento E 1 casi favorevoli = 6 (1,3,5,7,9,11) casi possibili =12 P(E 1 ) = = = 0,50 Evento E 2 casi favorevoli = 4 (9,10,11,12) casi possibili =12 P(E 2 ) = = = 0,33 Evento E 3 casi favorevoli = 2 (5,10) casi possibili =12 P(E 3 ) = = = 0,17 f u 6 12 f u 4 f u 2

Valori particolari per la probabilità La probabilità di un evento impossibile è zero P(E) = = = 0 La probabilità di un evento certo è 1 (f=u) P(E) = = = 1 In generale per un evento qualsiasi la probabilità risulta compresa tra zero e uno 0<P(E)<1 f u u u f u 0 u

Evento contrario Dato un evento E si chiama evento contrario e si indica con E l’evento che si verifica quando non si verifica E Risulta P(E) + P(E) = 1 o anche P(E) = 1 - P(E) Esempio: Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12 consideriamo gli eventi: E= > P(E) = = = 0,33 P(E) = = = 0,67 P(E) + P(E) = 0,33 + 0,67 = 1 f u 4 12 f u 8

EVENTO UNIONE Dati due eventi E 1 ed E 2 si chiama evento unione e si indica con E 1  E 2 l’evento che si verifica al verificarsi di almeno di uno dei due eventi. Esempio: Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12 consideriamo gli eventi: E 1 = > E 2 = > E 1  E 2 = > Casi favorevoli = 8 (1,3,5,7,9,11,10,12) casi possibili =12 P(E 1  E 2 )= = = 0,67 f u 8 12

EVENTO INTERSEZIONE Dati due eventi E 1 ed E 2 si chiama evento intersezione e si indica con E 1  E 2 l’evento che si verifica al verificarsi contempora- neamente dei due eventi. Esempio: Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12 consideriamo gli eventi E 1 = > E 2 = > E 1  E 2 = > Casi favorevoli = 3 (8,10,12) casi possibili =12 P(E 1  E 2 )= = = 0,25 f u 3 12

EVENTI COMPATIBILI E INCOMPATIBILI Due eventi aleatori si dicono compatibili se possono verificarsi contemporaneamente, incompatibili se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro. Esempio: Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12 consideriamo gli eventi: E 1 = > E 2 = > Sono compatibili perché possono verificarsi entrambi (6,12) E 3 = > E 4 = > Sono incompatibili perché non possono verificarsi contempora- neamente [E 3 (1,3,5,7,9,11), E 4 (4,8,12)]

PROBABILITA’ DELL’UNIONE DI EVENTI INCOMPATIBILI Se due eventi aleatori E 1 e E 2 sono incompatibili la probabilità del loro evento unione è uguale alla somma delle loro probabilità P(E 1  E 2 )=P(E 1 )+P(E 2 ) Esempio: Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12 consideriamo gli eventi: E 1 = > E 2 = > E 1  E 2 = > P(E 1 )=6/12=0.5 P(E 2 )=3/12=0.25 P(E 1  E 2 )=6/12 +3/12= 9/12= 0.75

PROBABILITA’ DELL’UNIONE DI EVENTI COMPATIBILI Se due eventi aleatori E 1 e E 2 sono compatibili la probabilità del loro evento unione è uguale alla somma delle loro probabilità diminuita della probabilità del loro evento intersezione P(E 1  E 2 )=P(E 1 )+P(E 2 ) - P(E 1  E 2 ) Esempio: Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12 consideriamo gli eventi: E 1 = > E 2 = > E 1  E 2 = P(E 1 )=6/12=0.5 P(E 2 )=4/12=0.33 P(E 1  E 2 )= 2/12=0.17 P(E 1  E 2 )=6/12 +4/12 - 2/12 = 8/12= 0.67

EVENTI DIPENDENTI E INDIPENDENTI Due eventi aleatori si dicono indipendenti quando il verificarsi del primo non influenza il verificarsi del secondo, dipendenti se il verificarsi del primo influenza la probabilità che si verifichi il secondo.

EVENTI DIPENDENTI E INDIPENDENTI Esempio: Estrazione successiva di due carte da un mazzo di 40 carte con reinserimento, cioè rimettendo la carta estratta nel mazzo prima della seconda estrazione. E 1 = > E 2 = > Sono indipendenti perché avendo reinserito la carta prima della 2^ estrazione il secondo evento non è condizionato dal primo Esempio: Estrazione successiva di due carte da un mazzo di 40 carte senza reinserimento, cioè senza rimettere la carta estratta nel mazzo prima della seconda estrazione. E 1 = > E 2 = > Sono dipendenti perché non avendo reinserito la carta prima della 2^ estrazione il secondo evento non è condizionato dal primo in quanto i casi possibili sono 39 e non 40

EVENTI DIPENDENTI E INDIPENDENTI Nel caso di eventi dipendenti è necessario considerare la probabilità condizionata P(E 2 /E 1 )  probabilità dell’evento E 2 condizionata a E 1 cioè la probabilità che si verifichi E 2 dopo che si è verificato E 1 Esempio: Estrazione successiva di due carte da un mazzo di 40 carte senza reinserimento, cioè senza rimettere la carta estratta nel mazzo prima della seconda estrazione. E 1 = > E 2 = > P(E 2 /E 1 )=4/39

PROBABILITA’ DELL’INTERSEZI- ONE DI EVENTI INDIPENDENTI Se due eventi aleatori E 1 e E 2 sono indipendenti la probabilità del loro evento intersezione è uguale al prodotto delle loro probabilità P(E 1  E 2 )=P(E 1 )  P(E 2 ) Esempio: Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12 in due estrazioni successive con reinserimento calcoliamo la probabilità che escano nella prima estrazione un numero pari e alla seconda estrazione un numero maggiore di 10. Gli eventi sono: E 1 = > P(E 1 )=6/12 E 2 = > P(E 2 )=2/12 P(E 1  E 2 )= P(E 1 )  P(E 2 ) = 6/12  2/12=12/144=1/12

PROBABILITA’ DELL’INTERSEZI- ONE DI EVENTI DIPENDENTI Se due eventi aleatori E 1 e E 2 sono dipendenti la probabilità del loro evento intersezione è uguale al prodotto della probabilità di E 1 per la probabilità di E 2 condizionata a E 1 P(E 1  E 2 )=P(E 1 )  P(E 2 /E 1 ) Esempio: Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12 in due estrazioni successive senza reinserimento calcoliamo la probabilità che escano alla prima estrazione un multiplo di 5 e alla seconda estrazione un numero minore di 5. Gli eventi sono: E 1 = > P(E 1 )=2/12 E 2 = > P(E 2 /E 1 )=4/11 P(E 1  E 2 )= P(E 1 )  P(E 2 /E 1 ) = 2/12  4/11=8/132=2/33