Sette spose per sette fratelli Un musical leggero che racconta la storia del fidanzamento di sette fratelli: - protagonisti: boscaioli dell’Oregon - idea: sposarsi per avere qualcuno che farà il lavoro a casa - metodo: rubarsi delle ragazze dal villaggio vicino e tenerle prigioniere a casa - svolta: i fratelli si innamorano delle ragazze e viceversa - finale: ognuno sposa la propria ragazza e formano coppie stabili

Un matching M tra due insiemi X e Y è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di X x Y ovvero M = {(x,y) : x ∈ X, y ∈ Y} e per ogni x ∈ X esiste un unico y ∈ Y tali che (x,y) ∈ M e viceversa. Le liste di preferenza sono ordinati in senso decrescente rispetto ai sentimenti dei ragazzi.Quindi scrivendo y < x y si intende che x preferisce y ad y. Conteggio: Quante diverse coppie si possono formare tra i due gruppi di partner? Il primo ragazzo puo scegliere tra le 4 ragazze,il secondo tra le 3 rimanenti, il terzo tra le 2 e per l’ultimo rimane una sola scelta. Risposta: 4! Osservazione: 10! = La realtà Il modello matematico P(Alberto) = (Gaia;Francesca;Helga;Elena) P(Bruno) = (Francesca;Elena;Gaia;Helga) P(Carlo) = (Francesca;Helga;Elena;Gaia) P(Daniele) = (Gaia;Elena;Helga;Francesca) P(Elena) = (Alberto;Bruno;Daniele;Carlo) P(Francesca)=(Carlo; Alberto;Daniele;Bruno) P(Gaia) = (Carlo;Bruno;Daniele; Alberto) P(Helga) = (Bruno; Alberto;Carlo;Daniele) Esempio di matching: M ={ (Alberto;Elena); (Bruno;Francesca); (Carlo;Gaia); (Daniele;Helga) } Il problema si complica: bisogna trovare una combinazione delle coppie di ragazzi e ragazze che non presenti queste pericolose situazioni di instabilità. È necessario progettare un metodo, un algoritmo, per costruire almeno un matching stabile tra le coppie di ragazzi e ragazze. -Trasformiamo il film in una situazione più realistica: - quatro ragazzi e quattro ragazze single ad una festa oginuno è diverso ed ha diverse preferenze tutti vogliono trovarsi un compagno fedele

Separazioni successive Idea: Fissato un matching iniziale qualsiasi, si può tentare di giungere ad un matching stabile rompendo due coppie che generano l’instabilità del matching e costruendo altre due coppie. Problema: -Esistono matching iniziali che portano ad un procedimento circolare senza fine e senza soluzione. - Limitazioni eccessive nella lunghezza delle liste di preferenza e la cardinalità degli insiemi Osservazone: È opportuno osservare che il matching stabile, in generale, è caratterizzato da coppie che non corrispondono necessariamente all’ottimo per i due partner. Soluzione: - Cambiare il criterio di stabilità - Non lasciare niente al caso,cioè scegliere accuratamente il matcing di partenza Esempio: Si hanno (x,y),(x’,y’) nell matching M e supponiamo che nelle liste di preferenza si ha che y’< x y e x< y’ x’ allora il matching sarà migliore se mettiamo insieme (x,y’) e (y’,x’)

L’algoritmo di Gale e Shapley L’Algoritmo 2 presentato di seguito è dovuto ai matematici americani Dave Gale e Lloyd Shapley che lo pubblicarono nel 1962 per dimostrare che il problema del matrimonio stabile ammette sempre una soluzione. Si introduce omega,un elemento fittizio aggiunto all’insieme X: rappresenta il partner meno desiderabile per ciascun elemento di Y e viene collocato in fondo alla lista di preferenza di ciascun y ∈ Y

Perchè funziona? in cui ogni uomo non si propone alla donna preferita a cui non si è gia proposto. -Se la donna è gia fidanzata con un uomo che preferisce di più rifiuta la proposta - se è gia fidanzata con un uomo meno preferito accetta la proposta - se non è stata fidanzata si fidanza Al termine di tutti i round tutti sono fidanzati e possono sposare il proprio partner. Infatti, non possono esistere un uomo x e una donna y non fidanzati alla fine. ”Gli uomini ci provano con tutte” I matrmoni sono stabili. Non possono esistere due partner x e y che nello stesso tempo preferiscono un partner diverso. - Si basa su “round” fidanzato

Generalizzazione 1 Supponiamo che la cardinalità dei due insiemi non sia la stessa, ad esempio |X| < |Y|. In questa condizione non può essere definita un’istanza del problema matrimonio stabile, perché qualche elemento di Y rimarrebbe comunque privo di compagno, a meno che non si consenta ad uno stesso elemento di X di essere associato a più di un elemento dell’insieme Y. Problema: - La cardinalità degli insiemi è diversa ? Soluzione: -Si applica la condizione che ad un elemento del primo insieme si possono associoare più elementi del secondo Esempi: - Più pazienti un dottore - più studenti che corsi di laurea a numero chiuso

Generalizzazione 2 In molte applicazioni pratiche è irrealistico che ciascun elemento dei due insiemi esprima una lista di preferenza completa su tutti gli elementi dell’altro insieme. Problema: Soluzione: Si determinano gli elementi “vedovo/vedova”: vv - Si colloca un elemento v x come ultima preferenza di v y e viceversa v - si colloca v x come ultima preferenza di ciascun elemento di Y v - si aggiungono in un ordine arbitrario, dopo v x tutti gli elementi mancanti alla lista di ciascun elemento y ∈ Y e viceversa Osservazione: La presenza di elementi vedovo/a non alternano l’esito dell esperimento poichè esiste un matching stabile in loro presenza se e solo se esiste con le liste di preferenza incomplete.