Definizione di Flusso Il flusso è la misura di quanto materiale o campo passa attraverso una superficie nel tempo. Se si parla di campo elettrico basterà dire quante linee di campo attraversano una superficie Il flusso aumenta se il campo elettrico aumenta Il flusso attraverso una superficie perpendicolare al campo è massimo Il flusso attraverso una superficie parallela al campo è zero L’algoritmo che soddisfa queste condizioni è il prodotto scalare fra il vettore campo elettrico E e un vettore DA, normale della superficie

Flusso di un campo Il flusso attraverso una superficie chiusa è sempre nullo, a meno che all’ interno della superficie non vi sia una carica: In tal caso il flusso elementare che attraversa la superficie è dato DFE = E DA cosq con E campo elettrico (creato dalla carica) e DA elemento della superficie chiusa. Per le linee entranti il flusso è negativo mentre per le linee uscenti il flusso è positivo; il risultato netto è 0.

Teorema di Gauss “Il flusso FE di campo elettrico che attraversa una qualunque superficie chiusa è proporzionale alla carica in essa racchiusa”. ∫dFE = Q/e0 Caso di una carica puntiforme: Il flusso elettrico elementare DFE attraverso una porzione infinitesima di superficie chiusa DA vale DFE= E DA cosq. Se la superficie è perpendicolare alle linee di campo cosq = 1 DFE= E DA Se la superficie è una sfera di raggio r ∫DA = 4p r2 FE= E 4p r2 ma il campo vale E = F/q ovvero E = kQ/r2 FE = kQ/r2x4p r2 = 4p kQ ponendo e0 = 1/4p k (permettività) avremo FE = Q/e0 Altre cariche situate fuori dalla sfera non contribuiscono al variare del flusso perché tanto campo entra e tanto ne esce.

Legge di Gauss e di Coulomb Dalla legge di Coulomb si trova che il campo creato da una carica puntiforme Q a distanza r è: E = Q / 4 p e0 r2 Verifichiamo che tale valore si ottiene anche dal teoremandi Gauss Il flusso del campo elettrico E è collegato con la carica Q interna ad una superficie chiusa dalla formula: Per una carica puntiforme, il campo è radiale, quindi potremo usare come superficie Gaussiana una superficie sferica

Potenza del teorema di Gauss Supponiamo di voler conoscere il campo elettrico generato da un filo carico (con densità l) di lunghezza infinita. In questo caso costruire una sfera attorno al filo non risulterebbe vantaggioso perché la distanza dalla carica alla superficie sarebbe una funzione complessa, mentre la costruzione di un cilindro attorno alla distribuzione di carica lineare rende tutto molto semplice. Spiegazione: Attraverso le due basi il contributo al flusso totale è nullo perché il campo generato dal filo ha simmetria radiale. Il flusso attraverso la superficie laterale varrà: F = EAcosq = E(2prh) La carica racchiusa all’interno della superficie è lh. Quindi per il teorema di Gauss E(2prh)= lh/e0 ovvero

Caso di una lastra carica isolante Il valore del campo elettrico generato da una distribuzione piana si può trovare utilizzando il teorema di Gauss. Disegniamo una superficie chiusa cilindrica con le basi parallele alla distribuzione piana e la superficie laterale che attraversi la lamina (vedi figura). Per ragioni di simmetria si nota che il campo è perpendicolare alla lamina. Allora e0 = (EA + EA) = sA La semplicità con cui si ottiene questo risultato è una conferma della potenza del teorema di Gauss. P.S. Si noti che, come per il caso del campo generato da un disco uniformemente carico, per distanze finite il campo non dipende da r.

Campo elettrico di una superficie carica Se volessimo calcolare il campo nei pressi di una superficie molto grande, con densità di carica s, possiamo usare il teorema di Gauss assumendo il campo è costante. Le sue linee non attraversano la superficie laterale, mentre attraversano una sola superficie di base. e0EA = sA La differenza con il campo della lamina isolante è dovuta al fatto che all’interno del conduttore il campo elettrico E è 0. Mentre per la lamina la stessa densità di carica contribuisce sia a destra che a sinistra

Lavoro elettrico dw = F dx = F (xi – xf) = [(qQ/4pe0x2)](xi – xf) In base a quanto studiato precedentemente sappiamo che F = qE. Quindi una carica Q genererà attorno a se un campo E0 e una carica esploratrice q sarà soggetta alla forza F = qE0. Il lavoro fatto dalla forza di Coulomb per spostare di una distanza dx la carica esploratrice sarà dw = F dx = F (xi – xf) = [(qQ/4pe0x2)](xi – xf) dw = (qQ /4pe0) [1/ri - 1/rf ] = qEdx Quindi, il campo elettrico costante E0 = Q/4pe0r2 , farà un lavoro w per spostare, di una distanza x, la carica q pari a w = qE x

Energia potenziale e Potenziale Se, in un campo elettrico, cerchiamo di spostare una carica q da un punto “iniziale” ad un punto “finale”, facciamo un lavoro meccanico che è pari, ed opposto, al lavoro che fa il campo elettrico wmecc = - wele . Il lavoro elettrico dipende solo dalle posizioni iniziali e finali della carica; il campo elettrico E è una grandezza conservativa . E’ quindi possibile attribuire ad una carica q, immersa in un campo elettrico, una energia potenziale elettrica U(p). Pertanto una carica di prova q0, passando dal punto A al punto B avrà due diversi potenziali, la cui differenza è U(A) – U(B) = wele = - wmecc Se poniamo U(B) = U(∞) = 0 avremo che l’energia potenziale U(A) è il lavoro che una forza elettrica Fe = q E compie per portare una carica da ∞ al punto A. Il potenziale elettrico V(A) generato da una carica Q è l’energia potenziale U(A), posseduta da una carica unitaria q posta nel punto A V(p) = U(p)/q

Il Potenziale Siccome l’energia potenziale U dipende da w ed w dipende da q; se raddoppiamo la carica esploratrice troveremo che anche il lavoro è raddoppiato e quindi anche U. Possiamo concludere che esiste una funzione V indipendente dalla carica esploratrice, funzione solo del campo E in discussione. V = U/q e naturalmente DV = Vf – Vi = Uf/q – Ui/q = DU/q La differenza di potenziale DV è una funzione della posizione Vf – Vi = - w/q e ci dice che la d.d.p. DV è il lavoro necessario alla forza elettrostatica di spostare una carica unitaria fra due punti, e può essere positiva o negativa. Se l’energia potenziale è nulla all’infinito anche il potenziale è nullo all’infinito, quindi L’ unità di misura del potenziale è [J/C] e si chiama Volt (V) pertanto il campo elettrico E sarà definito come [V/m]. Per spostare un elettrone attraverso una differenza di potenziale di un volt è necessaria una energia di un elettronvolt [eV] 1eV = (1.6 10-19 C) (1J/C) = 1,6 10-19 J

Calcolo del Potenziale Definizione di Lavoro Lavoro di un campo elettrico Calcolo integrale Relazione fra Lavoro e d.d.p. Ponendo Vi = 0

Superfici equipotenziali Una superficie equipotenziale è il luogo geometrico dove il potenziale è uguale. La superficie può essere una reale o immaginaria. Spostare una particella carica su una superficie equipotenziale non costa lavoro. Una superficie equipotenziale è perpendicolare alle linee di forza

Potenziale di una carica puntiforme Si voglia spostare una carica q0 dal punto p (distante r dalla carica q) all’infinito radialmente rispetto a q. La definizione di potenziale richiede di fare l’integrale del prodotto scalare E ds = E cosq ds Vf – Vi = - ∫E dr (fra 0 e ∞) Fare attenzione ai segni Una carica positiva realizza un potenziale elettrico positivo

Potenziale di un dipolo elettrico Naturalmente il potenziale soddisfa il principio di sovrapposizione Nel punto p il potenziale sarà la somma dei potenziali dovuti alla carica (+) e alla carica (-) Nell’ipotesi di r>>d la differenza r(-) – r(+) ~ d cos q e il prodotto r(-) r(+) ~ r2 p = qd

Potenziale di una distribuzione continua Quale è il potenziale di una distribuzione lineare di carica? Ponendo a zero il potenziale a distanza infinita; a distanza r il potenziale elementare sarà: dV = dq/4pe0r e naturalmente il potenziale sarà l’integrale di tale grandezza. Se la carica è una barretta uniformemente carica

Potenziale di un disco carico Per calcolare il potenziale dovuto ad un disco carico dobbiamo individuare la carica elementare da integrare. Sia un anellino largo dR’ a distanza R’ Allora dq = s(2pR’)(dR’)

Potenziali vari

Valore dell’energia potenziale di cariche fisse Abbiamo visto come si trova l’energia potenziale di una carica esploratrice immersa in un sistema di cariche fisse. Vogliamo determinare l’energia potenziale necessaria a formare l’insieme delle cariche fisse. Per intenderci: quale deve essere il lavoro per portare due cariche a una distanza fissa? La prima carica portata dall’infinito alla posizione x non compie nessun lavoro, ma la seconda carica che dall’infinito si posiziona a (x-d) farà un lavoro per vincere la repulsione che sarà q2V e V = q1/4pe0r è il potenziale generato da q1 quindi Per cariche uguali il Lavoro sarà positivo, per cariche diverse sarà negativo

Potenziale per un conduttore carico In un conduttore, l’eccesso di carica si distribuisce in modo che il potenziale all’interno e sulla superficie sia costante. Si è già visto che Siccome il campo elettrico all’interno deve essere 0 allora Vf = Vi In figura sono mostrati anche gli andamenti del campo e del potenziale interni ed esterni al conduttore. La curva del campo elettrico si ottiene derivando quella del potenziale. Se il corpo non è una sfera può succedere che ci sia una addensamento di carica (come succede in prossimità di cuspidi) dove le cariche si possono addensare fino a formare l’”effetto corona” + - E=0