Liceo Scientifico V. Vecchi di Trani Matematica triennio

UNITA’ DIDATTICA DI TRIGONOMETRIA Trani, 30 aprile ‘08 A cura di Ugo Morra

TEOREMA DEI SENI In un triangolo qualsiasi di lati a, b, c e angoli α, β e γ si ha la seguente uguaglianza: Inoltre tali rapporti sono anche uguali al diametro 2R della circonferenza circoscritta al triangolo (da ricordare che per ogni triangolo esiste una circonferenza ad esso circoscritta).

TEOREMA DEL COSENO In un triangolo qualsiasi di lati a, b, c e angoli α, β e γ si ha la seguente uguaglianza: La relazione precedente può essere riscritta anche per i lati b e c, ovvero:

I teoremi della trigonometria hanno numerose applicazioni, prime tra tutte quelle in campo astronomico e in ambito topografico.

Supponiamo di voler conoscere la distanza tra due punti A e B separati da un ostacolo, quale potrebbe essere, per fissare le idee, un fiume. (Situazione vista dall’alto) B A ?

Come risolvere il problema Poiché il fiume costituisce un evidente ostacolo alla misurazione diretta del segmento AB, può essere escogitato un sistema di misurazione indiretta. Fissato un punto C a una distanza qualunque da A e da B, scelto in modo tale che da esso sia accessibile sia A che B, si misura con uno strumento di professione, il teodolite, l’angolo ACB. Misurate infine le distanze AC e BC, si applica il teorema del coseno per la determinazione di AB. B A C

DISCUSSIONE DI ALCUNI PROBLEMI ASSEGNATI NELLA VERIFICA DI FINE MODULO Due forze concorrenti e perpendicolari tra loro sono di 6N e 8N. Calcola l’ampiezza dell’angolo acuto che la risultante forma con la forza maggiore (esprimila nell’unità di misura sessagesimale). La situazione è quella indicata in figura.

Per risolvere questo problema si tracciano dapprima le parallele ai due vettori forza condotte dalle loro punte… …si unisce il loro punto d’intersezione con la coda comune dei due vettori forza… … il segmento orientato rappresentato in figura è la risultante delle due forze

L’angolo richiesto è quello che la risultante forma con la forza di intensità maggiore, ovvero l’angolo 

Il risultato precedente è stato ottenuto usando una calcolatrice scientifica che fosse impostata nel sistema sessadecimale (DEG) di misurazione degli angoli. Per ottenere la misura dell’angolo ii n sessagesimali, ovvero in gradi, primi e secondi, si procede nel seguente modo:  =36°, =36°+0°, = =36°+0, ∙60’=36°52’,193859= =36° 52’ + 0’,193859= =36° 52’ + 0,193859∙60’’=36° 52’ 11’’,63154 Effettuando la dovuta approssimazione, si ottiene  = 36° 52’ 12’’

PROBLEMA CON L’INCOGNITA Determina, sulla semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r, un punto C in modo tale che sia verificata la relazione: (Poni BAC=x).