Teoria dei Sistemi di Trasporto Tematica 1: Elementi di base della teoria del deflusso ininterrotto

Teoria del deflusso ininterrotto Ipotesi semplificative iniziali (alcune da generalizzare in seguito)  Deflusso ininterrotto Moto non condizionato da intersezioni, caselli, stazioni, ecc; (a distanza da eventuali fonti di condizionamento) Unici condizionamenti sono interni al flusso di veicoli  Deflusso monodimensionale Moto lungo la ascissa curvilinea Trascurate le componenti trasversali al moto prevalente  Deflusso omotachico Tutti i veicoli hanno la stessa velocità  Deflusso stazionario Il campo di moto è indipendente dal tempo  Deflusso omogeneo Veicoli uguali o con differenze fisiche e prestazionali trascurabili

Teoria del deflusso ininterrotto Alcune grandezze microscopiche  i +1 = veicolo leader  i = veicolo follower  v = velocità (omotachica) dei veicoli  L = lunghezza (omogenea) dei veicoli  d = distanza inter-veicolare  sp = spacing = distanza spaziale coda-coda (o testa-testa) Ld sp i+1i v x = sezione di osservazione

Teoria del deflusso ininterrotto h= headway All’istante t il veicolo i è in x i, all’istante t+h sarà in x i+1 (dove ora è il veicolo i+1) g = gap o = occupazione v i i+1 i tempo spazio xixi t x i+1 L d sp h g o t+h

Teoria del deflusso ininterrotto Unità di misura (esempio)  h = headway [ore], [secondi], …  sp = spacing [chilometri], [metri], …  v = velocità [Km/h], [m/s], … Flusso (portata) = numero di veicoli transitanti nella unità di tempo(f=q)[veic/h]  Per l’ipotesi di stazionarietà ed omotachicità I veicoli si presentano in ogni sezione intervallati di un tempo pari ad h=headway (es.: h=1/1000 [h]) passa un veicolo ogni millesimo di ora passano mille veicoli in un’ora

Teoria del deflusso ininterrotto  Per l’ipotesi di stazionarietà ed omotachicità I veicoli sono tutti spaziati di una quantità pari ad sp = spacing (es: sp = 1/20 [Km]) è presente un veicolo ogni 50 metri (ogni 20-esimo di chilometro) sono presenti 20 veicoli al kilometro Densità = k = numero di veicoli per unità di lunghezza [veic/Km]

Teoria del deflusso ininterrotto Equazione fondamentale del deflusso  Precedentemente ricavata analiticamente per un caso molto particolare Sistema omotachico Sistema stazionario

Teoria del deflusso ininterrotto Determinazione della capacità  La capacità è la portata massima  Data una velocità, corrisponde alla densità massima (e quindi allo spacing minimo)  Calcoliamo lo spacing minimo nell’ipotesi di distanza di sicurezza rispetto all’arresto istantaneo del veicolo leader sp pr = spazio di percezione e reazione sp a = spazio di arresto L = lunghezza del veicolo

Teoria del deflusso ininterrotto s pr = spazio di percezione e reazione s a = spazio di arresto L = lunghezza del veicolo t pr = tempo di percezione e reazione a m = accelerazione (negativa) massima La capacità è funzione della velocità che si realizza L’andamento non è monotono Esempio  t pr = 1 (s) ; a m = (m/s 2 ); L = 4 (m)

Teoria del deflusso ininterrotto  Ipotesi più realistica L’arresto del leader non è istantaneo Il follower applica (con ritardo, t pr ) una decelerazione minore del leader (α·a m <0) Esempio α = 0.75 i+1 i v sp min sLsL L s’as’a s pr sFsF L

Teoria del deflusso ininterrotto Influenza del tempo di percezione e reazione

Teoria del deflusso ininterrotto Influenza della ridotta decelerazione del leader (fissato t pr =0) Sistemi continui  t pr = 0, α = 1 Indipendente dalla decelerazione

Teoria del deflusso ininterrotto Sistemi continui ettometrici (tappeti mobili)  L = 1 metro (comfort) Capacità elevate (più di una corsia autostradale) Prestazioni limitate (ettometriche)

Teoria del deflusso ininterrotto Alcune considerazioni in campo ferroviario  Veicoli = convogli (L=300 metri)  Ipotesi di massima sicurezza (distanza rispetto ad ostacolo fisso o a leader con arresto istantaneo)  Ipotesi di «marcia a vista» Esempio  t pr = 1 (s) ; a m = -1 (m/s 2 ); L=300 (m), Capienza convoglio = 600 (pax)

Teoria del deflusso ininterrotto Per velocità elevate dei convogli e tratte «normali»  La «marcia a vista» non è immaginabile  Sistema di circolazione Es.: sistema a «blocco ferroviario» RR GV RR GR 2 s a (s a -L)/2 sp min La sezione di blocco non può essere minore della lunghezza del convoglio

Teoria del deflusso ininterrotto tempo spazio ΔXΔX ΔTΔT i ξiξi τiτi Non omotachico Non stazionario

tempo spazio dt dx t1t1 x2x2 ΔXΔX ΔTΔT {…, i, …} n veicoli (foto aerea all’istante t 1 ) {…, j, …} m veicoli (spire, radar, telecamere, nella sezione x 2 ) Teoria del deflusso ininterrotto Non omotachico Non stazionario  S1 = Intervallo infinitesimo (dt) di tempo di osservazione di una tratta di lunghezza Δx  S2 = intervallo infinitesimo (dx) di tratta osservata per un tempo Δt S1S1 S2S2

Teoria del deflusso ininterrotto sp i S1S1 La densità dipende dal tronco su cui è misurata (punto medio ed estensione) e dal tempo Un valore tipico di densità è dell’ordine di grandezza di 100 veicoli a chilometro per corsia x1x1

Teoria del deflusso ininterrotto dx vjvj τjτj τiτi S2S2

Teoria del deflusso ininterrotto Il flusso (portata) dipende dalla sezione e dall’istante di tempo (ed estensione temporale) in cui è misurato Un valore tipico di flusso è dell’ordine di grandezza di 2000 veicoli/ora per corsia S2S2 hjhj

Teoria del deflusso ininterrotto vivi τiτi S1S1 x1x1 ξiξi dt

Teoria del deflusso ininterrotto Velocità media (v) Definizione Ricordando che Si ottiene la legge fondamentale del deflusso

Teoria del deflusso ininterrotto Velocità media = media delle velocità istantanee dei veicoli in un tratto di spazio centrato su una sezione stradale data Velocità media = media armonica delle velocità osservate in una sezione data durante un intervallo di tempo centrato su un istante dato N.B.: la velocità temporale media non è la velocità media dell’equazione fondamentale

Occupazione relativa = aliquota del tempo di osservazione occupata dal passaggio di veicoli Si potrebbe dimostrare che…  Se tutti i veicoli avessero eguale lunghezza (L), o con riferimento ad una lunghezza media  In realtà la formula deve essere usata con molta cautela Teoria del deflusso ininterrotto Data una sezione di conteggio, è facile misurare la occupazione (temporale) del generico veicolo S2S2 hjhj g o g = gap o = occupazione L

Teoria del deflusso ininterrotto Abbiamo ricavato la equazione fondamentale del deflusso  Sia per un sistema omotachico  Che per un sistema non omotachico L’equazione fondamentale è un legame tra le tre entità fondamentali q, k e v Relazioni tra coppie di entità possono essere ricavate sperimentalmente e approssimatamene tradotte in leggi analitiche v (km/h) k (veic/km) v k jam v0v0 k v = v(k) Greenshield (1934)

v q vcvc k jam kckc v0v0 Cap k k kckc q = f k (k) q = f v (v) v = v(k) Teoria del deflusso ininterrotto

Possono essere osservate convalide sperimentali v (km/h) q (veic/h) v q vcvc v0v0 Cap v q k jam kckc Cap k q (veic/h) k (veic/km)

Teoria del deflusso ininterrotto Ramo stabile  un aumento di densità comporta diminuzione di velocità aumento del flusso  l’aumento di densità prevale sulla diminuzione di velocità e tende a determinare una riduzione dell’headway tra i veicoli, e, quindi, un aumento del flusso. Ramo instabile  un aumento ulteriore della densità comporta una diminuzione notevole della velocità  È dovuta ad un eccessivo condizionamento reciproco dei veicoli il fenomeno prevale e determina una riduzione dell’headway che induce una diminuzione di flusso Passaggio stabile a instabile  v c ; k c, Cap

Teoria del deflusso ininterrotto In generale il flusso q non può essere adottato per descrivere le condizioni di deflusso La densità (o la velocità) invece descrive sempre la condizione di traffico prevalente in modo univoco Condizioni instabili si accompagnano a fenomeni di stop-and-go  essendo vicini alla densità critica un qualsiasi disturbo (aleatorio) si propaga velocemente determinando una diminuzione delle velocità ed un ulteriore aumento di densità verso l’accodamento completo ed il blocco appena la perturbazione si dissipa il flusso si riporta velocemente in condizioni di densità e velocità stabili, ma si reinstabilizza alla prima occasione Lo stop-and-go è incompatibile con la stazionarietà del deflusso Se il sistema è in condizioni stazionarie, l’unico ramo compatibile ed osservabile è quello stabile  il flusso può essere utilizzato come unica variabile descrittiva del deflusso

Teoria del deflusso ininterrotto