Insegnamento di Oleodinamica B Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica e Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria del Veicolo A.A. 2007/2008 – I Periodo di lezione Insegnamento di Oleodinamica B La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici Docente: Ing. Fabrizio Paltrinieri Modena, 2 Ottobre 2007

INTRODUZIONE L’analisi e lo studio dei sistemi ingegneristici conducono alla creazione di un modello matematico del sistema Modello matematico del sistema: una descrizione precisa e completa di come si comporta il sistema, espressa nella forma di equazioni matematiche e la loro conseguente implementazione come codice computer  Introduzione di variabili il cui valore definisce lo stato del sistema stesso (variabili di stato) La modellazione matematica/numerica dei sistemi ingegneristici è basata sempre sui processi di: semplificazione e approssimazione Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 1

CLASSIFICAZIONI DEI TIPI DI ANALISI Analisi probabilistica: gli eventi possono verificarsi in base ad una ben definita probabilità (es.: la rottura di una macchina) oppure può verificarsi in un certo periodo di tempo definito sulla base di una distribuzione matematica (es.: Gaussiana o normale) Analisi deterministica: gli eventi si verificano in base alla logica causa/effetto e sono prevedibili a priori. Comunemente si è soliti individuare due diverse tipologie di analisi deterministica: stazionaria (steady state analysis) dinamica (transient analysis) Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 2

ANALISI STAZIONARIA (STEADY STATE ANALYSIS) Nessuna dipendenza dei risultati dell’analisi rispetto alla variabile tempo Esempio N° 1 – Analisi termica di un radiatore per autoveicoli: si vuole determinare la distribuzione della temperatura, a regime, in tutti i punti principali del sistema Esempio N° 2 – Analisi del sistema di alimentazione del combustibile di un aeromobile: si vogliono determinare i valori delle cadute di pressione ai capi dei principali componenti del sistema (tubi, curve, giunzioni a T, giunzioni a Y, etc.) Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 3

ANALISI DINAMICA (TRANSIENT ANALYSIS) Obiettivo fondamentale: determinare come i valori delle variabili di stato del sistema evolvono nel tempo, a partire dalla conoscenza dei valori iniziali delle variabili di stato stesse Viene chiamato anche: “problema ai valori iniziali” Devono essere noti i valori iniziali delle variabili di stato (initial values)  valori delle variabili di stato per t = 0 I valori delle variabili di stato del sistema variano nel tempo perché: i valori iniziali non sono rappresentativi di una configurazione di equilibrio del sistema il sistema viene sottoposto a nuove azioni esterne (duty cycles) Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 4

CLASSIFICAZIONI DEI TIPI DI EQUAZIONE Equazione algebrica esplicita (explicit algebraic equation): Esempio: equazione dell’efflusso turbolento attraverso un orificio: nella quale Cq è costante Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 5

CLASSIFICAZIONI DEI TIPI DI EQUAZIONE Equazione algebrica implicita (implicit algebraic equation): Esempio: equazione dell’efflusso turbolento attraverso un orificio:  Il valore della portata volumetrica, Q, deve essere determinato iterativamente Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 6

CLASSIFICAZIONI DEI TIPI DI EQUAZIONE Equazione differenziale alle derivate parziali stazionaria (steady state partial differential equation – P.D.E.): Esempio: conduzione del calore stazionaria Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 7

CLASSIFICAZIONI DEI TIPI DI EQUAZIONE Equazione differenziale ordinaria, dinamica (dynamic ordinary differential equation – O.D.E.): Esempio: semplice modello di un volume di olio comprimibile in questo caso la pressione, p, è la variabile di stato del sistema Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 8

CLASSIFICAZIONI DEI TIPI DI EQUAZIONE Equazione differenziale alle derivate parziali dinamica (dynamic partial differential equation – P.D.E.): Esempio: conduzione del calore non stazionaria Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 9

CLASSIFICAZIONI DEI TIPI DI EQUAZIONE Equazioni differenziali ordinarie, dinamiche ed esplicite (explicit dynamic ordinary differential equations – O.D.E.’s): Esempio: massa in movimento sotto l’azione di una forza esterna di non precisata natura e delle forze originate dall’attrito viscoso e dall’attrito del vento Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 10

CLASSIFICAZIONI DEI TIPI DI EQUAZIONE Equazione differenziale ordinaria, dinamica ed implicita (implicit dynamic ordinary differential equation – O.D.E.): Lo stesso esempio di prima, trascurando il termine: implicita in ….. Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 11

CLASSIFICAZIONI DEI TIPI DI EQUAZIONE La forma della P.D.E. dinamica o della O.D.E. dinamica dipende dalle assunzioni introdotte in fase di modellazione Esempio: analisi dinamica dell’andamento della pressione all’interno di un tubo: Semplificazione: possiamo assumere che un singolo valore di pressione sia rappresentativo dell’intero tubo  il valore della pressione all’interno del tubo viene “concentrata” in un solo parametro (“lumped parameters models”) p Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 12

CLASSIFICAZIONI DEI TIPI DI EQUAZIONE Semplificazione: in alcune circostanze le variazioni di pressione all’interno del tubo non possono essere ignorate. In questi casi un “vettore (array)” di valori di pressione deve essere considerato: p1 p2 p0 pN ……….. Le equazioni che definiscono ogni singolo termine: possono essere ottenute, ad esempio, mediante l’applicazione del metodo di approssimazione delle “differenze finite” Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 13

CLASSIFICAZIONI DEI TIPI DI EQUAZIONE Questo tipo di modello è detto: “modello a parametri distribuiti (distributive parameter submodel)” I modelli a parametri distribuiti sono solitamente più accurati rispetto a quelli a parametri concentrati, ma sono però, al contempo, caratterizzati da un aumento dei tempi di calcolo che, nei casi peggiori, possono subire incrementi pari ad oltre 20 volte Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 14

CLASSIFICAZIONI DEI TIPI DI EQUAZIONE Esempi di casi per i quali l’applicazione di un modello di tubo a parametri distribuiti è importante al fine di ottenere risultati più accurati sono: applicazioni sottomarine nelle quali sono impiegati tubi estremamente lunghi applicazioni nelle quali la dinamica delle onde di pressione all’interno dei tubi è particolarmente importante (sistemi di iniezione del combustibile dei motori a combustione interna) Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 15

CLASSIFICAZIONI DEI SOTTOMODELLI Molto spesso il sottomodello matematico di un componente o di un sistema meccanico viene creato dopo un’approfondita analisi dei fenomeni fisici che li caratterizzano  sottomodello analitico (analytical submodel) In alternativa, possono essere acquisiti risultati sperimentali in grado di descrivere in modo corretto il comportamento del sistema che viene solitamente ricostruito mediante processi di interpolazione  sottomodello empirico (empirical submodel or black box submodel) Entrambe le forme di sottomodello (analitico ed empirico) sono utilizzate in maniera estensiva Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 16

CLASSIFICAZIONI DEI SOTTOMODELLI L’utilizzo di sottomodelli empirici può essere estremamente pericoloso se essi vengono impiegati per simulare condizioni operative estremamente lontane rispetto a quelle in corrispondenza delle quali sono stati acquisiti i dati sperimentali In alcuni casi l’utilizzo congiunto di entrambe queste due tecniche può essere adottato, dando luogo ad un cosiddetto “grey box submodel” I sottomodelli che sono basati sulla definizione di variabili di stato sono detti “dynamic submodels” Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 17

CLASSIFICAZIONI DEI SOTTOMODELLI Molti altri sottomodelli sono detti steady state submodels o instantaneous submodels  il componente o il sistema reagisce così velocemente da raggiungere istantaneamente una configurazione di equilibrio Infine, si citano i cosiddetti “duty cycle submodels”  sono sottomodelli che calcolano alcune grandezze di riferimento in funzione del tempo di simulazione. Sono utilizzati per definire andamenti prestabiliti di funzionamento per i sistemi di controllo oppure per definire cicli di comando di particolari componenti (es.: valvole) Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 18

CLASSIFICAZIONI DEI PROBLEMI INGEGNERISTICI Problemi rappresentati da modelli matematici costituiti da equazioni algebriche e da equazioni differenziali ordinarie, di tipo esplicito  O.D.E. initial value problems Infine, si citano i cosiddetti “duty cycle submodels”  sono sottomodelli che calcolano alcune grandezze di riferimento in funzione del tempo di simulazione. Sono utilizzati per definire andamenti prestabiliti di funzionamento per i sistemi di controllo oppure per definire cicli di comando di particolari componenti (es.: valvole) Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 19

CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI INGEGNERISTICI O.D.E. initial value problems  problemi rappresentati da modelli matematici costituiti da equazioni algebriche e da equazioni differenziali ordinarie, tutte di tipo esplicito La maggior parte dei modelli matematici dei sistemi ingegneristici impiegati al giorno d’oggi ricade in questa categoria I solutori impiegati per la risoluzione di tale tipologia di equazioni sono estremamente sviluppati e affidabili Gli sviluppatori di modelli più esperti evitano istintivamente, quando non è necessario, di introdurre equazioni di tipo implicito, al contrario dei principianti Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 20

CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI INGEGNERISTICI D.A.E. initial value problems  problemi rappresentati da modelli matematici costituiti da equazioni algebriche e da equazioni differenziali ordinarie, almeno una delle quali di tipo implicito I solutori impiegati per la risoluzione di tale tipologia di equazioni sono meno sviluppati e affidabili rispetto a quelli impiegati nel caso degli O.D.E. initial value problems, a causa della maggiore complessità dei problemi da risolvere Essi assumono, al giorno d’oggi, un’importanza sempre maggiore ed è pensabile che, di pari passo con lo sviluppo progressivo dei solutori specifici per tale tipologia di problemi, possano diventare addirittura più importanti degli O.D.E. initial value problems Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 21

CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI INGEGNERISTICI D.A.E. initial value problems  problemi rappresentati da modelli matematici costituiti da equazioni algebriche e da equazioni differenziali ordinarie, almeno una delle quali di tipo implicito Lo sviluppo e l’introduzione di un solutore D.A.E. realmente efficiente potrebbe determinare una vera rivoluzione nel settore della modellazione dei sistemi ingegneristici Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 22

ORDINE DEI MODELLI MATEMATICI Equazione differenziale ordinaria del primo ordine (first order lag type) Equazione differenziale ordinaria del secondo ordine (second order lag type) Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 23

SOLUZIONE DEI MODELLI MATEMATICI La tecnica standard per procedere alla risoluzione di equazioni differenziali del secondo ordine (o di ordine superiore) consiste nella loro conversione ad equazioni differenziali del primo ordine Nel caso del nostro esempio:  possiamo limitarci solamente allo studio delle equazioni differenziali ordinarie del primo ordine Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 24

SOLUZIONE DEI MODELLI MATEMATICI In generale, un generico sistema ingegneristico sarà rappresentabile per mezzo di N variabili di stato, per ciascuna delle quali è possibile scrivere un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine nella forma seguente: L’intervallo temporale di validità di ogni singola equazione, compreso tra un valore di tempo iniziale (t = 0) ed un valore di tempo finale (t = tfin), sarà definito dalla seguente relazione: Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 25

SOLUZIONE DEI MODELLI MATEMATICI In aggiunta, bisognerà conoscere il valore di ogni variabile di stato in corrispondenza del tempo iniziale di evoluzione del sistema: Inoltre, può essere estremamente utile utilizzare la notazione vettoriale. In questo caso, le relazioni appena introdotte assumono la seguente forma: Vettore delle variabili di stato: Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 26

SOLUZIONE DEI MODELLI MATEMATICI Inoltre, può essere estremamente utile utilizzare la notazione vettoriale. In questo caso le relazioni appena introdotte assumono la seguente forma: Forma vettoriale delle equazioni: Vettore delle condizioni iniziali:  le variabili algebriche sono state volutamente ignorate, in quanto la risoluzione delle equazioni algebriche di tipo esplicito è banale Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 27

SOLUZIONE DEI MODELLI MATEMATICI Nel caso dei D.A.E. initial values problems le equazioni da risolvere sono più complesse Vettore delle variabili di stato: Vettore delle variabili algebriche di tipo implicito: Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 28

SOLUZIONE DEI MODELLI MATEMATICI Il set completo di equazioni assume la forma seguente: Forma vettoriale delle equazioni implicite:  ogni variabile algebrica di tipo implicito è associata ad un’equazione da risolvere Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 29

METODI NUMERICI DI SOLUZIONE Nel caso di risoluzione numerica dei modelli matematici, non si ottiene una soluzione per tutto l’intervallo temporale di evoluzione del sistema: Al contrario ciò che otteniamo è una soluzione numerica in corrispondenza di una “collezione” di punti temporali, detti anche nodi: Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 30

METODI NUMERICI DI SOLUZIONE Nel caso di metodi di soluzione estremamente semplici e grossolani, i punti temporali saranno equispaziati Per i più moderni e potenti metodi di soluzione, i punti temporali non saranno più equispaziati ma posizionati in base alla difficoltà di soluzione ad un particolare istante di integrazione  Quando la soluzione varia rapidamente, i nodi di soluzione saranno più ravvicinati. Quando, invece, la soluzione varia lentamente (come, ad esempio, quando ci si avvicina ad una configurazione di equilibrio stazionaria) i nodi di soluzione saranno maggiormente distanziati tra loro. Per un caso estremo di simulazione numerica non sarà inusuale che la distanza temporale tra due punti di integrazione successivi sia variabile da 1.0e-8 secondi fino a più di 10 secondi !!! Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 31

METODI NUMERICI DI SOLUZIONE La soluzione approssimata per la variabile di stato y, al tempo t = tn, sarà rappresentata dal simbolo yn Tutti i metodi di integrazione più ampiamente utilizzati, ricadono all’interno di due principali categorie: metodi espliciti di tipo Runge-Kutta (explicit Runge-Kutta methods) metodi multistep lineari (linear multistep methods) Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 32

EXPLICIT RUNGE-KUTTA METHODS I metodi espliciti di tipo Runge-Kutta sono detti anche metodi ad un passo poiché per calcolare il valore di yn+1 è necessario conoscere solamente il valore di yn Una serie di k valori vengono determinati, calcolando le funzioni f, che esprimono le derivate delle variabili di stato tra gli istanti di tempo t = tn e t = tn+1, come mostrato nell’esempio seguente: Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 33

EXPLICIT RUNGE-KUTTA METHODS In questo caso solamente due valori k (k1 e k2) sono utilizzati e, per questo motivo, viene definito 2-stage method Il parametro h è detto passo di calcolo o di integrazione (time step) ed è definito nel seguente modo: Tanto maggiori sono i valori del parametro k che vengono utilizzati, tanto maggiore sarà l’accuratezza del metodo Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 34

EXPLICIT RUNGE-KUTTA METHODS Nei metodi di tipo Runge-Kutta più utilizzati 4, 5 o 6 valori del parametro k (stages) sono utilizzati I metodi espliciti di tipo Runge-Kutta sono i più semplici da implementare, perché sono appunto di tipo esplicito Essi sono in grado di fornire buoni risultati quando le equazioni da risolvere non sono troppo complesse (su questo torneremo in dettaglio nel seguito) Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 35

LINEAR MULTISTEP METHODS Per questa seconda categoria di metodi di integrazione si introduce la seguente notazione: I metodi di tipo linear multistep sono detti anche metodi multipasso poiché per calcolare il valore di yn+1 è necessario conoscere più di un valore già calcolato ai passi precedenti della generica variabile di stato y (ad esempio: yn, yn-1, yn-2, etc.) Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 36

LINEAR MULTISTEP METHODS Esempi di metodi di tipo linear multistep ampiamente utilizzati: 2-step backward differentiation formula (Gear’s method) 2-step Adams Moulton method (Adams code) 2-step Adams Bashforth method (real time integrator) Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 37

LINEAR MULTISTEP METHODS I primi due metodi (2-step backward e Adams Moulton) sono di tipo implicito poiché il valore della variabile di stato yn+1 viene calcolato a partire dai valori di fn+1 e yn+1 Il terzo metodo (2-step Adams Bashforth) è, invece, di tipo esplicito poiché il valore della variabile di stato yn+1 viene calcolato a partire solamente dai valori di fn, fn-1, yn e yn-1 Tutti e tre sono detti metodi a due passi (2-step methods) poiché il valore della variabile di stato yn+1 viene determinato a partire dalla conoscenza di due valori precedenti della stessa variabile y (nel nostro caso: yn e yn-1)  metodi multipasso Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 38

LINEAR MULTISTEP METHODS Esistono numerose ed estremamente diverse tra loro varianti di metodi multipasso, ciascuno dei quali adatto per la risoluzione di una particolare tipologia di problemi ingegneristici Essi sono però, in generale, più difficili da implementare a livello di codice informatico rispetto, ad esempio, ai metodi espliciti di tipo Runge-Kutta  il codice risultante può essere estremamente lungo e complesso Oleodinamica B – La simulazione dei sistemi ingegneristici: aspetti numerici 39