Introduzione alle distribuzioni di probabilità di Gauss o normale di Bernoulli o binomiale di Poisson o dei casi rari

La distribuzione di Gauss Sia x 0 il valore “vero” di una grandezza misurabile . Qual è la probabilità di ottenere un valore x effettuando una misura di  ? Dipende dalla procedura di misura

Se la procedura fosse quella ideale dei “matematici”: allora:

Se la procedura fosse quella fisica ottenuta mediante uno strumento di sensibilità  x: Allora potrebbero presentarsi due situazioni in dipendenza dal valore  x :  x grande (scarsa sensibilità dello strumento)  x piccolo:  x = dx (alta sensibilità dello strumento)

 x grande (scarsa sensibilità dello strumento)  x x 1 x 2 x 3 x 4 … numeri rilevabili dallo strumento x 0  in questo caso lo strumento segnerà x 3

Per capire perché si introduce la distribuzione di probabilità … è opportuno aspettare ad analizzare la misura fatta con uno strumento ad alta sensibilità e considerare invece la seguente situazione: Il valore della variabile x dipenda dall’esito di un esperimento o gioco aleatorio (la variabile si dice aleatoria). Esempio: la somma media ottenuta lanciando m dadi

Il caso m = 2 Si supponga di aver ottenuto: Allora il valore della somma media è: Tale valore lo si sarebbe ottenuto anche se fossero uscite le facce con: (4 e 1) o (2 e 3) o (3 e 2). In totale sono quattro casi favorevoli all’uscita del valore medio 2,5 14

Ecco l’istogramma che fornisce il numero di casi favorevoli all’uscita di ognuno dei valori possibili della somma dei numeri che escono sulle facce di due dadi

Ecco il grafico della funzione discreta che associa ad ogni valore x della somma media la sua probabilità

osservazione Una volta conosciuta la probabilità di uscita del valore medio x, si avrà anche la probabilità che in un lancio di m dadi si ottenga m  x come somma. Per m = 1 : 1/ In accordo col fatto che 1/6 è la probabilità di uscita di ognuno dei numeri sul dado

Per m = 3

Domanda: qual è la probabilità che la somma media sia compresa tra 2 e 3 estremi inclusi? Risposta: 2  x  3  x = 2  x = 2,5  x = 3  P(2  x  3) = P(2) + P(2,5) + P(3) In generale: e nel caso in cui i valori della variabile aleatoria si addensino, cioè x k+1 = x k + dx con dx  0 allora …

… allora Tra parentesi quadre è espresso il valore medio di una funzione nell’intervallo dx, così che la somma sia interpretabile come somma di rettangoli di base infinitesima.

È possibile quindi introdurre una funzione detta “distribuzione di probabilità” tramite la quale si è in grado di associare ad ogni intervallo di valori la probabilità che esso si verifichi in un esperimento: Tale funzione deve soddisfare la seguente proprietà:

Nel caso della misura con uno strumento a bassa sensibilità: La distribuzione di probabilità: deve essere definita in modo da soddisfare: e, in particolare:

Tale la distribuzione è detta “delta di Dirac”:

La funzione  può essere pensata come limite di alcune funzioni Ecco un esempio: La distribuzione di probabilità dei “matematici” è un altro esempio Ne seguirà a breve un altro ancora (limite di una gaussiana)

 x piccolo:  x = dx (alta sensibilità dello strumento) Nella ripetizione delle misure nelle stesse condizioni, lo strumento rileva diversi numeri. Si possono ipotizzare più cause della variabilità delle misure ma nulla di certo, soprattutto che sia controllabile per garantire le setsse condizioni di ripetibilità: diciamo che le variazioni sono accidentali.  > dx La distribuzione di probabilità dp/dx è ottenibile ricorrendo alla definizione frequentista di probabilità:P(x) = n(x)/N

n(x) è il numero delle volte In cui la misura della grandezza  ripetuta N volte ha dato il valore x appartenente alla successione x i = i  dx. Risulta con buona approssimazione:

n(x) con N lanci di 1/dx dadi n x 3,5

X 0 è il valore più probabile ma è anche il valor medio: n’ k è il numero di volte in cui si è ottenuto il valore x k : Mentre:

 Si chiama deviazione standard: risulta che: P(x 0 –  < x < x 0 –  ) = 68 %

La f(x) è detta distribuzione di Gauss Essa è simmetrica rispetto alla retta x = x 0, in cui presenta un massimo; Presenta due flessi in x =   ; Inoltre risulta che.

La distribuzione di Bernoulli To be continued