Bilancio macroscopico di quantità di moto Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio macroscopico di quantità di moto Analogamente al bilancio di massa scriviamo un bilancio di qdm su un volume di controllo arbitrario (V) racchiuso da una superficie (S) e che è attraversato da un fluido n N.B. Il volume è fisso nello spazio S dS V In ogni punto di S è possibile definire il vettore unitario n ortogonale alla superficie e con verso positivo orientato in uscita dal volume

Bilancio macroscopico di qdm Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio macroscopico di qdm IN – OUT + SF = ACC IN –OUT = qdm entrante – uscente per unità di tempo ACC = velocità di accumulo di qdm nel volume SF = somma di tutte le forze agenti sul volume di controllo Il bilancio è S V n dS In analogia con il bilancio di massa i termini di ingresso e di uscita sono associati al flusso di qdm che si esprime come: Portata volumetrica per unità di superficie qdm per unità di volume ≡ concentrazione della qdm Il segno meno è dovuto alla scelta del verso positivo di n

Bilancio macroscopico di qdm Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio macroscopico di qdm Il termine di accumulo è invece la derivata temporale della quantità di moto complessiva dell’intero volume Il bilancio è quindi Le forze agenti sul volume di controllo V sono di due tipi: Forze di massa o volume che agiscono sul volume e sono proporzionali ad esso (es. gravità) Forze di superficie che agiscono attraverso la superficie S (es. pressione) V V

Bilancio macroscopico di qdm Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio macroscopico di qdm g = accelerazione di gravità Le forze di massa si riducono nella maggior parte dei casi alla sola forza peso Le forze di superficie, indicando con tn la forza per unità di superficie agente su un punto di S si esprimono come Il bilancio è quindi Utilizzando il teorema di Gauss per il primo termine Per applicare il teorema di Gauss al termine relativo alle forze di superficie bisogna trovare un’espressione per le forze di superficie

Il tensore degli sforzi Simulazione dei fenomeni di trasporto Il tensore degli sforzi Il vettore tn può essere espresso in funzione delle 9 componenti di sforzo dei tre vettori ti: T = tensore degli sforzi T è il tensore che applicato ad un versore normale ad una superficie restituisce la forza per unità di superficie agente sulla stessa Rappresenta l’ espressione dello stato tensionale in funzione della orientazione della superficie sforzi tangenziali sforzi normali

Bilancio microscopico di qdm Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio microscopico di qdm Esprimendo lo sforzo sulla superficie ds attraverso il tensore T nella eq. di bilancio macroscopico della qdm Si ottiene applicando al termine di forze di superficie il teorema di Gauss l’equazione diventa

Bilancio microscopico di qdm Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio microscopico di qdm L’arbitrarietà del volume V consente di affermare che la eq. di bilancio di qdm è sempre vera se e solo se per ogni punto è 7

Bilancio microscopico di qdm Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio microscopico di qdm rappresenta la forma differenziale dell’eq. di bilancio di qdm Semplifichiamola! Utilizzando la regola di derivazione di un prodotto e sviluppando la divergenza della diade vv si ha: Bird A.4-24 Per cui :

Bilancio microscopico di qdm Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio microscopico di qdm Abbiamo ottenuto Dall’eq. di continuità tornando quindi alla eq. di bilancio di qdm che era si ottiene Equazione di Cauchy

Bilancio microscopico di qdm Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio microscopico di qdm Equazione di Cauchy Rappresenta la forma più generale della eq. di bilancio microscopico di qdm Accumulo di qdm Flusso di qdm Forze Fa riferimento ad un sistema fisso nello spazio e quindi rappresenta l’approccio Euleriano Considerando che i primi due termini (a meno della densità) rappresentano proprio la derivata sostanziale della velocità, l’equazione in termini Lagrangiani è:

Equazioni di stato e costitutive Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazioni di stato e costitutive Vogliamo studiare il moto di un fluido omogeneo in condizioni isoterme e in assenza di reazioni chimiche Abbiamo a disposizione le equazioni di bilancio di massa e di qdm Per risolvere il sistema di equazioni dobbiamo definire CI e BC densità 3 componenti della velocità 6 componenti del tensore degli sforzi (perché è simmetrico) Verifichiamo quale è il numero delle incognite 10 incognite 4 equazioni ….. abbiamo bisogno di altre equazioni

Equazioni di stato Un esempio è l’equazione di stato dei gas perfetti Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazioni di stato Un esempio è l’equazione di stato dei gas perfetti Fluidi comprimibili In caso di non idealità esistono altre equazioni Fluidi incomprimibili Il problema è diventato di: 10 incognite e 5 equazioni nel caso di fluidi incomprimibili 11 incognite e 5 equazioni per i fluidi comprimibili (in quanto abbiamo aggiunto la pressione) Bisogna specificare il legame locale tra condizioni di flusso e stato tensionale del fluido Equazioni costitutive

Equazioni di stato : fluidi newtoniani Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazioni di stato : fluidi newtoniani x2 v Un fluido si trova tra 2 piatti paralleli uno dei quali si muove con velocità v x1 Si determina un flusso di scorrimento Ogni strato di fluido ha una velocità in direzione x1 variabile lungo x2 Al moto corrisponde l’insorgere di una componente tangenziale di sforzo tra uno strato e l’altro x2 v T21 x1

Equazioni di stato : fluidi newtoniani Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazioni di stato : fluidi newtoniani Il risultato sperimentale è che lo sforzo è legato direttamente alla variazione della velocità lungo la direzione trasversale Per un fluido newtoniano si riscontra una proporzionalità diretta tra sforzo tangenziale e gradiente di velocità L’equazione rappresenta oltre che l’equazione costitutiva di un fluido newtoniano anche una definizione operativa della viscosità m E’ comunque una equazione scalare perché riferita ad una sola componente del tensore degli sforzi Legame tra tensore degli sforzi e quantità tensoriali che rappresentano le variazioni di velocità Definire un’equazione costitutiva di tipo tensoriale Obiettivo Bird cap. 1.2

Equazioni di stato : fluidi newtoniani Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazioni di stato : fluidi newtoniani Per stabilire la relazione che lega il tensore degli sforzi con le quantità tensoriali che rappresentano le variazioni di velocità bisogna tenere conto delle seguenti condizioni: Il tensore T deve essere “congruo” (es. simmetrico); In caso di v=0 (fluido in quiete) la soluzione deve essere tale per cui agisce solo lo sforzo normale ≡ pressione Deve essere in accordo con le evidenze sperimentali L’espressione che si ottiene è =0 per fluidi incomprimibili Viscosità di volume << m La viscosità di volume (bulk viscosity) entra in gioco per i fluidi comprimibili ed è importante nei fenomeni in cui la compressibilità del fluido è essenziale (onde d’urto, propagazione del suolo …)

Equazioni di stato : fluidi newtoniani Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazioni di stato : fluidi newtoniani analizziamo l’eq. ottenuta E’ rispettata la proporzionalità diretta tra tensore e derivate spaziali della velocità; Soddisfa la condizione di simmetria del tensore degli sforzi. Infatti: il primo e terzo membro sono multipli del tensore unitario, isotropi e quindi simmetrici. - il secondo è proporzionale alla parte simmetrica del tensore gradiente di velocità ed è quindi anch’esso simmetrico In condizioni di assenza di flusso la eq. si riduce a che corrisponde a uno stato tensionale isotropo e p corrisponde alla pressione E’ confermata dai dati sperimentali di una vasta categoria di fluidi (gas, liquidi come l’acqua, liquidi organici a basso peso molecolare …)

Equazioni di stato : fluidi newtoniani Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazioni di stato : fluidi newtoniani Tutti fluidi il cui comportamento fluidodinamico è descritto dalla equazione costitutiva: sono indicati come FLUIDI NEWTONIANI

Simmetria del tensore degli sforzi Simulazione dei fenomeni di trasporto Simmetria del tensore degli sforzi Le componenti del tensore sono nove ma non sono tutte indipendenti Applichiamo il bilancio del momento di qdm ad un cubetto di fluido di lati dx1,dx2 e dx3. x1 x2 Momento dell’accumulo di qdm = somma delle coppie di tutte le forze agenti I momenti sono calcolati rispetto al centro del cubo x3 accumulo della qdm forza peso sforzi normali alle sup Vettori applicati al centro del cubo Momento nullo Equilibrio alla rotazione del cubetto sotto l’azione delle sole forze tangenziali Bilancio del momento di qdm ≡

Simmetria del tensore degli sforzi Simulazione dei fenomeni di trasporto Simmetria del tensore degli sforzi L’equilibrio alla rotazione del cubetto implica ad esempio x1 T12 T21 x2 In genere sarà x3 Il tensore degli sforzi è simmetrico

Parte deviatorica Se riscriviamo l’eq. costitutiva introducendo si ha Simulazione dei fenomeni di trasporto Parte deviatorica Se riscriviamo l’eq. costitutiva introducendo si ha s = parte deviatorica del tensore degli sforzi (compare solo quando si applicano condizioni di flusso)

Fluidi incomprimibili Simulazione dei fenomeni di trasporto Fluidi incomprimibili Parte simmetrica del tensore gradiente di velocità Per fluidi incomprimibili Quindi l’equazione di bilancio di qdm per fluidi newtoniani e incomprimibili è 21

Equazione di Navier-Stokes Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di Navier-Stokes IPOTESI: FLUIDO INCOMPRIMIBILE e NEWTONIANO Bilancio di materia Bilancio di qdm Il termine di pressione è Operatore Laplaciano restituisce un vettore le cui componenti sono le derivate seconde nelle 3 componenti del vettore dato parte deviato-rica Nulla per l’ipotesi di incomprimibilità

Laplaciano di un vettore Simulazione dei fenomeni di trasporto Laplaciano di un vettore 23

Fluidi incomprimibili Simulazione dei fenomeni di trasporto Fluidi incomprimibili 24

Equazione di Navier-Stokes Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di Navier-Stokes Quindi essendo: Si può scrivere la come EQUAZIONE DI NAVIER-STOKES Bilancio di qdm per fluido newtoniano incomprimibile a T costante

Equazione di Navier-Stokes Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di Navier-Stokes Il sistema di equazioni E’ un sistema di 4 equazioni in 4 incognite (p + 3 componenti di v) (la densità è nota o valutabile dalla eq. di stato) E’ quindi risolvibile una volta assegnate le CI e BC

Simulazione dei fenomeni di trasporto Pressione ridotta Considerando che il termine di forza peso può essere scritto come gradiente di un campo scalare (campo di energia potenziale) Dove h è la quota del punto in un sistema in cui l’asse verticale (x3) è orientato verso l’alto Quindi l’eq. di N-S diventa ossia Pressione ridotta

Forme particolari della Equazione di Navier-Stokes Simulazione dei fenomeni di trasporto Forme particolari della Equazione di Navier-Stokes Assenza di moto v = 0 Integrata Equazione dell’idrostatica Legge di Stevino p = pressione a h p0 = pressione a h0

Forme particolari della Equazione di Navier-Stokes Simulazione dei fenomeni di trasporto Forme particolari della Equazione di Navier-Stokes Moto monodimensionale in questo caso risulta (fluido incomprimibile) l’eq. di NS diventa in condizioni stazionarie sancisce il principio che in moto rettilineo per un fluido newtoniano incomprimibile il bilancio di qdm si riduce ad un puro bilancio di forze 29

Forme particolari della Equazione di Navier-Stokes Simulazione dei fenomeni di trasporto Forme particolari della Equazione di Navier-Stokes Termini di accelerazione trascurabili l’eq. di NS in questo caso risulta Chiamata equazione di flusso di Stokes o creeping flow moti lenti con forze viscose che prevalgono su quelle di inerzia vale quando Esempi: moto laminare in un capillare moto lento intorno ad un oggetto sommerso moto in mezzi porosi 30

Forme particolari della Equazione di Navier-Stokes Simulazione dei fenomeni di trasporto Forme particolari della Equazione di Navier-Stokes Termini viscosi trascurabili l’eq. di NS in questo caso risulta chiamata equazione di Eulero per fluidi “inviscidi” vale quando le forze di inerzia prevalgono su quelle viscose lontano da superfici solide Esempi: moto intorno alle ali di un aeroplano 31