Classi di addettiF >2504 La seguente tabella riporta la distribuzione di 100 aziende per classi di addetti. a.Si calcoli: un indice di variabilità assoluto ; b.L’indice di variabilità relativo più opportuno. c.Si evidenzi la simmetria della distribuzione con gli appropriati strumenti metodologici e grafici Analisi del problema: È una distribuzione di frequenze x classi Le classi sono di diversa ampiezza X il calcolo di media e varianza occorre predisporre i dati v.c.fr.v.c.*frvc^2vc^2*fr X il calcolo delle medie di posizione e della moda occorre predisporre i dati Classi addetti Freq.v.c. ampi ezza.d.f.rel.cum La concentrazione ha lo scopo di studiare la sperequazione che esiste nella distribuzione di caratteri quantitativi, additivi, e quindi trasferibili. L’indice di variabilità relativa + opportuno è il rapp. di concentrazione Classi addetti Freq.v.c.fr.relPiintensitàintens.rel.QiPj-Qj Pi-Pi- 1 Qi+Qi-1prodotti Misure di asimmetria: SKEWEENES Basandoci sul momento centrale terzo (media dei cubi degli scarti) estraiamo la misura di simmetria

v.c.fr.v.c.*frvc^2vc^2*fr 3,0039,00 27,00 10, ,00110,251764,00 33, ,001089, ,00 150, , , ,75 325, , , , , ,75 Classi addetti Fre q.v.c. ampi ez.d.f.rel.cum 1533,0040,750, ,5091,780, ,00341,000, ,501990,220, ,001500,030, ,00 Media dei quadrati ,75/ ,7 8 Media arit. al quadr 8227,40 varianza 14352, , ,38 sqm rad.q.var78,26 mediana 40 N/250 L1L1 16 ΣfiΣfi 19 fme d43 c34 1°quartile 20,74 N/425 L1L1 16 ΣfiΣfi 19 fq43 c34 3° quartile 152,81 3/ 4N75 L1L1 51 ΣfiΣfi 53 fq43 c199 VAI=Q 1 -1,5(Q 3 -Q 1 )=-177,37 VAS=Q 3 +1,5(Q 3 -Q 1 )=350,95 MODA 12,5 Df> 1,78 L1L1 6,00 Δ1Δ1 13,00 Δ2Δ2 18,00 c11,00 media 9070,5/100 90,71 20, ,81 350,95 *** 400 Sk= 90,71-12,5=1 78,26 M>M o: asimmetria positiva Presenta degli inconvenienti: è utilizzabile solo per distribuzione unimodale può annullarsi anche per distribuzioni asimmetriche Ricorro all’indice γ 1

Misure di simmetria: Classi addettiFreq.v.c.scartiscarti^3freqcubi * freq 1533,00-87, , , ,50-80, , , ,00-57, , , ,5059, , , ,00234, , , ,36 media 9070,5/100 90,71 sqm 78,26 momento terzo ,36 /100= ,58 γ1γ ,58/ 78,26 3 = 1,09 Asimmetria positiva Asimmetria negativa Simmetria Costruisco una tabella x calcolare il momento terzo

Classi addettiFreq.v.c.fr.relPiintensitàintens.rel.Qi Pi- 1 - Q i ,000,03 9,000,0010 0, ,500,160,19168,000,01850,01950, ,000,340,531122,000,12370,14320, ,500,430,966471,500,71350,85670, ,000,041,001300,000,14331,00000, ,002,719070,501,0000 Σ p i-1 1,710,69 Pi-Pi- 1 Qi+Qi-1prodotti 0,030,00100,0033 0,160,02050,0553 0,340,16270,4300 0,430,99990,0743 0,5628 R=0,69/1,71 0,4033 R= 1-0,5629 0,4372 Con Gini Metodo dei trapezi Poiché 0<R<1, esiste una concentrazione appena rilevante.

2. La tabella seguente riporta la distribuzione di frequenza di 300 aziende rispetto al settore produttivo e alla tipologia di prodotto: prodotti finiti o semilavorati Prodotti. FinitiSemilavorati Prodotti.Finit i e SemilavoratiTotale Alimentare 65,0013,0026,00 104,00 Abb. Calzature 49,00 98,00 196,00 Totale114,0062,00124,00300,00 Analisi del problema:. La tabella proposta è a doppia entrata con k righe = 2 e h colonne = 3 e contiene due mutabili. Lo studio della dipendenza può avvenire, quindi, solo attraverso l'analisi delle frequenze e l’indice più opportuno è il χ 2. Si determini, utilizzando l'indice che si ritiene più opportuno, il grado di associazione fra i caratteri Relativamente a questa tabella il χ 2 max= Poiché =300

Prodotti. Finiti Semilavor ati Prodotti. Finiti e Semilavor atiTotale Alimentar e 39,5221,4942,99 104,00 Abb. Calzature 74,4840,5181,01 196,00 Totale114,0062,00124,00300,00 Prodotti. Finiti Semilavor ati Prodotti. Finiti e Semilavor ati Alimentar e 25,48-8,49-16,99 Abb. Calzature -25,488,4916,99 Prodotti. Finiti Semilavor ati Prodotti.F initi e Semilavor ati Alimentar e 649,2372,14288,55 Abb. Calzature 649,2372,14288,55 Prodotti. Finiti Semilav orati Prodotti.Finiti e Semilav oratiTotale Aliment are 16,433,366,71 26,50 Abb. Calzatur e 8,721,783,56 14,06 Totale25,145,1410,2740,56 Prodotti. Finiti Semilavo rati Prodotti. Finiti e Semilavo ratiTotale Alimenta re 65,0013,0026,00 104,00 Abb. Calzature 49,00 98,00 196,00 Totale114,0062,00124,00300,00 Frequenze osservate Frequenze teoriche ContingenzeContingenze 2 Contingenze 2 /freq. teoriche χ2χ2 Per avere un’informazione + chiara estraggo 0< Ф 2 <min(r-1; c-1) In questo caso max Ф 2 =1 Ф 2 =χ 2 /N=0,14 Esiste un bassissimo grado di dipendenza assoluta

Il tempo impiegato per la produzione di un certo componente si distribuisce secondo una Normale con media 45 minuti e S.Q.M. 9 minuti. Determinare, in una produzione di 1000 pezzi, il numero dei pezzi che hanno richiesto oltre un'ora di lavoro. L'area cercata è quella che si trova a destra della media oltre 60 Z= , Ad una z di 1,66 corrisponde un 'area di 0,4515. Indica che il 95% della produzione viene effettuata entro 6o minuti. per la simmetria della curva la percentuale cercata è data da 0,5 - 0,4515 =0,0485 Il 4,85% dei pezzi richiede oltre un ora : su 1000 pezzi essi sono 48,5. z x 0,4520, ,66 0,048

XiXi YiYi X i *Y i X²Y² 12,05264, , ,56 10,45258, , ,91 19,34246, , ,42 91,9259, , ,36 61,712611, , ,87 46,68249, , ,32 37,42250, , ,02 47,61249, , ,18 14,51260, ,89210, ,40 341, , , ,06 MxMyMxyM(X)²M(Y)² 37,96255, , , ,78 (Mx)²(My)²Mx*My 1.441, , ,85 Attraverso un’indagine condotta su 9 calzaturifici sono state rilevate alcune informazioni relative alle capacità produttive: numero ore/uomo impiegate nell’ultimo anno ed il fatturato. Si valuti la dipendenza tra i due caratteri. (i dati sono in migliaia) Ipotizziamo una relazione lineare tra i due fenomeni. Si tratterà di determinare i parametri di una funzione lineare del tipo Si tratta di un problema di relazione statistica. Sono due variabili quindi si può ricorrere all' analisi della dipendenza interpolativa. Tecnicamente si parlerà di regressione. dove sono i valori teorici della variabile dipendente (variabile da spiegare) è l’intercetta della funzione, è il coefficiente di regressione e è la variabile esplicativa (variabile indipendente). Analisi del problema

Var x = M(X)² - (Mx)² 633,09 Var (y) M(Y)² - (My)² ,30 Cov(x,y) ∑(x*y) - Mx*My ,16 bxy Cov(x,y)/var(x) 24,3 axy My-bxyMx -667,17 Y= -667,17+24,3x byx Cov(x,y)/var(y) 0,02148 ayx Mx-Mybyx 254,53 X=254,53+0,02148y R2R2 b xy *b yx 0,52 r radqR 2 0,72 C’è un medio grado di dipendenza interpolativa (discreto adattamento della retta ai punti) Esiste un buon grado di interdipendenza. XiXi YiYi X i *Y i X²Y² 12,05264, , ,56 10,45258, , ,91 19,34246, , ,42 91,9259, , ,36 61,712611, , ,87 46,68249, , ,32 37,42250, , ,02 47,61249, , ,18 14,51260, ,89210, ,40 341, , , ,06 MxMyMxyM(X)²M(Y)² 37,96255, , , ,78 (Mx)²(My)²Mx*My 1.441, , ,85