Teoria dei Sistemi di Trasporto Tematica 3: Modelli di offerta di trasporto a rete (stazionari)

Modelli di rete

Modelli di rete

Modelli di rete Offerta di trasporto (passeggeri - in ambito stazionario): Modello topologico Grafo Sul modello topologico vengono definiti Modello di congestione Modello di calcolo dei costi di percorsi Modello di propagazione del flusso

Modelli di rete Variabilità nel tempo I modelli di offerta sono caratterizzati dalla cosiddetta dinamica “within-day” Se osservo quello che succede su una porzione del sistema … Vedo un andamento variabile nel tempo Posso vedere l’aumentare o il diminuire del “traffico”, il formarsi e dissiparsi di code, …

Modelli di rete Tempo Nella realtà il tempo è una variabile continua Può essere trattato da un punto di vista modellistico come: Una variabile continua Una variabile discreta discretizzazione in intervalli temporali Per ora supporremo sistemi in condizioni di funzionamento stazionario

Modelli di rete Condizioni di funzionamento stazionario Lo stato del sistema si mantiene invariante nel tempo In ogni istante del periodo di osservazione che considero osservo sempre lo stesso stato del sistema Il tempo non è più una variabile significativa del problema

Modelli di rete Modelli (analitici) di offerta per i sistemi di trasporto finalizzati alla descrizione astratta (insieme congruente di relazioni matematiche) di opportunità di spostamento offerte da un sistema di trasporto infrastrutture fisiche servizi di trasporto che su di esse insistono delle tariffe di uso del sistema regole organizzative e normative prestazioni che derivano anche dall'interazione con gli utenti che ne usufruiscono La determinazione, all'interno del sistema di trasporto “reale” delle parti (infrastrutturali e funzionali) di interesse è una astrazione logica che concorre alla determinazione del “sistema” oggetto delle analisi.

Modelli di rete Modello di offerta di trasporto possono essere di tipo Spazio-Continuo Spazio-Discreto Misto Continuo è un modello in cui tutte le caratteristiche sono individuate attraverso funzioni definite su un dominio continuo indipendentemente dai valori continui o discreti che possono assumere Es.: un campo di velocità definito in tutti i punti dello spazio Discreto è un modello in cui tutte le caratteristiche sono individuate attraverso funzioni definite su un dominio discreto Es.: la velocità di percorrenza di un arco della rete stradale Misto è un modello definito su un insieme discreto di sotto-domini continui Es.: il campo di velocità di tutti i punti di un arco di una rete stradale I modelli di offerta di solito utilizzati sono modelli di tipo misto La topologia di un sistema di offerta di trasporto (rete) è praticamente sempre definita in modo discreto

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Modelli di rete Modello topologico dell’offerta di trasporto Consiste nell'individuazione delle componenti elementari del sistema e nella descrizione del modo in cui esse sono reciprocamente collegate Parti infrastrutturali o di servizio di un potenziale spostamento Per le quali tutte le caratteristiche che definiscono la modalità d'esecuzione dello spostamento possono essere ritenute costanti ed omogenee in valore medio Una fase di spostamento (potenziale) in cui la capacità di trasporto sia costante può essere una fase elementare Potenziali fasi elementari = Archi del sistema Es.: tronchi di strade compresi tra due successive intersezioni

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Modelli di rete Il modello topologico dell’offerta di trasporto viene generalmente rappresentato con l’ausilio della teoria dei grafi Un arco (fase elementare di un potenziale spostamento) è un arco (o ramo) di un grafo Gli estremi di un arco del grafo sono i nodi del grafo Rappresentano la transizione tra due fasi elementari di un potenziale spostamento G=(N,L) G = Grafo N= insieme dei nodi L= insieme degli archi

Modelli di rete G=(N,L) N= {1, 2, 3, 4, 5, 6} L= {(1,3), (2,4), (3,4), (4,3), (4,6), (5,1), (5,3), (5,6), (6,5), (6,2)} In un grafo di un sistema di trasporto i rami (archi) sono sempre orientati  L = Insieme di coppie ordinate di nodi Es.: (3,4) ≠ (4,3)

Modelli di rete Rappresentazioni analitiche di un grafo: Matrice di Adiacenza Nodi/nodi Generico elemento (i,j) valore unitario se esiste l'arco con inizio in i e fine in j valore nullo altrimenti I grafi di trasporto escludono la possibilità di un “arco chiuso” ADNi,i = 0 iN

Modelli di rete Rappresentazioni analitiche di un grafo: Forward-Star (Stella in uscita) FW-S di un generico nodo i insieme contenente tutti i rami aventi come inizio il nodo i (quindi “uscenti” dal nodo i)  iN, FW(i) = {(i,j): (i,j)  L, jN)} FW(1) = {(1,3)} FW(2) = {(2,4)} FW(3) = {(3,4)} FW(4) = {(4,3), (4,6)} FW(5) = {(5,1), (5,3), (5,6)} FW(6) = {(6,2), (6,5)} FW-S dell’intero grafo = unione delle FW-S dei nodi del grafo

Modelli di rete La FW-S di un grafo viene rappresentata spesso con una struttura-dati a “puntatori” Estremamente compatta Puntatori Puntati 1 3 2 4 5 8 6 10 7 9

Modelli di rete Analoga alla Forward-Star è la Backward-Star (Stella in entrata) BW-S di un generico nodo i insieme contenente tutti i rami aventi come fine il nodo i (quindi “entranti” dal nodo i)  iN, BW(i) = {(j,i): (j,i)  L, iN)} BW(1) = {(5,1)} BW(2) = {(6,2)} BW(3) = {(1,3), (4,3), (5,3)} BW(4) = {(2,4), (3,4)} BW(5) = {(6,5)} BW(6) = {(4,6), (5,6)} BW-S dell’intero grafo = unione delle BW-S dei nodi del grafo

Modelli di rete BW-S rappresentata attraverso struttura a “puntatori” BW-S e FW-S hanno esattamente lo stesso contenuto informativo Nota l’una è possibile (e facile) calcolare l’altra Puntatori Puntati 1 5 2 6 3 4 7 8 10 9

Modelli di rete Spesso si preferisce associare ad ogni arco un indice univoco permette una identificazione alternativa a quella effettuata attraverso il suo inizio e la sua fine Indice di Ramo Nodi Iniziale e Finale 1 (1,3) 2 (2,4) 3 (3,4) 4 (4,3) 5 (4,6) 6 (5,1) 7 (5,3) 8 (5,6) 9 (6,2) 10 (6,5) a  (inizio(a), fine(a)) a = indice di un generico ramo della rete inizio(a) = estremo iniziale dell'arco a fine(a) = estremo finale dell'arco a

Modelli di rete Rappresentazioni delle intersezioni La rappresentazione aggregata di una intersezione è del tipo: Tale rappresentazione è in realtà riferita ad una realtà più complessa

Modelli di rete La descrizione dettagliata (esplosa) delle intersezioni può essere riportata sul grafo Esplosione delle intersezioni Rappr. esplicita correnti e manovre

Modelli di rete Dai Grafi alle reti – i costi di arco Ad ogni componente elementare del modello di offerta (arco) si associa una quantità numerica (costo) Rappresenta la disutilità recepita dagli utenti nell'effettuare la fase dello spostamento che l'arco rappresenta (e nel passare da tale fase alla fase successiva dello spostamento) Costo di percorrenza dell’arco (ed attraversamento dell’intersezione) L'aliquota di disutilità associata a ciascun arco può essere composta da diversi voci costi monetari tempo speso …

Modelli di rete Le diverse componenti del costo prendono il nome di attributi di costo Ad ogni arco è possibile associare una serie di attributi di costo ed il costo dell'arco è l'insieme di tali attributi (dunque è, in generale, un vettore)  aL, ca=[xa1, xa2, …] ca = Costo del generico ramo a xaω = Generico attributo di costo del generico ramo a Si preferisce esprimere il costo con uno scalare combinazione lineare degli attributi di costo secondo opportuni parametri

Modelli di rete Il vettore costituito dai costi associati a tutti i rami della rete (c) è il vettore dei costi di arco I vettori costituiti dagli attributi di costo di tutti i rami della rete (xω) prendono il nome di vettori degli attributi di costo di arco x = matrice degli attributi di costo di arco, avente un numero di righe pari al numero di archi della rete ed un numero di colonne pari al numero di attributi considerati  = vettore colonna di dimensioni pari al numero di attributi di costo considerati

Modelli di rete In generale gli attributi di costo associati agli archi (e quindi i costi di arco) dovrebbero essere considerati delle grandezze aleatorie Le grandezze precedentemente introdotte (costi ed attributi di costo) devono, dunque, essere considerate come i valori medi delle relative grandezze aleatorie La media è relativa Alla intrinseca aleatorietà degli attributi di costo Alla dispersione dei valori medi degli attributi di costo tra tutti gli utenti della rete di trasporto

Modelli di rete Gli attributi di costo di un arco (e quindi il costo di un arco) potrebbero non essere indipendenti (in valore medio) rispetto alle condizioni in cui la fase del viaggio rappresentata dall’arco avviene L’offerta di trasporto, come qualunque sistema fisico, è caratterizzata dalla presenza di valori di capacità e da fenomeni di congestione Al crescere del numero di utenti che, in un determinato periodo di riferimento, usufruisce del servizio (al raggiungersi del limite superiore di capacità offerta): scade la qualità del servizio stesso o, in altri termini, aumenta il costo generalizzato degli utenti nell'usufruirne La congestione è un fenomeno tipico dell’attributo di costo “tempo”

Modelli di rete Modelli di congestione Di arco Di nodo I modelli di congestione dei nodi permettono di calcolare i tempi/costi di attraversamento dei nodi al termine degli archi Si preferisce che, tutti i tempi/costi di una rete di trasporto siano associati agli archi Aggiungendo al tempo di percorrenza dell’arco (tempo di running/corsa) il tempo di attraversamento dell’intersezione finale (tempo di waiting/attesa) Introducendo nella rete appositi archi il cui scopo è quello di rappresentare le intersezione ed i fenomeni che ad esse avvengono (ad esempio: esplosione delle intersezioni)

Modelli di rete Esempi di funzioni di costo Tempo di percorrenza di un arco (dalla teoria del deflusso ininterrotto) Funzione BPR Ad esempio:  = 2  = 4

Modelli di rete Archi di tipo autostradale/extraurbano deflusso ininterrotto Funzione alternativa (tempo in secondi) L = lunghezza arco (metri) V0 = velocità a flusso libero (km/h) t0 = tempo a flusso nullo = L/V0 Vc = velocità in condizioni di saturazione (km/h) Cap = capacità (veic/h) 1900 Nc; Nc = numero corsi di marcia Oppure calcolata secondo Manuale della Capacità (HCM)

Modelli di rete Archi per barriere di pedaggio

Modelli di rete Esempi di funzioni di costo per archi Archi «corti» di tipo urbano (tempi in secondi) t(f) = costante = t0 = 3.6 L/V0 L = Lunghezza arco (metri) Lu = Larghezza corrente dell’arco (metri) P = pendenza dell’arco (in percentuale) T = tortuosità dell’arco (in scala da 0 ad 1) D = Disturbo sull’arco (in scala da 0 ad 1) Int = numero di intersezioni secondarie

Modelli di rete Esempi di funzioni di costo per archi Archi pedonali (in reti di trasporto collettivo, in reti multimodali, in reti con rappresentazione esplicita della sosta) 𝑐 𝑎 = 𝐿 𝑎 𝑣𝑝 , vp = velocità pedonale (es.: 1 m/s) Archi di attesa alle fermate (sistemi trasporto collettivo) Una sola linea attrattiva Più linee attrattive  = 0,5 se la linea è perfettamente regolare = 1 se la linea è “completamente casuale”

Modelli di rete Modelli di congestione di nodo Finalizzati a determinare la relazione tra tempo di attraversamento di una intersezione e flusso/flussi all’intersezione Occorre procedere a: Calcolare la capacità delle manovre/correnti all’intersezione Calcolare il ritardo in funzione del rapporto tra flusso e capacità Le formulazioni da utilizzare sia per il calcolo della capacità che per il calcolo del ritardo possono essere notevolmente differente a seconda di: Modelli per intersezioni semaforizzate Modelli per intersezioni non semaforizzate

Modelli di rete Calcolo del tempo di ritardo degli accessi Es.: formula di Webster/Doherty Con Le manovre di uno stesso accesso hanno lo stesso tempo di ritardo (che è associato alla corrente)

Modelli di rete Es.: formula di Acelik

Modelli di rete Andamento Webster/Doherty ed Acelik

Modelli di rete Ricapitolazione e formalizzazione del modello di congestione Si assume che il modello di congestione sia specificato rispetto agli archi di una rete stradale Ove sia necessario rappresentare in maniera distinta il tempo di percorrenza di un arco dal tempo di attraversamento della intersezione finale: Si ricorre a formule binomie (in caso di non esplosione delle intersezioni) Si divide l’arco in una parte di “running” ed in una parte di attesa I fenomeni di attraversamento dell’intersezioni vengono simulati sulla parte “di attesa” (quindi il modello di congestione viene associato a particolari archi della rete che rappresentano le intersezioni) In questo caso è possibile procedere sia alla esplosione che alla non esplosione dell’intersezione, a seconda che si vogliano o meno distinguere le portate di saturazione, le capacità ed i tempi di attesa per le singole correnti)

Modelli di rete In termini formali (sia per archi corsa+attesa che per archi di sola corsa o sola attesa): aL ca=ca(f)  c=c(f) f = vettore dei flussi di arco = [f1, f2, …, fa, …, fn]T c = vettore dei costi generalizzati di arco = [c1, c2, …, ca, …, cn]T Almeno l’attributo di costo relativo al tempo è congestionato (dunque è congestionato il costo generalizzato) Una rete in cui almeno un ramo ha una funzione di costo non costante si dice congestionata, altrimenti si dice non congestionata (aL ca=c0a)

Modelli di rete Per ragioni connesse con le proprietà teoriche dei modelli di assegnazione: Le funzioni di costo devono essere continue Le funzioni di costo (in senso vettoriale) devono essere monotone non decrescenti [c(f1)-c(f2)]T (f1-f2)≥0  f1, f2 xT Jac[c(f)] x ≥ 0 f xRn Le funzioni di costo (il modello di congestione) possono essere Separabili aL ca=ca(fa)  ca/ fb = 0  a≠b Non separabili  aL, bL : ca/ fb ≠ 0 Funzioni di costo separabili e monotone non decrescenti hanno sicuramente jacobiano positivo semidefinito

Modelli di rete Cammini (percorsi) su un grafo In un grafo si definisce percorso (o cammino) una sequenza di archi, nella quale il nodo finale di ciascun arco coincide con il nodo iniziale del successivo Un cammino su un grafo di trasporto corrisponde ad una sequenza di fasi elementari di un viaggio Dunque rappresenta un viaggio Tutti i possibili cammini di un grafo rappresentano tutti i possibili viaggi su un sistema di trasporto

Modelli di rete In un percorso è presente un circuito o loop se uno stesso arco si ripete due (o più) volte all'interno del percorso Un percorso si dice elementare, o privo di circuiti (anche aciclico), se nessuna parte di esso costituisce un circuito La Teoria dei Sistemi di Trasporto riferisce solo ed esclusivamente a percorsi aciclici Percorso aciclico {(2,1),(1,4),(4,3),(3,5)} Percorso ciclico {(3,5),(5,4),(4,3),(3,5),(5,1)}

Modelli di rete Il numero di possibili percorsi aciclici su un qualsiasi grafo è finito Essi rappresentano tutte le (finite e discrete) alternative di spostamento (viaggio) su una rete di trasporto Un grafo in cui ciascun nodo è collegato mediante un arco a ciascun altro nodo si dice completo I grafi impiegati per rappresentare sistemi di trasporto sono generalmente non completi Un grafo si dice connesso se ciascun nodo è origine di almeno un percorso che ha come estremo un qualsiasi altro nodo del grafo Se da un grafo si eliminano alcuni archi si ottiene un grafo detto parziale Se si eliminano alcuni nodi e gli archi a cui tali nodi appartengono si ottiene un sottografo del grafo dato

Modelli di rete Un grafo nel quale esiste uno ed un solo percorso che collega un nodo i con ciascun altro nodo si dice albero di radice i. Dato un grafo, gli alberi aventi come radice i diversi nodi sono altrettanti esempi di grafi parziali In generale esistono più alberi di stessa radice (ad es.: radice 2)

Modelli di rete Nelle reti di trasporto sono rilevanti solamente i percorsi che collegano coppie di nodi particolari Centroidi In essi si considerano concentrati inizio e termine di tutti gli spostamenti possibili nel sistema È sempre possibile elencare (enumerare) tutti i possibili percorsi elementari aventi un centroide come nodo iniziale e nodo terminale Se o e d sono due centroidi, si indica con Iod l’insieme dei percorsi che collegano o e d

Modelli di rete Sul modello topologico (grafo) di un sistema di trasporto è possibile definire una struttura analitica che descrive il risultato della operazione di enumerazione dei percorsi Matrice di incidenza archi-percorsi (Δ) Il generico elemento δij assume Valore unitario se l’arco i-esimo appartiene al percorso j-esimo Valore nullo altrimenti

Modelli di rete Esempio Rami 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1,2) (1,4) (2,1) (2,3) (2,5) (3,5) (4,3) (5,1) (5,3) (5,4) Percorsi 1 2 3 4 {(1,2), (2,3), (3,5)} {(1,2), (2,5)} {(1,4), (4,3), (3,5)} {(5,1)} Percorsi Archi 1

Modelli di rete Per i percorsi di un grafo di trasporto si definiscono le quantità Flusso del percorso Numero di utenti che nel periodo di riferimento (generalmente 1 ora) utilizzano il percorso (veic/h) I flussi di percorso devono essere fattibili (ammissibili) Costo (generalizzato) del percorso Combinazione lineare degli attributi di costo di percorso Tempo impiegato per effettuare l’intero percorso Costo monetario speso … Sh

Modelli di rete Modello di calcolo del costo di percorso (a partire dai costi di arco) Modello lineare Gli attributi di costo di percorso si ottengono come somma degli attributi di costo degli archi che li compongono Poiché il modello di calcolo del costo generalizzato di arco e di percorso a partire dagli attributi di costo È anche esso lineare I coefficienti di omogeneizzazione sono gli stessi per gli archi e per i percorsi

Modelli di rete Modello di propagazione del flusso Calcolo dei flussi di arco a partire dai flussi di percorso Ipotesi di propagazione istantanea del flusso (congruente con ipotesi di stazionarietà di funzionamento del sistema) Il flusso di un arco è la somma dei flussi di tutti i percorsi che lo utilizzano Con Dal modello di propagazione del flusso e dall’insieme SF di fattibilità dei flussi di percorso deriva l’insieme di fattibilità dei flussi di arco (Sf) Nulla assicura che i flussi di arco rispettino i vincoli di capacità Il modello di congestione deve essere definito oltre la capacità degli archi

Modelli di rete Ricapitolando, il modello di offerta si compone di: Modello topologico dell’offerta di trasporto Grafo Sul grafo si definisce la matrice Δ di incidenza archi/percorsi Modello di congestione c = c(f) Modello di calcolo dei costi di percorso w = ΔT c + wNA Modello di propagazione del flusso f = Δ h

Modelli di rete Estensione del modello al caso di più coppie O-D Ii = insieme dei percorsi della i-esima coppia O-D Matrice Δi di incidenza archi/percorsi (relativa ai soli percorsi in Ii) hi = vettore dei flussi di percorso (relativo ai soli percorsi in Ii) Modello di calcolo dei costi di percorso wi = Δi T c + wiNA Modello di congestione c = c(f) Modello di propagazione del flusso f = Σi Δi hi

Modelli di rete L’estensione si applica anche al caso di più categorie di utenza Data una sola coppia O-D hj = vettore dei flussi di percorso della categoria di utenti j Modello di congestione per la categoria j, parzialmente separabile cj = αj c(f) + cj0 Modello di calcolo dei costi di percorso wj = ΔT cj + wiNA Modello di propagazione del flusso f = Σj γ j Δ hj