Algebra e logica Ragionare, simbolizzare, rappresentare

Algebra alla primaria: sì o no? Teorie del gap cognitivo (Filloy e Rojano, 1989; Herscovics e Linchevski, 1994). Aritmetica e algebra sono fondate su processi cognitivi diversi. I bambini della primaria possono risolvere problemi contenenti incognite, come "5 + ? = 8", ma ricorrendo a strategie elementari di conteggio o all’operazione inversa, senza rappresentarsi le incognite e senza operare su di esse. Tutto ciò che si può fare è prevedere contenuti di “pre-algebra” mirati a sfumare e a rendere meno brusca la cesura tra le due discipline. Approccio dell’algebrizzazione del curricolo (Kaput, 1998; Carraher et al., 2006; Blanton e Kaput, 2011). Tutta l’aritmetica ha un carattere intrinsecamente algebrico. Non bisogna introdurre nella scuola primaria argomenti tradizionalmente trattati nella secondaria, ma integrare il ragionamento algebrico in tutte le aree della matematica e in tutti i livelli scolari. L’algebra non è l’ennesimo argomento da aggiungere a programmi già stracolmi, ma un punto di vista che permea trasversalmente tutta la matematica: generalizzazione di fatti matematici individuali, pensiero relazionale, enucleazione di rapporti di dipendenza funzionale.

Algebra alla primaria: sì o no? E' fattibile? I bambini dai dai 6 agli 11 anni sono in grado di comprendere intuitivamente alcune proprietà astratte delle operazioni aritmetiche, di risolvere semplici equazioni usando diverse strategie, di leggere il grafico di una funzione lineare, di costruire un’idea intuitiva di funzione, persino di usare il simbolismo algebrico. E' desiderabile? 1) Meno difficoltà nel transitare all’algebra e nel familiarizzarsi coi concetti di variabile, di funzione, di relazione invariante 2) Maggior successo, alle medie, nei rapporti di covariazione

Contenuti algebrici e logici nella scuola primaria 1. Identificare regolarità e forme che si ripetono; 2. Comprendere intuitivamente i concetti di relazione e funzione e saperli riconoscere; 3. Saper usare diversi tipi di rappresentazioni simboliche, numeriche e grafiche; 4. Comprendere intuitivamente i concetti di variabile e di equazione.

Moduli che si ripetono  In una sequenza di elementi che si ripetono con regolarità, il modulo è la più piccola stringa di elementi che si ripete  In terza, i bambini avranno fatto molte esperienze con le sequenze e i moduli  Se ciò non è avvenuto, conviene iniziare da lì Che succederà dopo?

Sequenze in griglia  Le sequenze possono essere rappresentate, invece che in modo lineare, in una griglia con un numero di colonne prefissato Simboli in griglia

Successioni crescenti  Costruire successioni crescenti con materiali strutturati e poi riportarle su carta quadrettata (le successioni possono crescere rapidamente, i materiali si esauriscono!)  Dalla costruzione di successioni è opportuno passare alla considerazione del rapporto tra il numero di oggetti presenti in un passo e quelli presenti nel successivo Estendi e spiega Quanti sono?

Rapporti ricorsivi e funzionali  Far accompagnare lo sviluppo di una successione da una tabella in cui a ciascun passo è associato il corrispondente numero di oggetti  RAPPORTO RICORSIVO: nella successione in figura, il numero di oggetti in ciascun passo si ottiene da quelli del passo precedente aggiungendo numeri pari successivi  RAPPORTO FUNZIONALE: è una regola che consente di trovare il numero di oggetti in funzione del numero del passo.

Dalla figura al rapporto funzionale Trova la funzione

Successioni numeriche 1,2,2,3,3,3,… Ripeti ogni cifra in base al suo valore 2,4,6,8,10,…Conta per due 1,2,4,8,16… Raddoppia il numero precedente 1,3,7,15… Raddoppia il numero precedente e aggiungi 1 1,2,4,7,11,16…Aggiungi 1, poi 2, poi 3… 2,2,4,6,10,16…Somma i due numeri precedenti

Avete mai notato che… 3x3=94x2=8 4x4=165x3=15 5x5=256x4=24 6x6=367x5=35 7x7=498x6=48 8x8=649x7=63

A cosa serve una variabile? 1. Ad indicare un’incognita: es. 3x + 2 = 5 (nelle prime classi, si usa spesso il quadratino al posto della x) 2. Per enunciare proprietà valide per tutti i numeri di un certo dominio: es. a + b = b + a, per tutti i numeri naturali a,b. 3. Per indicare una variazione dipendente: es. in y = 3x + 5 la y varia al variare della x.

Errori sulle variabili 1. Le variabili sono abbreviazioni; 2. Le variabili assumono valori in base alla loro posizione nell'alfabeto (a = 1, b = 2...) 3. Due variabili diverse non possono mai assumere lo stesso valore 4. Occorrenze diverse di una variabile possono assumere valori diversi

Variabili come incognite e mezzi per esprimere proprietà universali Dalla storia all’equazione Il mago dei numeri Cosa è vero per tutti? Quantità speciali

Equazioni: l’ostacolo di base  In = 5, l’espressione a sinistra dell’= e quella a destra indicano la stessa quantità  I bambini, però, interpretano quella a dx come una quantità, quella a sx come un comando (“aggiungi 2 al 3”)  In questo modo, si ha difficoltà a capire che è solo un altro modo di denotare il 5

La fallacia dell'uguale

Equazioni: l’approccio “balance-pan”  Sfidare i bambini a trovare più modi diversi per esprimere lo stesso numero, es. 6 e 8-2  Disegnare una bilancia con delle espressioni numeriche e chiedere quale piatto “andrà giù” perché più pesante  Scrivere la (dis)uguaglianza corrispondente, usando =,  Passare alle variabili Equilibrio (3x8):2 = 2x6 (3x8):2 2x6 Inclinazione (3x9):5 < 6x8 (3x9):5 6x8 [] + 3 2x[] Prova [] = 5: inclinazione! Prova [] = 3: equilibrio!