Lezione n. Parole chiave: Corso di Laurea: Insegnamento: Docente: A.A Salvatore Cuomo La ricorsione 15 Approccio ricorsivo, esercizi sulla ricorsione Informatica Programmazione II, modulo di Laboratorio it

Definizione Una funzione si dice ricorsiva se, assegnato un valore iniziale a o, il valore assunto in un punto a n, si può ottenere come funzione del valore precedente a n-1. Ovvero: a o se né uguale 0 a n =f(a n-1 ) se non è uguale a 0 Un primo esempio di approccio ricorsivo è dato dal calcolo del fattoriale di un assegnato numero n. Ricordiamo che per n! si intende il prodotto dei primi n interi. Esempio 5!=1*2*3*4*5 La ricorsione altrimenti

Il calcolo del fattoriale Il calcolo di n! può essere fatto utilizzando un algoritmo di tipo iterativo. Si riporta un codice in linguaggio C che implementa questo approccio. Nell’esempio si utilizza l’header file limits.h per controllare se nel calcolo del fattoriale si ottenga un numero troppo grande rispetto all’intero massimo rappresentabile. In particolare la costante deputata a tale scopo è: LONG_MAX Mostra codice Esempio versione iterativa

Il calcolo del fattoriale In figura si mostra una rappresentazione grafica dell’approccio ricorsivo per il calcolo di n! e successivamente si analizza l’implementazione della funzione fattoriale in linguaggio C Mostra codice Esempio versione ricorsiva

La successione di fibonacci I termini della successione di Fibonacci sono definiti dalla seguente relazione per ricorrenza a o =1 a 1 =1 a n =f(a n-1 )+f(a n-2 ) se n>1 Esempio I primi 10 termini sono: 0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… In figura riportiamo una semplice procedura scritta nello pseudo-linguaggio pascal-like per il calcolo dei termini della successione di fibonacci mediante un approccio di tipo iterativo. Esempio

La successione di fibonacci I termini della successione di Fibonacci possono anche essere calcolati attraverso un approccio di tipo ricorsivo. La modalità che sembra essere più naturale è una chiamata del tipo : fibo=fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); Questo approccio porta con se alcuni: Vantaggi: Compattezza nella scrittura di codice Comodità implementativa Svantaggi: Questo approccio è computazionalmente proibitivo. Esso, per dirlo in termini poco rigorosi, genera una cascata di chiamate a funzioni che rende inaccettabili i tempi di calcolo già par n=50. Tale considerazione è legata alla complessità computazionale dell’algoritmo che è O(1,61 n ). Esempio ricorsivo

La successione di fibonacci L’algoritmo basato su una chiamata a funzione del tipo: fibo=fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); viene implementata nell’esercizio proposto i questa diapositiva. Si richiede di eseguire il codice per n=5,10,20,30,40,50 ed analizzare l’ attesa per una risposta che si ritiene in “tempo accettabile” Mostra codice. Esempio fibonacci ricorsivo vers. 1

La successione di fibonacci L’algoritmo proposto è sempre bastato su una complessità non polinomiale dell’ordine di O(1,61 n ) viene però inserita una variabile: conta che segnala quante chiamate a funzione sono state effettuate. Tale variabile è utile a mettere in evidenza l’impraticabilità dell’approccio proposto. Mostra codice. Esempio fibonacci ricorsivo vers. 2

La successione di fibonacci L’algoritmo proposto è sempre bastato su una complessità Polinomiale dell’ordine di O(1,61 n ) viene però inserita una variabile: conta che segnala quante chiamate a funzione sono state effettuate. Tale variabile è utile a mettere in evidenza l’impraticabilità dell’approccio proposto. Mostra codice. Esempio fibonacci ricorsivo vers. 2

La successione di fibonacci I termini della successione di Fibonacci possono anche essere calcolati attraverso un approccio di tipo ricorsivo con complessità di tempo lineare ovvero O(n). I trucco consiste nell’utilizzare due variabili chiamiamole fd e fp che memorizzano due termini consecutivi della successione che sono già stati calcolati. A questo punto basta effettuare una chiamata ricorsiva alla funzione che passi contemporaneamente i due argomenti sopra trattati e li aggiorni opportunamente. Più in dettaglio: Nel programma principale: fibonacci(n/2+1,fd,fp); Nella funzione che si auto-richiama: Se (n>1) fibonacci(n-1,fd,fp); fp=fd+fp; fd=fp+fd; Esempio ricorsivo cont.

L’algoritmo proposto è bastato su una complessità polinomiale dell’ordine di O(n) viene però inserita una variabile: conta che segnala quante chiamate a funzione sono state effettuate. E’ interessante comparare il numero adesso ottenuto con quello visto nella versione ricorsiva 2. Mostra codice. Esempio fibonacci ricorsivo vers. 3

La successione di fibonacci I termini della successione di Fibonacci possono anche essere calcolati attraverso un approccio di tipo ricorsivo con complessità di tempo lineare ovvero O(n). I trucco consiste nell’utilizzare due variabili chiamiamole fd e fp che memorizzano due termini consecutivi della successione che sono già stati calcolati. A questo punto basta effettuare una chiamata ricorsiva alla funzione che passi contemporaneamente i due argomenti sopra trattati e li aggiorni opportunamente. Più in dettaglio: Nel programma principale: fibonacci(n/2+1,fd,fp); Nella funzione che si auto-richiama: Se (n>1) fibonacci(n-1,fd,fp); fp=fd+fp; fd=fp+fd; Esempio ricorsivo cont.

Infatti per calcolare i numeri di Fibonacci di indice 2n e 2n-1 dai numeri di indice n ed n-1 si procede per induzione iterando la formula: F i +1 = F i + F i -1 Vediamo come nel dettaglio: F i +1 = F i + F i -1 F i +2 = F i * 2 + F i -1 F i +3 = F i * 3 + F i -1 * 2 F i +4 = F i * 5 + F i -1 * 3 F i +j = F i * F j +1 + F i -1 * F j = F i * F j + F i * F j -1 + F i -1 * F j Ponendo j uguale rispettivamente ad i ed i-1 si ottiene: F 2i = F i * F i + 2 * F i * F i -1 F 2i -1 = F i * F i + F i -1 * F i -1 Esempio ricorsivo cont.

L’algoritmo proposto è bastato su una complessità sub polinomiale dell’ordine di O(log 2 n). I numeri di Fibonacci sono calcolati a coppie: Fib(n) e Fib(n-1) Le formule ricorsive usate sono le seguenti : F(2n ) = F(n) * F(n) + 2 * F(n) * F(n - 1) F(2n -1) = F(n) * F(n) + F(n - 1) * F(n - 1) Mostra main. Mostra funzione. Esempio fibonacci ricorsivo vers. 4

L’algoritmo proposto è sempre bastato su una complessità sub polinomiale dell’ordine di O(log 2 n).ma si propone un codice scritto in C che utilizza un approccio di tipo iterativo. Mostra main. Mostra funzione. Esempio fibonacci iterativo

La torre di Hanoi L’algoritmo consiste nello spostamento di una pila di dischi forati di dimensioni decrescenti da un piolo, in un secondo piolo, muovendo un disco alla volta in modo che un disco piu' piccolo non stia sotto uno piu' grande, un terzo piolo e' usato come ausilio per i trasferimenti. Torre di Hanoi ricorsiva Per risolvere lo spostamento di una pila di n dischi si puo' spostare la pila di n-1 dischi dal piolo iniziale al piolo ausiliario spostare il disco n dal piolo iniziale al piolo destinazione spostare la pila di n-1 dischi dal piolo ausiliario al piolo destinazione La torre di Hanoi.

La torre di Hanoi ricorsiva Lo spostamento della pila di n dischi e' stata ricondotta allo spostamento di 2 pile di n-1 dischi ( per ciascuna pila di n-1 dischi si puo' ripetere la sequenza di operazioni). Ovvero: hanoi(n,pioloIniziale,pioloDestinazione,pioloAusiliario){ if (n==1) muovi(n,pioloIniziale,pioloDestinazione); else{ hanoi(n- 1,pioloIniziale,pioloAusiliario,pioloDestinazione); muovi(n,pioloIniziale,pioloDestinazione); hanoi(n- 1,pioloAusiliario,pioloDestinazione,pioloIniziale); } La torre di Hanoi.

Nel seguito si propone un algoritmo per il calcolo del numero di passi per spostare una pila di dischi con una funzione ricorsiva implementato in linguaggio C. Si osservi lo sviluppo di una funzione void muovi( ) che consente lo spostamento di un pezzo. Mostra main. Mostra funzione. Esempio hanoi ricorsivo

La torre di Hanoi iterativa Si immaginano i pioli posti ai vertici di un triangolo equilatero in modo che una vista in senso orario veda i pioli nell'ordine 0,1,2, Si comincia muovendo il disco piu' piccolo, che successivamente viene spostato ad ogni mossa dispari (1,3,5,7,......) il disco piu' piccolo si muove in senso orario se il numero totale di dischi e' dispari, altrimenti in senso antiorario quando non si muove il disco piu' piccolo, si effettua l'unica mossa possibile. Nel seguito si propone una implementazione in linguaggio C della versione iterativa. Mostra main Mostra funzione La torre di Hanoi.