Bilancio macroscopico di materia Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio macroscopico di materia Consideriamo un volume di controllo arbitrario (V) attraversato da un fluido racchiuso da una superficie (S) n N.B. Il volume è fisso nello spazio S dS V In ogni punto di S è possibile definire il vettore unitario n ortogonale alla superficie e con verso positivo orientato in uscita dal volume

Bilancio macroscopico di materia Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio macroscopico di materia Scrivere il bilancio di materia Obiettivo Isoterme Assenza di reazioni chimiche Condizioni S V n dS Non dobbiamo scrivere i bilanci per le singole specie

Bilancio di materia macroscopico Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio di materia macroscopico I termini del bilancio sono quindi: IN – OUT = ACC IN = massa entrata tra t e t+dt OUT = massa uscita tra t e t+ t ACC = massa nel volume di controllo al tempo t+ t – massa al tempo t manca il termine di generazione Per esprimere il bilancio di materia in termini matematici facciamo tendere Dt  0 E consideriamo quindi un intervallo di tempo infinitesimo dt

Bilancio di materia macroscopico Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio di materia macroscopico Analizziamo i termini di ingresso e di uscita Massa entrante (uscente) attraverso l’intera superficie S Velocità e densità del fluido in ogni punto della superficie S dipende S V n dS Focalizziamo l’attenzione su un punto della superficie un cui intorno costituisce un elemento differenziale di superficie dS

Portata di materia attraverso una superficie S S v Simulazione dei fenomeni di trasporto Portata di materia attraverso una superficie S Se v è costante con S, S piana e v perpendicolare a S S Nel tempo t attraverso S entra una massa di fluido se il fluido entra allora si può schematizzare v dmIN = ρ vdt S vdt Volume del solido di base dS e altezza vdt ≡ volume di fluido entrato nel tempo dt Percorso effettuato dal fluido nel tempo dt densità del fluido Portata massica 5

Bilancio di materia macroscopico dS n v Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio di materia macroscopico le grandezze in gioco coincidono con quelle nel punto considerando una dS infinitesima può essere considerata piana -(vdt ∙ n) dS Nell’intervallo dt attraverso dS entra una massa di fluido se il fluido entra allora si può schematizzare n v dmIN = ρ (-vdt ∙ ndS) vdt Volume del prisma di base dS e altezza vdt∙n ≡ volume di fluido entrato nel tempo dt Percorso effettuato dal fluido nel tempo dt densità del fluido

Bilancio di materia macroscopico dS n v n v v n Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio di materia macroscopico -(vdt ∙ n) dS Abbiamo trovato Massa entrata nel volume V attraverso dS nell’intervallo dt dmIN = ρ (-vdt ∙ ndS) n v la massa entrante è intrinsecamente positiva il prodotto scalare è negativo per la scelta che abbiamo fatto relativa al verso di n vdt Il segno – n v ∙ n negativo fluido entrante v v v v ∙ n positivo fluido uscente s n

Bilancio di materia macroscopico IN-OUT Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio di materia macroscopico IN-OUT La massa complessivamente entrata nel tempo dt è quindi la somma di tutti i contributi relativi alle superfici dS per cui il prodotto scalare (v ∙ n) è negativo. La massa complessivamente uscita nel tempo dt è quindi la somma di tutti i contributi relativi alle superfici dS per cui il prodotto scalare (v ∙ n) è positivo. La massa in ingresso meno quella in uscita sull’intera superficie S nel tempo dt è quindi data da

Bilancio macroscopico di materia: accumulo Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio macroscopico di materia: accumulo Termine di accumulo La massa presente nel volume V al tempo t è La massa accumulata nell’intervallo dt è quindi

Bilancio macroscopico di materia Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio macroscopico di materia Scrittura del bilancio di materia Si può quindi scrivere il bilancio di materia sull’intero volume : dividendo per dt e portando al limite per dt  0 si ha Usiamo la derivata parziale perché ρ cambia nello spazio e nel tempo

Bilancio macroscopico di materia Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio macroscopico di materia Il bilancio scritto è sempre IN-OUT = ACC ma questa volta il significato dei termini è: IN = velocità di ingresso della massa al tempo t OUT = velocità di uscita della massa al tempo t ACC = velocità di accumulo della massa al tempo t perché abbiamo diviso per dt

Bilancio macroscopico di materia Simulazione dei fenomeni di trasporto Bilancio macroscopico di materia Questa eq. rappresenta la versione generale dell’equazione macroscopica di bilancio di materia vale per qualunque V generale perchè vale per qualunque dt

Significato del termine Simulazione dei fenomeni di trasporto Flusso Significato del termine a meno del segno rappresenta la quantità di materia che passa localmente attraverso dS per unità di superficie e di tempo La quantità di una qualunque grandezza che attraversa una superficie per unità di superficie e di tempo FLUSSO Flusso di materia

Espressione del flusso Simulazione dei fenomeni di trasporto Espressione del flusso Il flusso di una qualunque grandezza viene espresso come Concentrazione della grandezza x volume di fluido che attraversa la superficie unitaria per unità di tempo grandezza/volume x portata volumetrica / superficie densità = concentrazione di massa flusso di massa

Flusso convettivi di qdm Simulazione dei fenomeni di trasporto Flusso convettivi di qdm Concentrazione della grandezza x Portata di qdm convettiva Se è ortogonale

Dal bilancio macroscopico al bilancio locale Simulazione dei fenomeni di trasporto Dal bilancio macroscopico al bilancio locale Si utilizza il teorema di Gauss o della divergenza Teorema: dato un qualunque campo vettoriale a definito nel volume di controllo e sulla sua superficie vale la seguente relazione l’integrale di superficie può quindi essere trasformato in un integrale di volume

Dal bilancio macroscopico al bilancio locale Simulazione dei fenomeni di trasporto Dal bilancio macroscopico al bilancio locale Applichiamo il teorema di Gauss al nostro caso Questa espressione deve valere per ogni volume e quindi deve essere

Equazione di continuità Equazione di continuità Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di continuità Equazione di continuità Rappresenta in maniera del tutto generale il bilancio di materia a livello locale Forme semplificate Condizioni stazionarie Fluido incomprimibile

Equazione di continuità in coordinate cartesiane Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di continuità in coordinate cartesiane Equazione di continuità notazione di Einstein (quando l’indice di una variabile appare più volte in una formula monomia significa che la formula è una sommatoria estesa a tutti i valori che l’indice può assumere)

Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano L’equazione di bilancio di massa è stata ricavata rispetto ad un volume di controllo fisso nello spazio Un volume che si muove con il fluido Sono possibili altri riferimenti Un volume che si muove con una sua velocità

Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano Esempio di possibili diversi riferimenti da un punto fisso nello spazio (barca ancorata, ponte, ormeggio) Vogliamo studiare come varia la concentrazione dei pesci in fiume da una barca a motore che si muove casualmente lungo il fiume da una barca trascinata dalla corrente

Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano La concentrazione dei pesci nel fiume è funzione del tempo e della posizione Come si esprime la derivata di C nel tempo?

Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano In funzione del sistema di riferimento avremo da un punto fisso nello spazio (barca ancorata, ponte, ormeggio) C varia solo con il tempo da una barca a motore che si muove casualmente lungo il fiume da una barca trascinata dalla corrente u = velocità della barca v = velocità della corrente

Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano da una barca trascinata dalla corrente Rappresenta la variazione della concentrazione per un osservatore che si muove insieme al fluido. Ha un valore particolare e viene indicata col termine di derivata sostanziale o derivata seguendo il movimento e si indica col simbolo

Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano Eq. continuità Avevamo trovato Esplicitiamo

Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano Eq. continuità Avevamo trovato essendo: si ha: ossia:

Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano Simulazione dei fenomeni di trasporto Equazione di continuità: approccio Euleriano e Lagrangiano Eq. di bilancio di massa rispetto ad un sistema di riferimento fisso nello spazio Approccio Euleriano Eq. di bilancio di massa rispetto ad un sistema di riferimento che si muove con il fluido Approccio Lagrangiano