Prof.ssa Rossella Petreschi Lezione del 17 /10/2014 del Corso di Algoritmica Lezione n°5

B-alberi B-alberi : sono progettati per operazioni su dischi magnetici o atri dispositivi di memoria secondaria ad accesso diretto;sono particolarmente efficienti nelle operazioni di Input/Output. I B-alberi sono una naturale generalizzazione degli alberi binari di ricerca bilanciati: un nodo con k chiavi ha k+1 figli; l’intervallo di chiavi gestito da un nodo è diviso in k+1 intervalli ciascuno di quali è gestito da un figlio; l’altezza cresce in modo logaritmico con il numero dei nodi dell’albero.

Esempio di B-albero

Perché i B-alberi? La memoria primaria (RAM) si basa su una tecnologia costosa ma che permette di eseguire le operazioni di scrittura e lettura in modo veloce (chip di memoria: dispositivi elettronici). La memoria secondaria (dischi) è più economica, ma richiede per accedere ai dati dei tempi relativamente lunghi (si debbono muovere delle componenti meccaniche per posizionare la testina).

Il Disco la superficie del disco è ricoperta di materiale magnetico; le informazioni su un disco sono organizzate in blocchi e il blocco minimo accessibile in lettura e scrittura è detto pagina; la testina di lettura/scrittura è in grado di operare mentre il disco è in movimento; la porzione di superficie che passa sotto la testina, in una posizione stabile, si dice traccia; il tempo di accesso è il tempo necessario per aspettare che una determinata pagina passi sotto la testina; la lettura e la scrittura su un disco magnetico sono completamente elettroniche.

Immagine di un disco tutti i blocchi hanno la stessa dimensione e sono definiti da: traccia, settore, faccia settoretraccia faccia

Accesso alla memoria secondaria Per trattare quantità estremamente grandi di dati si devono pertanto sviluppare algoritmi che lavorino con dati memorizzati in memoria secondaria. Questi algoritmi richiedono per garantire l’efficienza computazionale: che siano minimizzati gli accessi alla memoria secondaria; che la memoria principale contenga in ogni istante un numero costante di pagine; che siano copiate le pagine selezionate dal disco nella memoria principale; Disk-Read(x) che siano riscritte sul disco le pagine modificate in memoria principale; Disk-Write(x)

Definizione di B-albero B-albero, T : albero di ricerca m-ario tale che: ogni nodo interno,x, ha un numero n(x) di figli (t =2 è il grado minimo del B-albero; gli n(x) figli di x, radici dei sottoalberi A 1 (x), A 2 (x),…, A n(x) (x), sono ordinatamente raggiungibili da x tramite i puntatori c 1 (x), c 2 (x),…, c n(x) (x); ad ogni nodo x con n(x) figli sono associate n(x) -1 chiavi ordinate (k 1 (x) <= k 2 (x) <=…<= k n(x)-1 (x)); tutte le chiavi del sottoalbero A i (x) sono maggiori della chiave k i-1 (x) e minori della chiave k i (x); un nodo si dice pieno se contiene 2t-1 chiavi; tutti le foglie hanno la stessa profondità, che è l’altezza h(T) dell’albero.

Calcolo di h(T) Un B-albero T di n>=1 chiavi e di grado minimo t>=2 ha altezza h(T)<= log t ((n+1)/2) Prova: n>= 1+ (t-1) Σ 2t i-1 = la radice ha almeno 2 figli (1 chiave) e tutti gli altri nodi hanno i=1,…,halmeno t figli (t-1 chiavi), ovvero 2 nodi a profondità 1, 2t a profondità 2… = 1 + 2(t-1) Σ t i-1 = serie geometrica = 1 + 2(t-1) ((t h -1)/(t-1))= = 2t h -1

Inserimento in un B-albero L’operazione di inserimento in un B-albero è analoga a quella già vista per un albero binario di ricerca. Si controlla x (elemento da inserire) con i valori k 1 (y)<= k 2 (y)<=…<= k n(y)-1 (y) del nodo che si sta analizzando(inizialmente y = r) Se k 1 (y)> x, si confronta x con il primo figlio di y Se k i (y)< x < k i+1 (y) si confronta x con il figlio (i+1)-esimo di y Se k n(y)-1 (y)< x, si confronta x con l’ultimo figlio di y Si prosegue ricorsivamente sul cammino fintanto che non si trova libera la posizione appropriata sull’albero. Tempo O(t h(T))

Dividere un nodo Per garantire che l’altezza del B-albero rimanga logaritmica, bisogna controllare che il nodo y in cui vogliamo inserire x non sia già pieno, ovvero non abbia più di 2t-1 chiavi. In tal caso bisogna: calcolare l’esatta posizione di x in y; prendere la chiave mediana rispetto ai 2t elementi, sia k i (y); inserire k i (y) nel nodo padre di y, p(y); spezzare il nodo y in due nodi di t chiavi ciascuno: y 1 contenente tutte le chiavi (chiavi di y+ la chiave x) minori di k i (y) e y 2 contenente tutte le chiavi (chiavi di y+ la chiave x) maggiori di k i (y); aggiornare i puntatori di p(y) rispetto a y 1 e y 2 ATTENZIONE!!

Incremento dell’altezza Nell’inserire k i (y) nel nodo padre di y potremmo ritrovarci ancora una volta nella necessità di dividere il nodo (questa volta p(x)). Questo processo può propagare verso l’alto fino ad arrivare alla radice. Lo spezzamento della radice comporta l’incremento dell’altezza dell’albero dato che bisogna creare un nuovo nodo radice con una sola chiave (la chiave mediana della vecchia radice) e con due figli (i due nodi di t chiavi generati dalla vecchia radice). La complessità dell’intera operazione di inserimento (comprensiva delle eventuali divisioni di nodi) rimane dell’ordine di O(t h(T))

Eliminazione di una chiave in un B-albero L’operazione di eliminazione in un B-albero è analoga a quella già vista per un albero binario di ricerca e richiede il controllo del numero di chiavi del nodo su cui si è operato (debbono rimanere almeno t-1 chiavi) Si cerca la chiave da cancellare; se la chiave è in una foglia, la si elimina; se la chiave è in un nodo interno la si sostituisce con il predecessore (o il successore), che è in una foglia, e ci si riconduce al caso precedente Ogni volta che da una foglia si elimina una chiave si deve controllare se il numero di chiavi rimane almeno pari a t-1. Se ciò non accade, bisogna opportunamente rimanipolare la struttura.

Il supporto di un fratello Un nodo y che rimane con meno di t-1 chiavi deve chiedere aiuto ad un fratello, f(y), per effettuare una opportuna ridistribuzione delle chiavi. La ridistribuzione mette in gioco le chiavi presenti nei nodi y e f(y) nonché la loro chiave di separazione presente nel nodo padre. Per effettuare la ridistribuzione, f(y) deve avere almeno t chiavi in modo che al termine della ridistribuzione y e f(y) abbiano almeno t-1 chiavi ciascuno. Se f(y) ha t-1 chiavi, prima di effettuare una ridistribuizione, bisogna fondere y e f(y) in un solo nodo. La fusione consiste nell’eliminare y e nel riportare in f(y) tutte le chiavi di y e la chiave di separazione che era presente nel nodo padre. f(y) avrà quindi 2t-2 nodi ATTENZIONE!!

Decremento dell’altezza L’operazione di fusione sposta da p(y) a f(y) la chiave di separazione fra y e f(y) che era presente nel nodo padre. Questo potrebbe causare la necessità di iterare la fusione fra due nodi. Questo processo può propagare verso l’alto fino ad arrivare alla radice. Se i nodi da fondere sono i due unici figli della radice, il risultato della fusione è una nuova radice mentre si decrementa l’altezza dell’albero La complessità dell’intera operazione di eliminazione (comprensiva delle eventuali fusioni di nodi) rimane dell’ordine di O(t h(T))