in questo caso la sola differenza di fase che puo’ nascere e’ dovuta alla differenza dei cammini delle due onde sovrapposizione di onde progressive originate da sorgenti monocromatiche di uguale pulsazione e lunghezza d’onda “coerenti”, ossia con differenza di “fase iniziale” costante in generale si hanno sorgenti puntiformi di onde sferiche in un punto dello spazio P, la perturbazione sara’ la somma delle perturbazioni generate dalle due sorgenti Interferenza in un punto molto lontano dalle sorgenti si avra’ la sovrapposizione di onde praticamente piane comodita’ di notazione denoteremo come A 1 e A 2 coerenti se le fasi iniziali fossero nulle o comunque tali per cui la differenza di fase iniziale  2 -  1 tra le due sorgenti rimanesse costante nel tempo si tratterebbe di due sorgenti coerenti r1r1 r2r2 S1S1 S2S2 P che supporremo essere armoniche dove  01 e  02 sono ampiezze costanti che per dove si e’ inglobato il tutto nel fattore  dove

2 Sovrapposizione di onde – la matematica siano date due onde monocromatiche,   e  2 della stessa natura, con differenza di fase  costante: Re Im massimi dell’ampiezza: minimi dell’ampiezza: utilizzando il metodo simbolico

se le sorgenti sono simili avranno tutte la stessa ampiezza che indicheremo con Interferenza di molte sorgenti sincrone grande distanza dalle sorgenti  raggi paralleli tra due raggi successivi si ha una differenza di fase costante data da da notare come ciascun vettore sia sfasato ripetto al precedente dello stesso S6S6 S5S5 S4S4 S2S2 S3S3 S 1 a   asen  le sorgenti siano monocromatiche, sincrone ed equidistanziate tra loro del tratto a sia dato un grande numero N di sorgenti simili tra loro disposte lungo una linea retta supporremo di collocarci a grande distanza dalle sorgenti la lunghezza d’onda emessa da ciascuna sorgente sia se l’osservatore si trova ad angolo  rispetto alla perpendicolare alle sorgenti  interferenza di onde piane  asen  

P O C ogni sorgente puo’ essere rappresentata da un vettore rotante o “fasore” la cui lunghezza e’ proporzionale all’ampiezza dell’onda emessa dalla sorgente ossia a per ottenere l’ampiezza risultante nella direzione voluta dovremo sommare i fasori delle N sorgenti nella direzione dell’angolo di osservazione l’ampiezza risultante sara’ data dalla lunghezza del fasore OP risultante della somma vettoriale dei fasori dove  e’ la lunghezza di CP e di CO R in COR si ha Q ossia l’intensita’ dell’onda totale e’ proporzionaleal quadrato dell’ampiezza dove I 0, l’intensita’ di una singola sorgente, sara’ proporzionale a dividendo si ottiene

etc.si deduce che la funzionepresenta massimi e minimi pari a ± N in corrispondenza dei valori dell’angolo  dati dalla condizione con n = 0,1,2,3,… dalle identita’ trigonometriche : in questo caso particolare percio’ i massimi e i minimi dell’ampiezza totale dell’onda si troveranno in corrispondenza dei valori ossia dei valori dato che con n = 0,1,2,3,…

da notare come ponendo N = 2 nella formula risultato gia’ ottenuto nel caso di interferenza di due sole sorgenti sincrone si ottengaespressione che grazie alla identita’ trigonometrica postodiviene i minimi si troveranno in corrispondenza dei valoricon n’ ≠ 0, N, 2N, … tra due minimi deve essere presente un massimo ed in questo caso tra due massimi principali dovranno trovarsi N – 2 massimi secondari

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 7 Principio di Huygens i punti di un fronte d’onda fungono da sorgenti puntuali di onde elementari sferiche secondarie aventi la stessa frequenza dell’onda principale legge di rifrazione di Snell indice di rifrazione: dopo un tempo t la nuova posizione del fronte d’onda è rappresentata dalla tangente superficiale a queste onde secondarie.

P la collocazione delle sorgenti della perturbazione sia ignota, ma se e’ noto che esse sono racchiuse all’interno della superficie chiusa S allora, la formulazione quantitativa del principio di Huygens e’ dovuta a Kirchhoff ammettendo per semplicita’ che la perturbazione sia scalare, dove e’ una perturbazione sferica emessa da una porzione infinitesima dS della superficie S l’onda sferica e’ emessa al tempo t’ = t - r/v antecedente a t questo per tenere conto della velocita’ finita di propagazione della perturbazione l’onda al tempo t in un punto P (xyz) posto all’esterno di S si puo’ calcolare come e e’ una funzione della direzione di emissione della perturbazione la perturbazione totale nel punto P al tempo t sara’ data dalla somma delle perturbazioni infinitesime se la superficie S coincide con un fronte d’onda si ha chedove l’emissione e’ massima per  = 0, ossia nel verso dell’orientamento della superficie, e nulla per  = , ossia all’indietro

Diffrazione da una fenditura rettangolare Supponiamo di avere un fronte d’onda piano che incide su di una fenditura di larghezza b per il principio di Huygens ciascun punto del fronte d’onda di un onda incidente diverra’ a sua volta sorgente secondaria di onde sferiche b dividiamo la fenditura in tratti infinitesimi di larghezza dx che ciascun tratto dx della fenditura diverra’ sorgente di onde di ampiezza infinitesima pari a per il principio di Huygens potremo affermare AB a grande distanza dalla fenditura le onde emesse appariranno piane valutando la differenza di fase tra due raggi paralleli emessi dalle sorgenti poste in A ed in C e visti sotto l’angolo  riesce che ABC x  D quindi  cresce linearmente con x per calcolare l’ampiezza totale si dovra’ sommare il contributo di tutte le sorgenti infinitesime contenute nel tratto AB ossia costruire la poligonale delle somme dei fasori infinitesimi dx AB x e

i fasori infinitesimi giacciono in questo caso su di un arco di cerchio di centro C e raggio  C O P l’ampiezza risultante sara’ pari alla lunghezza della corda OP Q ed in x = B  max  =  = ABC x  D b tuttavia, osservando la fenditura a zero gradi ossia in avanti si avra’ che l’ampiezza risultante sara’ la somma delle lunghezze dei fasori infinitesimi vale a dire la lunghezza “rettificata” dell’arco di circonferenza da O a P da notare come in questo caso non sia piu’ possibile “ normalizzare” l’ampiezza risultante, ossia esprimere le ampiezza delle singole sorgenti secondarie sono in questo caso infinitesime l’ampiezza risultante in rapporto alla ampiezza di una singola sorgente in quanto ossia pari a 2 PQ ma  e’ anche l’angolo sotteso tra CO e CP  cresce linearmente con x arco che ha lunghezza pari a quindi

dividendo si ha da cui e dato che l’intensita’ e’proporzionale al quadrato dell’ampiezza

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 12 Diffrazione … da singola fenditura posizione dei minimi: nella diffrazione da singola fenditura le frange scure si producono laddove la differenza di cammino tra i raggi provenienti dagli estremi della fenditura sono multipli di

A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini Massimo principale 13 Diffrazione “sfasamento” Re Im esempio:  a = a/10 Primo minimo Secondo massimo Re Im diagramma dei vettori di fase. da singola fenditura

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