Le frazioni A partire da N vogliamo costruire un nuovo insieme numerico nel quale sia sempre possibile eseguire la divisione. Per fare ciò dobbiamo introdurre il concetto di frazione. Una frazione è un elemento del prodotto cartesiano N x N0, cioè è una coppia ordinata (a, b) con b ≠ 0 che scriviamo nella forma : a b (a, b) a b La frazione rappresenta la divisione tra a e b se b ≠ 0 a b

Le frazioni Esistono frazioni diverse che esprimono la stessa quantità come ad esempio: 2 5 4 10 Diciamo che è equivalente a . 2 5 4 10 Per stabilire se due frazioni sono equivalenti si può ricorrere alla seguente regola: La frazione è equivalente alla frazione se a  d = b  c a b c d ESEMPIO 3 7 6 14 Prodotto incrociato 3  14 = 7  6

15 24 = 15 : 3 24 : 3 5 8 Definizione e caratteristiche L’insieme delle frazioni può essere quindi suddiviso in tanti sottoinsiemi, ciascuno dei quali contiene tutte e sole le frazioni equivalenti tra loro; chiameremo questi sottoinsiemi gruppi di equivalenza. Si chiama numero razionale assoluto ogni sottoinsieme di frazioni equivalenti. L’insieme dei numeri razionali assoluti viene indicato con Qa La scelta della frazione rappresentante è arbitraria ma generalmente è comodo scegliere quella ridotta ai minimi termini, cioè la frazione in cui il M.C.D. fra il numeratore e il denominatore è uguale a 1. Per ridurre una frazione ai minimi termini si applica la proprietà invariantiva della divisione: ESEMPIO 15 24 = 15 : 3 24 : 3 5 8

Rappresentazione Anche l’insieme Qa può essere rappresentato su una semiretta orientata. Fissato un segmento a cui far corrispondere il numero razionale 1, per individuare il punto a cui corrisponde, per esempio, il numero , basta dividere il segmento unitario in 4 parti uguali e considerare il multiplo secondo 3 di una di queste parti. 3 4 1 3 4 6 8 Il punto che rappresenta la frazione rappresenta anche tutte le frazioni ad essa equivalenti ( , …) 3 4 6 8 9 12 In generale, al numero razionale rappresentato dalla frazione si fa corrispondere il punto che si ottiene dividendo il segmento unitario in b parti uguali e considerando il multiplo secondo a di una di queste parti. a b 1 a b b parti a parti

3 5 14 3 26 15 Dalla frazione al numero decimale Oltre che in forma di frazione, un numero razionale si può rappresentare anche con una scrittura decimale. Per trasformare una frazione in un numero decimale basta dividere il numeratore per il denominatore. Il numero decimale può essere: finito: 3 5 = 3 : 5 = 0,6 periodico semplice: 14 3 = 14 : 3 = 4,6666… = 4,6 periodo periodico misto: 26 15 = 1,7333… = 1,73 antiperiodo

Dalla frazione al numero decimale Enunciamo il seguente criterio: una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene solo potenze del 2 e/o del 5, dà origine ad un numero decimale finito; una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene almeno un fattore diverso da 2 e da 5, dà origine ad un numero decimale periodico. ESEMPI 12 16 numero decimale finito 3 4 3 : 4 = 0,75 7 3 numero decimale periodico 7 : 3 = 2,3

Dal numero decimale alla frazione generatrice La frazione generatrice di un numero decimale finito si ottiene scrivendo al numeratore le cifre del numero senza la virgola e al denominatore 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali. ESEMPIO 7,5 = = 75 10 15 2 La frazione generatrice di un numero decimale periodico è una frazione che ha per numeratore la differenza tra il numero intero che si ottiene togliendo la virgola ed il numero intero che si ottiene eliminando le cifre del periodo, e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo. ESEMPI 2,24 = = = 224 – 2 99 222 74 33 1,73 = = = 173 – 17 90 156 26 15

11 7 13 5 4 2 7 35 8 14 > > > Ordinamento Se due frazioni hanno uguale denominatore, la frazione maggiore è quella con il numeratore maggiore. ESEMPIO 11 13 > 7 Se due frazioni hanno denominatori diversi basta ridurre allo stesso denominatore e poi confrontare i numeratori. ESEMPIO 5 2 > 4 7 Infatti, riducendole a denominatore comune 14 = m.c.m. (2, 7) 35 14 > 8 Per confrontare due numeri razionali assoluti basta confrontare due frazioni rappresentanti o le loro forme decimali.

a b c d ad + bc bd 3 4 1 6 11 12 9 + 2 a b c d ad − bc bd 7 3 1 6 13 Operazioni ADDIZIONE a b + c d = ad + bc bd Se b e d hanno divisori comuni il denominatore comune è il m.c.m. di essi. ESEMPIO 3 4 + 1 6 = 11 12 9 + 2 SOTTRAZIONE a b − c d = ad − bc bd con ≥ ESEMPIO 7 3 − 1 6 = 13 14 − 1

a b c d ac bd 2 3 5 8 12 a b c d 4 5 8 3 10  =  = : =  : =  Operazioni MOLTIPLICAZIONE a b  c d = ac bd ESEMPIO 2 3  5 8 = 12 1 4 DIVISIONE con c ≠ 0 a b : c d =  reciproco di ESEMPIO 4 5 : 8 3 = 10  1 2

a b an bn 3 4 9 16 1 2 16 3 8 1 = n = 1 e 0 0 non ha significato = 2 = Operazioni POTENZE = a b n an bn con = 1 e 0 0 non ha significato ESEMPIO = 3 4 2 9 16 = 1 2 4 16 = 3 8 1

a : b = c : d a c b d = Rapporti e proporzioni Si dice rapporto fra due numeri a e b, con b ≠ 0, il quoziente della loro divisione. Si dice che quattro numeri a, b, c, d, sono in proporzione se il rapporto fra i primi due numeri è uguale al rapporto fra i secondi due: a b = c d con b ≠ 0 e d ≠ 0 conseguenti antecedenti estremi a : b = c : d medi

a : b = c : d b  c = a  d a : b = c : d a : c = b : d d : b = c : a Rapporti e proporzioni Proprietà delle proporzioni Proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. a : b = c : d b  c = a  d b  c a  d Proprietà del permutare: scambiando fra loro i medi, oppure gli estremi, la relazione che si ottiene è ancora una proporzione. a : b = c : d a : c = b : d d : b = c : a

a : b = c : d b : a = d : c a : b = c : d (a + b) : a = (c + d) : c Rapporti e proporzioni Proprietà dell’invertire: scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, la relazione che si ottiene è ancora una proporzione. a : b = c : d b : a = d : c Proprietà del comporre: in ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto). a : b = c : d (a + b) : a = (c + d) : c si sommano (a + b) : b = (c + d) : d Proprietà dello scomporre: in ogni proporzione, la differenza dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto). a : b = c : d (a - b) : a = (c - d) : c si sottraggono (a - b) : b = (c - d) : d se a > b e c > d

Rapporti e percentuali Se in una proporzione c’è un termine non noto, lo si può determinare applicando la proprietà fondamentale. ESEMPIO 15 : 8 = 6 : x 15x = 48 x = 48 15 = 16 5 Per calcolare il termine incognito (medio proporzionale) in una proporzione continua (con i medi uguali) a : x = x : b si applica la stessa proprietà: x2 = ab x = √ab ESEMPIO 45 : x = x : 5 x = √45  5 = 15 Percentuale: è un modo diverso di esprimere una frazione decimale ESEMPIO 15% equivale a 15 100 Il 15% di 2400 è 2400  15 100 = 360

Q+ : insieme dei numeri razionali positivi Definizione e caratteristiche Numero razionale relativo: numero razionale assoluto preceduto dal segno + o − (il segno + può essere sottinteso). Q = Q+ U Q− U {0} Q+ : insieme dei numeri razionali positivi Q− : insieme dei numeri razionali negativi dove Q0 = Q+ U Q− Rappresentazione sulla retta orientata dei numeri. 1 3 − 2 + 8 4 7

3 1 + 2 1 3 − + 4 5 3 − 5 3 − + 8 Caratteristiche Numeri concordi: numeri con lo stesso segno. Es. e 3 2 + 1 Numeri discordi: numeri con segno opposto. Es. e 1 4 − 3 5 + Valore assoluto o modulo di un numero razionale: numero razionale assoluto ad esso corrispondente. Es. = 3 5 − Numeri opposti: numeri con lo stesso valore assoluto ma discordi Es. e 3 8 − +

Operazioni L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e l’elevamento a potenza vengono definite in Q con regole analoghe a quelle introdotte in Qa e, quanto riguarda i segni, in Z. In Q può essere introdotta la potenza con esponente negativo: se l’esponente di una potenza di base non nulla è un numero intero negativo, si calcola la potenza ad esponente positivo del reciproco della base: n a-n = 1 a con n > 0 e a ≠ 0 Possiamo allora dare la definizione completa di potenza: dato un numero razionale a ed un numero intero n ≠ 0, si dice potenza n-esima di a, e si scrive an: Il prodotto di n fattori uguali ad a se n ≥ 2 Il numero a stesso se n = 1 Il numero se n < 0 e a ≠ 0 Si pone poi a0 = 1 se a ≠ 0 e non si attribuisce significato alla scrittura 00 1 a-n

CARATTERISTICHE E PROPRIETÀ Operazioni Tabella di riepilogo delle operazioni negli insiemi numerici OPERAZIONE CARATTERISTICHE E PROPRIETÀ Addizione è un’operazione interna a qualsiasi insieme numerico è commutativa e associativa ha elemento neutro: 0 è invertibile in Z e Q e l’operazione inversa è la sottrazione Sottrazione è un’operazione interna a Z e Q, non sempre è possibile in N e Qa possiede la proprietà invariantiva Moltiplicazione è distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione ha elemento neutro: 1 è invertibile in Q0 e l’operazione inversa è la divisione Divisione è un’operazione interna a Q, non sempre è possibile in N e Z è distributiva solo a sinistra rispetto all’addizione e alla sottrazione

Definizione e caratteristiche Numeri irrazionali: numeri decimali illimitati non periodici L’insieme dei numeri razionali e quello dei numeri irrazionali sono disgiunti e la loro unione dà origine all’insieme dei numeri reali. Un numero reale è quindi un numero che è razionale o irrazionale. L’insieme dei numeri reali si indica con R. L’insieme R può essere rappresentato su una retta orientata ed esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti di tale retta e i numeri reali. Questa proprietà dei numeri reali è nota come “assioma di continuità della retta”.

Notazione scientifica e ordine di grandezza Nei calcoli scientifici, dove si deve lavorare spesso con numeri molto grandi oppure molto piccoli, si usa una notazione particolare che utilizza le potenze del 10. Questo modo di scrivere i numeri prende il nome di notazione scientifica. Un numero è in notazione scientifica se è scritto nella forma a  10k dove a è un numero reale con una sola cifra diversa da zero prima della virgola e k è un numero intero. ESEMPI 3 280 000 000 000 si può scrivere come 3,28  1012 (basta spostare la virgola a destra di 12 posti per avere il numero dato. 0,000000067 si può scrivere come 6,7  10−8 (basta spostare la virgola a sinistra di 8 posti per avere il numero dato.

2,4  103 5,6  10−4 Notazione scientifica e ordine di grandezza Di un numero reale scritto in notazione scientifica si definisce poi l’ordine di grandezza come la potenza di 10 più vicina al numero: 10k se |a| < 5 Ordine di grandezza di a  10k è 10k+1 se |a| ≥ 5 ESEMPI 2,4  103 ha ordine di grandezza 103 5,6  10−4 ha ordine di grandezza 10−3 (l’esponente è −4 + 1)

TABELLA RIASSUNTIVA SUGLI INSIEMI Insieme infinito che ha come primo elemento 0, non esiste ultimo elemento: 0, 1, 2, … È un insieme discreto. Le operazioni interne sono: - l’addizione - la moltiplicazione Z Insieme infinito che non ha né primo né ultimo elemento: … −2, −1, 0, +1, +2, … È un insieme discreto. Le operazioni interne sono: - l’addizione e la sua inversa sottrazione - la moltiplicazione

Q Insieme infinito che non ha né primo né ultimo elemento: i suoi elementi si possono esprimere come frazioni oppure come numeri decimali finiti o periodici. È un insieme denso Le operazioni interne sono: - l’addizione e la sua inversa sottrazione - la moltiplicazione e la sua inversa divisione R Insieme infinito che non ha né primo né ultimo elemento; i suoi elementi sono i numeri razionali e irrazionali È un insieme continuo Si possono eseguire tutte le operazioni ad eccezione dell’estrazione di radice di indice pari di un numero negativo

Retta passante per l’origine. Grafici di funzioni Ogni funzione y = f (x) può essere rappresentata graficamente in un piano cartesiano mediante l’insieme dei punti di coordinate (x, y) che si ottengono attribuendo a x un valore del dominio e calcolando il corrispondente valore di y. Retta passante per l’origine. Funzione di proporzionalità diretta: y = kx Iperbole equilatera. Funzione di proporzionalità inversa: y = con k ≠ 0 k x

y = x2 (in giallo) 1 y = − x2 (in rosso) 2 Grafici di funzioni Parabola con vertice nell’origine, simmetrica rispetto all’asse y. Funzione di proporzionalità quadratica: y = kx2 Nella figura sono rappresentate: y = x2 (in giallo) y = − x2 (in rosso) 1 2