Cinematica del punto materiale Studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue cause Il moto è completamente determinato se e` nota la posizione del corpo in funzione del tempo Necessita` di un sistema di riferimento per determinare la posizione Diversi tipi di sistemi di riferimento: – Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z – Polare (2 dimensioni): ,  – Sferico (3 dimensioni): r, ,  1

Cinematica Ogni coordinata è funzione del tempo  legge oraria: – x(t), y(t), z(t) –  (t),  (t) –  (t),  (t), z(t) – r(t),  (t),  (t) Traiettoria: è il luogo dei punti dello spazio occupati dal corpo nei successivi istanti di tempo – dà informazioni di tipo geometrico, e si scrive ad esempio y=f(x) – tratteremo traiettorie semplici (rettilinee, paraboliche circolari) 2

Attenzione: non confondere traiettoria e legge oraria Il moto dei pianeti nel campo di gravita` del sole si svolge lungo la seguente traiettoria o orbita (1 a legge di Keplero): Questa è una funzione  e rappresenta una relazione puramente geometrica tra le coordinate  e  quale? Nulla sappiamo sulle leggi orarie  (t),  (t) Lo studio delle leggi orarie si chiama cinematica 3

Cinematica Le grandezze fisiche necessarie per lo studio della cinematica sono – Distanza – s, l, x, r… – Tempo - t – Velocità - v – Accelerazione – a Partiamo da… a e t 4

Accelerazione L’accelerazione, in generale, è un vettore che varia nel tempo: Unità di misura: ms -2 Variazioni valgono sia in modulo che in direzione Nel caso in cui sia costante, il moto è detto uniformemente accelerato Nel caso in cui sia 0, il moto è detto rettilineo uniforme Qual è il significato dell’accelerazione? 5

Esempio: corpo che cade Un corpo che cade si muove verso il basso (asse y) con un’accelerazione costante |g| =9.8 m/s 2 Il moto del grave è dunque uniformemente accelerato Se prendiamo un sistema di riferimento con l’asse y rivolto verso l’alto, l’accelerazione a ha componente lungo quest’asse negativa: a y =-g 6 y

Accelerazione Dall’esperienza comune, si dice che un corpo ha una certa accelerazione quando la sua velocità varia nel tempo Nel caso del corpo che cade, esso aumenta sempre di più la sua velocità; mentre, se sale, la sua velocità diminuisce sempre di più Ma, a parità di tempo, quanto valgono le variazioni di velocità? O altrimenti detto, le variazioni di velocità sono uguali o diverse nel tempo? Definiamo accelerazione il vettore dato da: derivata della velocita` rispetto al tempo 7

Attenzione a: Non confondervi tra accelerazione e variazione di velocità Velocità non è proporzionale ad accelerazione Accelerazione non è proporzionale al «tempo», né al «tempo» al quadrato Accelerazione non è proporzionale a «spazio» 8

Relazioni tra velocità e accelerazione Poichè: Si ha: 9

Moto uniformemente accelerato Accelerazione è costante La velocità varia linearmente, cioè a parità di tempo, le variazioni di velocità sono uguali A seconda del sistema di riferimento scelto, la velocità avrà component che saranno una retta con pendenza positiva o negativa 10 y

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Velocita` Ma cos’è la velocità? Dall’esperienza comune, una persona va più o meno veloce a seconda della distanza che percorre in un tempo fissato. Considerando intervalli di tempo piccoli ovvero la derivata della posizione rispetto al tempo Se v = costante, il moto (rettilineo) e` detto uniforme 12

Relazioni tra posizione e velocità Poichè: La relazione inversa è Utile se è nota la dipendenza di v da t x-x 0 rappresenta lo spostamento complessivo, cioe` la somma algebrica degli spostamenti e non lo spazio percorso che e` invece la somma del modulo degli spostamenti 13

Moto rettilineo uniforme Se v è costante nel tempo Lo spostamento del corpo è rappresentato da una retta la cui pendenza dipende dal moto: se il corpo si avvicina all’origine (x = 0, arbitraria) essa è negativa, se si allontanta è positiva 14

15 Pendenza positiva = allontanamento

16 Moto in avvicinamento, pendenza negativa

17 Determinare la velocità del moto la cui legge oraria è riprodotta in figura

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Moto uniformemente accelerato Accelerazione è costante Ricaviamo la legge oraria: 19

Esempio Se il corpo che cade da altezza h con velocità iniziale nulla: x 0 =h, v 0 =0, t 0 =0 si ha: Il corpo raggiunge il suolo, cioè il punto x=0, al tempo: con velocità: 20

Grafici del moto di una pallina che rimbalza sul pavimento 21 x t v t

Grafici del moto di una pallina che rimbalza sul pavimento Fare uno schizzo del grafico a(t)

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Moto su piano inclinato 24 yx g g  gcos  -gsin  y y’  x x’

Cinematica del moto su piano inclinato 25 y y’  x  x’ g g  gcos  -gsin  -gcos  gsin 

Attenzione a: Accelerazione in salita e discesa: uguali o diverse? Velocità non ha stesso andamento accelerazione Traiettoria rettilinea Legge oraria diversa da traiettoria 26

Discesa su piano inclinato 27 y  x gsin  h d 0

Salita su piano inclinato 28 y  h d 0 v0v0

Velocità massima se (non) si vuole che corpo vada oltre sommità 29 y  h d 0 v0v0

30 Salita/discesa su piano inclinato

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Equazione del moto Come abbiamo visto, per conoscere le coordinate di un corpo in funzione del tempo è necessario risolvere un’equazione, detta equazione del moto L’equazione del moto ha come incognite le accelerazioni: Occorre risalire dall’ accelerazione alla posizione 33

Soluzione di equazioni differenziali Si dice integrare l’equazione come sinonimo di risolvere Risolvere un’equazione differenziale significa abbassarne il grado di derivazione mediante operazioni di integrazione agenti sulle funzioni incognite o su funzioni di queste funzioni 34

Accelerazione come funzione della posizione Sia: a = a(x) cioè in funzione della posizione Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per la velocita`: Integriamo ambo i membri rispetto a t: Poichè 35

Accelerazione come funzione della posizione Risolvendo l’integrale si ha: cioè 36

Un esempio importante Nel caso più semplice: Avremo allora: Risolvendo rispetto a v: 37

Un esempio importante Ma: Risolvendo per separazione di variabili: 38

Un esempio importante Risolvendo avremo: 39

Moto armonico A l’ampiezza  la pulsazione  la fase iniziale Poiche’ la funzione seno e` periodica, a due istanti di tempo t 1, t 2, che soddisfano la relazione seguente corrispondera` uno stesso valore della coordinata 40

Moto armonico Quando n assume il valore minimo (n=1), i due istanti differiscono per un tempo T detto periodo E dunque: La frequenza è l’inverso del periodo: 41

Misura di oscillazioni 42

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Esercizi 1) Un corpo puntiforme viene lanciato verticalmente verso l’alto con velocita` iniziale v 0 dall’altezza h 1 – Trovare a) il tempo in cui raggiunge la massima altezza; b) la massima altezza; c) il tempo in cui arriva a terra; d) la velocita` con cui arriva a terra 2) Un corpo si muove con una velocita` data da nell’intervallo di tempo  t tra t 1 e t 2 – Trovare a) la velocita` media in  t; b) l’accelerazione media in  t; c) lo spazio percorso in  t 45

Esercizi 3) dato un moto armonico – Determinare le costanti A e  in funzione delle condizioni iniziali 4) mostrare che le seguenti implicazioni sono false 46

Esercizi 47