Un evento è un fatto che può accadere o non accadere. Se esso avviene con certezza si dice evento certo, mentre se non può mai accadere si dice evento impossibile. Gli eventi che possono accadere in modo casua­le si dicono aleatori, essi sono i possibili esi­ti di un esperimento che non dipende da una legge determinata. Un singolo esito si dice evento elementare o campione. GLI EVENTI

La probabilità di un evento E, secondo l'impostazione classica, si calcola facendo il rapporto fra il numero f dei casi favorevoli e il numero n dei casi possibili, supponendo tutti i casi ugualmente possibili: p(E) = f/n  La probabilità assume un valore u compreso tra 0 ed 1.  Se l'evento è impossibile, la probabilità è 0  Se l'evento è certo, la probabilità è 1.  La probabilità del non verificarsi di E, cioè dell'evento contrario E, è p(E) = 1 —p(E). Esempio: Estraiamo una carta da un mazzo di 40 carte. L'evento contrario all'evento A = "esce una carta con un valore minore di 7" è l'evento A = "non esce una carta con un valore minore di 7" o anche A = "esce una carta con un valo­re maggiore o uguale a 7": LA CONCEZIONE CLASSICA DELLA PROBABILITÀ

La probabilità di un evento E, secondo l'impostazione statistica (o frequentistica), è la sua frequenza relativa, cioè il rapporto fra il numero delle volte m che si è verificato un fenomeno e il numero delle prove n effet­tuate nelle stesse condizioni, quando questo ultimo è elevato f(E) =m/n. Alla base di questa impostazione c'è la legge empirica del caso. Essa afferma che la fre­ quenza relativa di un evento E, all'aumentare del numero di prove effettuate, tende alla probabilità dell'evento. Esempio: In un poligono di tiro, un atleta su 1600 tiri ha colpito il centro 1525 volte. Possiamo valutare che la probabilità che l'atleta successivamente centri il bersaglio sia f =1525/1600 = 0,953. LA CONCEZIONE STATISTICA DELLA PROBABILITÀ

La probabilità di un evento E, secondo l'im­postazione soggettiva, è il rapporto tra il prez­zo P che una persona ritiene equo pagare e la vincita V che riceverà al verificarsi di E: P(E) = P/V Esempio: Un barista ha creato un nuovo tipo di cocktail e scommette 12 euro contro 8 euro di un suo collega che otterrà un alto gradimento. La pro­babilità di successo del prodotto valutata dal barista: P(E)= 8/12 = 60%. LA CONCEZIONE SOGGETTIVA DELLA PROBABILITÀ

L'impostazione assiomatica è una forma­lizzazione matematica che utilizza la logica formale e la teoria degli insiemi.  Tutti i possi­bili esiti di un esperimento costituiscono l'insieme U, detto spazio dei campioni.  Tutti i possibili eventi E sottoinsiemi di U costitui­scono lo spazio degli eventi. L'IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DELLA PROBABILITÀ

PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI

Un'urna contiene 4 palline rosse numerate da 1 a 4 e 6 palline nere numerate da 1 a 6. Si estraggono successivamente due palline, senza rimettere la pallina estratta nell'urna. Calcoliamo la probabilità:  che le palline estratte siano di colore uguale;  che le palline estratte siano rosse o rechino un numero pari  che almeno una pallina estratta sia rossa. Esempio: a) Si tratta di eventi incompatibili: le palline possono essere entrambe rosse o entrambe nere b) Gli eventi «due palline rosse» e «due numeri pari sono compatibili in quanto fra i 5 numeri pari 2 sono rossi [(2,4) e (4,2)] c) L’evento è verificato quando le palline che escono sono una rossa e una nera ( o due rosse: N.B.: Lo stesso risultato può essere ottenuto anche utilizzando le probabilità dell’evento contrario. Nessuna pallina nera

La probabilità condizionata di un evento E 1 rispetto a un evento E 2, non impossibile, è la probabilità di verificarsi di E 1 nell'ipotesi che si sia già verificato E 2 e si indica con p (E 1 |E 2 ) Esempio: Calcolare la probabilità di estrarre un 2 e un 3 da un insieme di 10 numeri: qual è la probabilità di estrarre un 3 se è già stato estratto il 2? Risposta: Dipende: una volta estratto il 2 esso viene rimesso o no nell’urna? Il 2 viene immesso nell’urna. In questo caso il verificarsi del primo evento non le probabilità del verificarsi dell’evento. Se P(E 1 |E 2 ) = p(E 1 ) gli eventi si dicono sto­casticamente indipendenti Il 2 non vene immesso nell’urna In questo caso il suo verificarsi o meno condiziona le probabilità che si verifichi l’evento E richiesto (nell’urna c’è una pallina in meno) In questo caso gli eventi si dicono stocasticamente dipendenti; in particolare se P(E 1 |E 2 )>P(E 1 ) sono cor­relati positivamente, altrimenti sono cor­relati negativamente. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

Il prodotto logico di due eventi P(E 1  E 2 ), o evento composto, è l'evento che si verifica quando si verificano entrambi gli eventi. Il teo­rema della probabilità composta dice che:  se E 2 ed E 1 sono eventi dipendenti P(E 1  E 2 ) = P(E 1 )×P(E 2 |E 1 ) = P(E 2 )×P(E 1 |E 2 )  se E 1 ed E2 sono eventi indipendenti p(E 1  E2) = p(E 1 ) × (E2), Esempio: Si estraggono successivamente due carte da un mazzo da 40. La probabilità che escano due assi nel caso di: non reimmissione della prima carta è: (4 /40)×( 3/39) In caso di reimmissione della prima carta è: (4 /40)×( 4/40) LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI

Per il calcolo della probabilità condizionata vale quindi la seguente formula: P(E 1 | E 2 ) = P(E 1  E 2 )/ P(E 2 ) = r/k Dove:  r = P(E 1  E 2 ) è il numero di casi favorevoli al verificarsi di E 1 sapendo che E 2 si è verificato cioè il numero di casi in cui si verifica l’evento (E 1  E 2 )  k è il numero di casi favorevoli al verificarsi di E 2

Lo schema delle prove ripetute o di Bernoulli considera successivi n esperimenti indipendenti di un evento E avente probabilità costante p di verificarsi ogni volta. L'evento si deve verificare k volte e non si deve verificare le (n - k) volte rimanenti ognuna con probabilità q= 1 — p. Il valore della probabilità di ottenere k successi su n prove è: Il PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE. Un'urna contiene 4 palline nere, 2 rosse e 9 verdi. La probabilità che effettuando 7 estrazioni nelle stesse condizioni la pallina nera si presenti 5 volte è:

Consideriamo il seguente problema Il PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE. Un'urna contiene 4 palline nere, 2 rosse e 9 verdi. Calcolare la probabilità che effettuando 7 estrazioni nelle stesse condizioni la pallina nera si presenti 5 volte L’evento E ha probabilità costante p=4/15 di verificarsi ogni volta. L'evento si deve verificare 5 volte e non si deve verificare le 2=(7 -5) volte La probabilità che E non si verifiche è q= 1 — p = 1-(4/15) Ci sono 7 prove indipendenti del verificarsi di un evento E. In questo caso:

Il teorema di Bayes Il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità che essendosi verificato un evento E esso sia stato causato (o preceduto) dall’evento E i (causa dell’evento) La dove p(E)= P(E 1 )×P(E/E 1 ) + P(E 2 )×P(E/E 2 )+ P(E 2 )×P(E/E 2 ) …+ P(E n )×P(E/E n ) Dove E 1, E 2,….,E n sono tutte le possibili cause dell’evento E La probabilità che l'evento E i sia stato la premessa al verificarsi dell'evento E è:

Esempio 2 In un bar ci sono due macchinette mangiasoldi A e B. Effettuando una singola giocata su A si vince con probabilità 1/2, mentre giocando su B si vince con probabilità 1/4. Supponiamo di non sapere quale sia la macchinetta A e quale la B; se ne scegliamo una a caso, giochiamo una sola volta, e vinciamo, che probabilità c'è che la macchinetta scelta sia stata A?

Esempio. In un paese scandinavo: Il 70% delle ragazze ha i capelli Biondi, il 20% li ha Rossi, il 10% Mori. Risulta poi che ha gli occhi Scuri il 10% delle Bionde, il 25% delle Rosse, il 50% delle More. Se so che la ragazza con cui ho fatto amicizia tramite Internet ha gli occhi Scuri, che probabilità c'è che sia Bionda?

Esercizio per casa. ESERCIZIO:Se quattro arcieri A, B, C, D scoccano la loro freccia contemporaneamente e hanno probabilità, rispettivamente, 1/2, 1/3, 1/4 e 1/5 di colpire il bersaglio Che probabilità c'è che dopo il tiro simultaneo risulti conficcata nel bersaglio esattamente 1 freccia? Se dopo il tiro simultaneo risulta conficcata nel bersaglio 1 e 1 sola freccia, che probabilità c'è che si tratti di quella dell'arciere A?

Per casa: In un paese asiatico, la probabilità che una radiolina della marca A sia difettosa è bassa: 0,1%. La marca B, unica concorrente di A in quella nazione, fa ancora meglio: probabilità dello 0,05%. Sul mercato, tuttavia, la marca A risulta prevalere, col 60% degli acquisti, perché la linea dei suoi prodotti è più carina. Che probabilità ha una radiolina perfettamente funzionante presa a caso, di essere della marca A? [R: 60% circa]

La distribuzione di Poisson con media è dove è il numero medio di eventi per intervallo di tempo n è il numero di eventi per intervallo di tempo (lo stesso col quale si misura ) di cui si vuole la probabilità. La distribuzione di Poisson esprime le probabilità per il numero di eventi che si verificano successivamente ed indipendentemente in un dato intervallo di tempo, sapendo che mediamente se ne verifica un numero. Distribuzione di Poisson Ad esempio, si utilizza una distribuzione di Poisson per misurare il numero di chiamate ricevute in un call-center in un determinato arco temporale, come una mattinata lavorativa.

Esempio. Quindi, volendo calcolare la probabilità che non arrivi nessuna telefonata deve essere k = 0