Teoria dei Sistemi di Trasporto Tematica 4: Elementi minimi di teoria della probabilità

Un esperimento aleatorio è una operazione (anche detta una prova) il cui risultato non è noto a priori con certezza  lancio del dado: non è possibile sapere a priori quale è la faccia del dado che “uscirà” L’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento aleatorio è detto spazio delle prove e si è soliti indicarlo con il simbolo S  tutte le possibili facce al termine del lancio del dado (spazio delle prove composto da 6 elementi)

Elementi minimi di teoria delle probabilità Un generico risultato di un esperimento aleatorio si dice evento Lo spazio delle prove è costituito dall’insieme di tutti gli eventi semplici di un esperimento  Lancio del dado lo spazio delle prove è definito da 6 eventi semplici gli eventi semplici sono discreti (non continui) ed in numero finito

Elementi minimi di teoria delle probabilità Un evento composto è l’unione di due o più eventi semplici  Lancio del dado “esce una faccia del dado dispari” è composto da:  “esce la faccia con il numero 1”  “esce la faccia con il numero 3”  “esce la faccia con il numero 5” Un evento composto si realizza se si realizza uno qualunque dei suoi eventi semplici

Elementi minimi di teoria delle probabilità agli eventi (composti o semplici) si associano le normali operazioni della teoria degli insiemi  Evento A  Evento B C=A  B – si realizza se si realizza uno qualunque degli eventi di A o di B D=A  B - si realizza de si realizza un evento appartenente sia ad A che a B L’intersezione di 2 eventi che hanno intersezione vuota definisce l’evento nullo(  ) Due eventi che abbiano come intersezione l’evento nullo si dicono eventi disgiunti

Elementi minimi di teoria delle probabilità A1 = esce la faccia con il numero 1; A2 = esce la faccia con il numero 2; A3 = esce la faccia con il numero 3; A4 = esce la faccia con il numero 4; A5 = esce la faccia con il numero 5; A6 = esce la faccia con il numero 6.  S = A1  A2  A3  A4  A5  A6;  C = “esce un numero pari” = A2  A4  A6;  D = “esce un numero dispari” = A1  A3  A5;  E = “esce un numero compreso tra 1 e 2” = A1  A2;  F = “esce un numero compreso tra 4 e 6” = A4  A5  A6;  G = “esce un numero compreso tra 2 e 4” = A2  A3  A4  H = E  F  G =   I = E  G = A2  L = (E  F)  G = A2  A4 = “esce un numero pari diverso da 6”

Elementi minimi di teoria delle probabilità Ad ogni evento (A) dello spazio delle prove è possibile associare un numero reale Pr(A)= probabilità dell’evento Teoria assiomatica della probabilità: 1. Pr(A)  0 (la probabilità è un valore reale non negativo) 2. Pr(S) = 1 (la probabilità associata allo spazio delle prove è uguale ad 1) 3. Se A  B=   Pr(A  B) = Pr(A) + Pr (B) (la probabilità dell’unione di due eventi disgiunti è la somma delle probabilità dei singoli eventi)

Elementi minimi di teoria delle probabilità Esempio: probabilità associate al lancio del dado  Maniera ragionevole di associare delle probabilità Pr(A1)=Pr(A2)=Pr(A3)=Pr(A4)=Pr(A5)=Pr(A6) = 1/6 Conseguenze dirette degli assiomi della probabilità  La probabilità dell’evento nullo è nulla Pr(  )=0  La probabilità è un numero reale non maggiore dell’unità Pr(A)  1,  A)  La probabilità dell’unione di due eventi (non necessariamente disgiunti) è la somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità dell’evento intersezione: Pr(A  B) = Pr(A) + Pr (B) – Pr(A  B)

Elementi minimi di teoria delle probabilità Evento complementare (Ā) di un qualunque evento A  unione di tutti gli eventi semplici dello spazio delle prove non contenuti nell’evento A  la probabilità dell’evento complementare è il complemento ad 1 della probabilità dell’evento: Pr(Ā) = 1- Pr(A) Esempi: nel caso del lancio del dado  F = “esce un numero compreso tra 4 e 6” = A4  A5  A6;  G = “esce un numero compreso tra 2 e 4” = A2  A3  A4 Pr(F  G) = 3/6 + 3/6 – Pr(F  G) = 6/6- Pr(A4) = 6/6 – 1/6 = 5/6; Pr(F  G) = Pr(A2  A3  A4  A5  A6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6; Pr(F  G) = Pr(A2  A3  A4  A5  A6) = Pr(Ā1) = 1 – Pr(A1) = 6/6 – 1/6 = 5/6.

Elementi minimi di teoria delle probabilità Probabilità condizionata di un evento (A) rispetto all’evento (B)  Pr(A/B) = probabilità che si verifichi A una volta noto per certo che si verifica B La probabilità condizionata è definita dalla formula:  P(A/B) = Pr(A  B)/Pr(B)  equivale a “scalare” proporzionalmente rispetto all’evento che è dato per certo (B)  Esempio: nel lancio del dado  C = “esce un numero pari” = A2  A4  A6;  E = “esce un numero compreso tra 1 e 2” = A1  A2; P(C/E) = Pr(C  E)/Pr(E) = Pr(A2)/Pr(A1  A2) = 1/6 6/2 = ½

Elementi minimi di teoria delle probabilità Dati due eventi disgiunti (A  B=  )  Pr(A/B) = Pr(B/A) = 0 è intuitivo: essendo eventi disgiunti, il verificarsi di un evento esclude automaticamente il verificarsi dell’altro La probabilità dell’intersezione di due eventi prende il nome di probabilità congiunta dei due eventi (implica che entrambi si verifichino contemporaneamente  Pr(A  B) = P(A/B) Pr(B), oppure, equivalentemente  Pr(A  B) = P(B/A) Pr(A)

Elementi minimi di teoria delle probabilità Due eventi (A e B) si dicono stocasticamente indipendenti se vale la proprietà:  Pr(A/B) = P(A) o, equivalentemente  Pr(B/A) = P(B) sta a significare che una qualunque informazione sulla probabilità di accadere dell’evento A non aggiunge alcuna informazione alla probabilità di accadere dell’evento B (o viceversa) La probabilità congiunta di due eventi indipendenti è il prodotto delle probabilità dei singoli eventi  Pr(A  B) = Pr(B/A) Pr(A) = Pr(B) Pr(A), oppure  Pr(B  A) = Pr(A/B) Pr(B) = Pr(A) Pr(B) = Pr(A) Pr(B)

Elementi minimi di teoria delle probabilità Due eventi (A e B) che siano disgiunti ed entrambi a probabilità non nulla non possono essere indipendenti Supponiamo lo siano  Pr(A  B) = Pr(B/A) Pr(A) = Pr(B) Pr(A) per il fatto di essere disgiunti Pr(A  B) = 0 essendo Pr(A)>0 e Pr(B)>0 non può valere la definizione di eventi stocasticamente indipendenti

Elementi minimi di teoria delle probabilità Ai risultati di un esperimento aleatorio è possibile associare dei valori numerici Esempio, nel lancio del dado  il valore numerico della faccia del dado corrisponde con il numero intero stesso A1 → 1 A2 → 2 A6 → 6 Esempio, estrazione a caso di una persona in una stanza affollata  Si associa al risultato dell’esperimento il valore della altezza in cm (o del peso in Kg) della persona estratta

Elementi minimi di teoria delle probabilità Si indica con X la variabile aleatoria  è una applicazione tra lo spazio delle prove (S) e un sottoinsieme (R X ) dello spazio dei numeri reali  fa corrispondere agli eventi di S gli elementi reali (x) di R X

Elementi minimi di teoria delle probabilità In generale, ad uno spazio delle prove discreto corrisponde una variabile aleatoria discreta  il suo insieme di definizione (R X ) è composto da un numero discreto (eventualmente anche infinito) di elementi. Una variabile aleatoria continua può assumere una continuità (necessariamente infinita) di valori.

Elementi minimi di teoria delle probabilità Le probabilità che una variabile aleatoria assuma i valori compresi nel suo insieme di definizione è pari alla probabilità di verificarsi degli eventi associati alla variabile aleatoria Esempio, nel lancio del dado  le probabilità della variabile aleatoria potrebbero ragionevolmente essere:  p X (x=i) = Pr(Ai) = 1/6  i  {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Elementi minimi di teoria delle probabilità p X (x) = probabilità che la variabile aleatoria assuma un generico valore del suo insieme di definizione = funzione di probabilità Valida per le sole variabili aleatorie discrete,  funzione definita su un dominio discreto ad a valori nell’intervallo reale continuo [0, 1]

Elementi minimi di teoria delle probabilità Per le variabili aleatorie continue si utilizza la funzione di densità di probabilità f X (x) Valore assunto dalla f X in un dato punto (x)  probabilità che la v.a. assuma un valore nell’intervallo infinitesimo (dx) centrato sul punto  la probabilità che assuma un valore preciso è nulla per definizione p X (x)=0

Elementi minimi di teoria delle probabilità Per definizione di probabilità deve risultare  Per una variabile aleatoria discreta:  Per una variabile aleatoria continua: Funzione di distribuzione di probabilità  F X (x) = Pr(X  x)

Elementi minimi di teoria delle probabilità F X (x)  Per una variabile aleatoria discreta:  Per una variabile aleatoria continua: Dove con –  si è indicato, convenzionalmente, l’estremo inferiore dell’intervallo di definizione R X della variabile aleatoria continua

Elementi minimi di teoria delle probabilità

V.a. discrete V.a. continue Media Esempio, caso del lancio del dado (v.a. discreta)  μ X = 1 1/ / / / / /6 = 21/6 = 3.5  La media di una variabile aleatoria non è il valore più probabile (moda) il valore di media ottenuto per il lancio del dado non appartiene all’insieme dei possibili valori

Elementi minimi di teoria delle probabilità V.a. discrete V.a. continue Varianza È una misura di quanto la legge di probabilità sia dispersa attorno alla media Deviazione standard Coefficiente di variazione

Elementi minimi di teoria delle probabilità Media, varianza, deviazione standard e coefficiente di variazione sono grandezze deterministiche Trasformazioni lineari di media e varianza

Elementi minimi di teoria delle probabilità Forma standard di una variabile aleatoria Media e varianza della forma standard

Elementi minimi di teoria delle probabilità Ai risultati di un esperimento aleatorio è possibile associare più di una quantità numerica  variabile aleatoria multidimensionale (o vettore aleatorio) Esempio, estrazione di una persona a caso in una stanza  X=[X 1, X 2 ] T X 1 = altezza della persona estratta X 2 = peso della persona estratta

Elementi minimi di teoria delle probabilità Variabile aleatoria multidimensionale (X)  applicazione che fa corrispondere agli eventi di uno spazio delle prove (S) un punto (x) di un sottoinsieme (R Xn ) di uno spazio reale multidimensionale (R n )

Elementi minimi di teoria delle probabilità Per le variabili aleatorie multidimensionale discrete la funzione di probabilità congiunta si definisce come:  p X (x) = Pr[X 1 = x 1 ; X 2 = x 2, …, X n = x n ] dove con X 1, X 2, …, X n si sono indicate le componenti della variabile aleatoria e con x=[x 1, x 2, …, x n ] T un valore (e le relative componenti) in cui la v.a. multidimensionale è definita  Il valore p X (x) rappresenta la probabilità che contemporaneamente (congiuntamente) tutte le componenti della variabile aleatoria assumano i valori delle componenti del punto Esempio: il valore p X (x 1 =-2, x 2 =3) rappresenta la probabilità che contemporaneamente la componente X 1 della v.a. assuma il valore x 1 =-2 e la componente X 2 assuma il valore x 2 =3

Elementi minimi di teoria delle probabilità Funzione di probabilità congiunta di v.a. multidimensionali discrete

Elementi minimi di teoria delle probabilità Funzione di densità di probabilità congiunta di v.a. multidimensionali discrete

Elementi minimi di teoria delle probabilità Per definizione di probabilità deve risultare: Funzione di distribuzione di probabilità  F X (x) = Pr(X  x) X  x ogni componente del vettore aleatorio è non maggiore del corrispondente elemento del vettore x (X 1  x 1, X 2  x 2, …, X n  x n ) T

Elementi minimi di teoria delle probabilità Funzioni di probabilità marginale  V.a. discreta  V.a continua esprime la legge di probabilità della componente i-esima del vettore aleatorio a prescindere dai valori assunti dalle altre componenti

Elementi minimi di teoria delle probabilità Componenti indipendenti di un vettore aleatorio Media di una v.a. multidimensionale  Media delle funzioni di (densità di) probabilità delle singole componenti

Elementi minimi di teoria delle probabilità Matrice di dispersione (o matrice varianza-covarianza) La covarianza è una misura della tendenza a variare congiuntamente

Elementi minimi di teoria delle probabilità La matrice di dispersione è positiva semidefinita Se due componenti aleatorie di una variabile aleatoria multidimensionale hanno covarianza nulla, le componenti sono, per definizione, statisticamente indipendenti

Elementi minimi di teoria delle probabilità Trasformazioni lineari di media e varianza  Date due diverse variabili aleatorie X e Y oppure due componenti di una stessa v.a. multidimensionale: