Esercitazioni su testi d’esame A cura di Gabriella della Pietra

Esame di statistica di base di Giugno 2010 Argomenti: Variabilità assoluta Variabilità relativa(concentrazione) Regressione Applicazioni della curva normale

Si è svolta un'indagine sulla classe degli studenti di statistica per sapere quanto impiegano a raggiungere la facoltà dalla propria abitazione. I dati sono raccolti nella tabella sottostante.Studiare con gli opportuni strumenti gli indici di posizione,la variabilità e la forma della distribuzione. Tempo x raggiungere facoltà n. studenti v.c.vc*nivc 2 vc 2 *n i freq. cum tot media29,65 media dei quad.5353,13 sqm66,89 media 2 878,98 Var Media dei quad.- media ,15 C.V.Sqm/media0,44 Sk(Media-mo)/sqm0,15 asimmetri a positiva Q1 1/4N56,75 Lq10 Σfq10 Fq184 c20 Q113,5 mediana 1/2N113,5 Lq120 Σfq184 Fq181 c20 Med.27,3 Q3 3/4N170,25 Lq140 Σfq1165 Fq144 c20 Q342,4 Moda L10 IΔ1I84 IΔ2I3 IΔ1I+IΔ2 I 87 c20 Moda19,3 Esercizio: variabilità assoluta

Valutare attraverso l'indice più opportuno la variabilità relativa degli introiti pubblicitari per emittente suddivisi come nella seguente tabella Esercizio: la concentrazione Emitt enti Tv Introiti pubblicita ri freq.re l. int. Rel pipi qiqi pi-qip i -p i-1 q i+ q i-1 prodot ti 13390,110,030,110,030,080,110,030, ,110,040,220,070,150,110,10 0, ,110,060,330,130,200,110,19 0, ,11 0,440,240,200,110,360, ,110,130,560,370,190,120,600, ,110,150,670,520,150,110,880, ,110,160,780,670,11 1,190, ,110,160,890,830,060,111,510, ,110,171,00 0,000,111,830,201 tot118791,00 53,851,15 0,742 Σp j  4,002,85  Σq j R gini =0, R trapezi =0,

La tabella seguente riporta la distribuzione delle età di 10 nonni e dei rispettivi 10 nipoti estratti da una data popolazione Esercizio: la regressione Tot. Calcolare i coefficienti di regressione e l’intercetta della retta di regressione per y dipendente da x e per x dipendente da y; determinare l’indice di determinazione lineare ed il coefficiente di correlazione

Si assume che la lunghezza del petalo, in una popolazione di piante appartenenti alla specie x, sia una variabile distribuita normalmente con media di 3,2 cm e deviazione standard di 1,8 cm. Qual è sarà la proporzione di piante con una lunghezza del petalo: a) Maggiore di 4,5 cm?b) Maggiore di 1,78 cm?c) Tra 2,9 e 3,6 cm? Esercizio: la curva normale A)Z=(4,5-3,2)/1,8=0,72 ; area =0,77 da cui p=1-0,77=0,23 B) Z=(1,78-3,2)/1,8=-1,78; Area=0,78 per la simmetria della curva p=0,78 C) Z1=(2,9-3,2)/1,8=-0,16; area=0,56 Z2=(3,6-3,2)/1,8=0,22; area=0,59 P=0,59-0,56=0,03 3,24,5 x z 0(x-μ)/σ=0,72 +∞-∞ 3,2 x z 0 (x-μ)/σ=-1,78 +∞-∞ 1,78 3,2 x z 0(x-μ)/σ=0,22 +∞-∞ (x-μ)/σ=-0,16 2,93,6

Esame di Statistica - Luglio2010 Argomenti: 1.Indipendenza assoluta 2.Regressione 3.Variabilità assoluta e relativa 4.Curva normale

Su una popolazione di 140 individui si sono rivlevate le distribuzioni congiunte delle modalità dei caratteri colore degli occhi e colore dei capelli.mediante l'indice più opportuno studiare l'associazione fra questi ultimi. Commentare i risultati frequenze teoriche bluverdicastanineritot biondi7,50 11,508,5035 rossi10,07 15,4411,4147 mori12,43 19,0614,0958 tot contingenze bluverdicastanineri biondi2,508,50-3,50-7,50 rossi1,93 0,56-4,41 mori-4,43-10,432,9411,91 CONTINGENZE 2 bluverdicastanineri biondi6,2572,2512,2556,25 rossi3,72 0,3119,49 mori19,61108,768,66141,95 CONTINGENZE 2 /n ij bluverdicastanineritot biondi0,839,631,076,6218,15 rossi0,37 0,021,712,47 mori1,588,750,4510,0820,86 tot2,7818,751,5418,4041,48 χ 2 =41,48φ2=φ2=0,30 Esiste un basso grado di associazione Esercizio: indipendenza assoluta (chi quadro) bluverdicastanineritot biondi rossi mori tot

Volendo costruire un modello che spieghi il Peso (espresso in kg) in funzione dell’Altezza (espressa in cm) si è osservato un campione di n = 10 studenti della facoltà di Economia; i dati ottenuti sono riportati nella tabella seguente 1)Individuare la retta di regressione con x esplicativa e y dipendente; 2)calcolare l’indice di determinazione lineare; 3)calcolare il coefficiente di correlazione. Commentare brevemente i risultati Covxy=-3,22 varx=39,56 vary=64,94 bxy=-0,0814 axy=94,9 Y=94,9-0,0814X; byx=-0,05; R2=0,004; r=-0,063 Esercizio: la regressione

Si consideri la seguente distribuzione delle industrie tessili secondo il fatturato annuo in milioni di vecchie lire Fatturato Aziend e a.c.vcvc*frvc 2 vc 2 *fr fr.cu m d.f tot Studiare attraverso gli opportuni strumenti la forma, la variabilità assoluta e la variabilità relativa della distribuzione.Commentare brevemente i risultati. media1106,14media ,48σ484,68 media quad ,91σ2σ ,44c.v.0,44 sk0,82 ASIMMETRIA POSITIVA Q1 1/4N42,75 Lq1500 Σfq120 Fq145 a300 Q1651,33 mediana 1/2N85,5 Lq1800 Σfq165 Fq156 a700 me1050 Q3 3/4N128,25 Lq11500 Σfq1121 Fq150 a500 Q31572,5 Moda L1500 Δ1Δ1 25 Δ2Δ2 11 Δ 1 +Δ 2 36 a300 Moda708,33 Classi fattur.Freq.v.c.fr.relPiintensitàintens.rel.QiP i -Q i P i -P i-1 Q i +Q i-1 prodotti , ,04 0,070,120,040, ,260, ,150,200,180,260,240, ,330, ,340,540,170,330,730, ,291, ,461,000,000,291,540,44953 tot171 2, ,431,002,550,75792 R gini 0,36 R trapezi 0,24208 Esiste un basso grado di concentrazione Esercizio: variabilità assoluta e relativa

Esercizio: applicazioni della curva normale Supponendo che i quozienti d’intelligenza (Q.I.) siano distribuiti normalmente in una popolazione definita con media 100 e deviazione standard 15. Quale proporzione della popolazione avrà un Q.I a)minore di 90? b) maggiore di145? c)compreso tra 120 e 140? a) z=(90-100)/15P(x<90)= P(z<0,666)=0, ,24% b) z=( )/15P(x>145)= P(z>3)=0, ,13% c) z 1 =( )/15=1,333 z 2 =( )/15=2,666 P(120<QI<140)= P(1,333<z<2,666)=(0, ,0038)=0,0873;8,73% x z 0 (x-μ)/σ=-0,66 +∞-∞ 100 x z 0 (x-μ)/σ=3 +∞-∞ x z 0 (x-μ)/σ=2,666 +∞-∞ (x-μ)/σ=1,

Esame di statistica di base- sessione di novembre 2009 Argomenti 1.Variabilità assoluta e relativa 2.Regressione 3.Applicazioni della curva normale 4.Domande di teoria a risposta chiusa

Si consideri la seguente distribuzione delle industrie tessili secondo il fatturato annuo in milioni di euro FatturatoAziendevcvc*n ì vc²vc² * nifr.relfr. cumfr.decID.F xini , ,000, , ,000, , ,0 00, , ,0 00,02 tot ,00 Media1.647,50 Media² ,25 Media dei quad ,00 Var ,75 Sqm1.141,43c.v.0,69 mediana1237,50Q1550Q N/2100N/4503/4N150 L1800L150L Σni50Σni0 130 Fr.mediana80Fr.q150Fr.Q340 c700c500c1.500 Moda1.100 L1800 Δ130 Δ240 Δ 1 +Δ 2 70 c700 classiaziendefr.relPivaloriaziendeIntens.Int. Parz.QiQi+Qi-1Pi-Pi-1(Pi-Pi-1)* aziendecentraliparzialirelative(Qi+Qi-1) , ,08 0,270, ,400, ,280,360,450,360, ,200, ,270,641,080,130, ,151, ,361,001,640,150,25 0,001,00000,001,002,000,090,18 Tot.2001, ,000,75 R trapezi=1 - 0,75=0,25 Misurare la variabilità assoluta e relativa con gli opportuni strumenti; determinare la percentuale di aziende con un fatturato superiore a 800 milioni e inferiore a 3 miliardi annui. Esercizio: variabilità assoluta e relativa

MEDIA1.647,50 SQM1.141,43 X1800,00 X23.000,00 z 1= =-0,74 Area corrispondente=0,2704%= area a sinistra di -0,74 = 0,5 - 0,2714=0,2296 Z2=Z2=1,18 Area corrispondente=0,3810% = 0,3810+0,50=0, , , , ,18 Determinare la percentuale di aziende con un fatturato superiore a 800 milioni e quella inferiore a 3 miliardi annui. -∞+∞ Utilizzo la tavola che attraverso la funzione di densità, indica l’area sottesa alla curva compresa fra 0 e z. Prendo quindi in considerazione solo metà della figura che avrà, di conseguenza, un’area pari ad ½. -∞+∞ x z x z area cercata Area da sottrarre area cercata Area da aggiungere Area corrispondente a z su tavola

XiYiXi*YiX²X² Y²Y² 16036, , , , , , , , , , ,0044, , , , , , , , , , , ,00265, , , , , , , ,00484, , , , , , , , , , , , ,70 Var x =M(X)² -(Mx)²22.183,44 Var y =M(Y)² -(My)²1.316,23 Cov (xy) =M(XY) - MxMy4.841,53 bxy =Cov (xy) =0,2182 Var x axy =My - bxyMx-5,13 byx =Cov (xy) =3,68 Var y ayx =My - Mxbyx-920,67 R ² = 0, r 0,90 Data la seguente tabella determinare 1.I parametri delle rette di regressione 2.L’indice di determinazione lineare 3.Il coefficiente di correlazione lineare Esercizio: la regressione

% dei casi minori di 90 Z ,77area0,4616 % a sinistra di - 1,77 è uguale a 0,5- 0,46160,04 5,66 % dei casi minori di 125 Z ,65area0,4960 % a sinistra di -2,65 è uguale a 0,5-0,49600, ,66 % dei casi compresi tra 125 e 155 Z ,65area0,4960 % compresa tra 125 e 155 è uguale a 0,4960+0,49600,99 5,66 Determinare la percentuale dei casi di un fenomeno distribuito normalmente con µ= 140 e σ 2 =32 Esercizio: applicazioni della curva normale x z 0(x-μ)/σ=-1,77 +∞-∞ area cercata +∞-∞ 140 x z 0 (x-μ)/σ=-2,65 +∞-∞ x z 0 (x-μ)/σ=2,65 +∞-∞ (x-μ)/σ=-2, area cercata