La distribuzione binomiale Detta anche di Bernoulli o delle prove ripetute (seguirà anche la presentazione della distribuzione di Poisson o dei casi rari)

La variabile aleatoria x è discreta Considerando n prove ripetute il cui esito può verificare una proposizione (evento) con una probabilità p, allora la probabilità P n (x) che si verifichi x volte l’evento è data da: Essendo q = 1 – p la probabilità contraria al verificarsi dell’evento.

Come si dimostra Nell’ipotesi che le prove siano indipendenti, cioè che il verificarsi dell’evento E non modifichi la probabilità con cui può verificarsi nella prova successiva,allora: L’evento composto “E si è verificato x volte e (quindi) non si è verificato (n – x) volte” ha probabilità data dalla somma di tutte le probabilità in cui si possono combinare le n prove negli x successi o, che è lo stesso, in cui si possono combinare le n prove negli (n – x) insuccessi.

Qualche spiegazione in più … Calcolo della probabilità che nelle n ripetizioni l’evento E (che ha probabilità p di verificarsi) si sia verificato nelle prime x ripetizioni: P(E  E  …  E  E  E  …  E) = x volte(n – x) volte = p  p  …  p  q  q  …  q = p x  q n-x x volte (n – x) volte

La probabilità che l’evento E si sia verificato x volte indipendentemente dall’ordine: Tuttavia nelle permutazioni degli n esiti ci sono anche le x! permutazioni e le (n-x)! permutazioni in ogni combinazione:E  E  E  E  E  E  Ela combinazione non cambia se permuto le E o le  E Ecco perché:

Un esempio con n = 20, p = 1/6

Il valore medio di una variabile binomiale è n  p (= ) Dimostrazione: Posto k = x – 1  x = k + 1, la somma diventa:

Riassumendo: Si ha che: Ovvero: Quindi:

La varianza di una variabile binomiale è n  p  q Dimostrazione:

continuazione Quindi:

infine Quindi:

Il massimo di probabilità si ha in x = int[p(n+1)] Valutiamo la differenza di probabilità tra due valori successivi x e x + 1 : dP = P n (x+1) – P n (x) = Raccogliendo a fattor comune:

continuazione Ricordando che q = 1 – p e che p + q = 1 : La differenza P n (x+1) – P n (x) risulta maggiore di zero finché risulta:x < p(n+1) – 1 Quindi per x = int[p(n+1)] la probabilità è massima

Nel caso in cui n  p  10 e n > 50 La distribuzione di Bernoulli è approssimata molto bene dalla distribuzione di Poisson: In cui con si è indicato il valor medio N.B.: n > 50 e n  p  10 sono condizioni che approssimano le ipotesi n   e p  0 da cui la distribuzione di Bernoulli diviene quella di Poisson

Il caso n = 100, p = 1/6 è così così

Il caso n = 100, p = 1/20 va meglio

Dimostrazione Sostituendo p = /n alla distribuzione P n (x) : Nel limite n   (  p  0 ma con n  p = ) Si ottiene proprio la distribuzione di Poisson.

La distribuzione di Poisson è detta anche dei casi rari Esempi: Probabilità che una squadra in un campionato faccia x goal per partita Probabilità che un nucleo radioattivo decada in un secondo

Il valore medio della variabile di Poisson è Dimostrazione: Effettuando la sostituzione k = x – 1  x = k + 1

La varianza della variabile di Poisson è sempre Dimostrazione: Con la solita sostiutzione k = x – 1 …

K = x – 1  x = k + 1 si ottiene:

Il massimo di probabilità si ha in k = int[ -1] Valutiamo la differenza di probabilità tra due valori successivi x e x + 1 : dP = P(x+1) – P(x) = La differenza P(x+1) – P(x) risulta maggiore di zero finché risulta:x < – 1 Quindi per x = int[ – 1] la probabilità è massima

L’esempio dei goal

L’istogramma

L’esempio del decadimento radioattivo Dalla legge dedotta sperimentalmente: dN = –  N  dt si è ricavata la legge: N = N 0  e – t Ove N 0 è il numero di nuclei radioattivi presenti all’istante iniziale (t = 0) La probabilità che uno degli N 0 nuclei decada tra t e t + dt è:

Per t = 1 e dt = 1 si ha: P(un decadimento tra 1 e 2 secondi) =  e - Che corrisponde alla probabilità di un caso raro con valore medio