I sistemi di equazioni di I grado

Un sistema di equazioni DEFINIZIONE Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni, tutte nelle stesse incognite,di cui cerchiamo soluzioni comuni L’insieme delle soluzioni di un sistema è formato da quei valori delle incognite che soddisfano tutte le equazioni che compongono il sistema.

Risolvere un sistema di equazioni vuol dire perciò trovare tutte le soluzioni che verificano tutte le equazioni che formano il sistema: Dobbiamo trovare quei valori di x e y che sono soluzioni di tutte le equazioni

Consideriamo sistemi in cui tutte le equazioni sono di primo grado, tali sistemi sono detti sistemi lineari

Interpretazione grafica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite Consideriamo il sistema: y = 2x - 5 y = -x + 1

Interpretazione grafica Risolvere graficamente un tale sistema significa trovare il punto di intersezione tra le due rette che rappresentano le equazioni date

Tracciamo le due rette che rappresentano graficamente le equazioni: y = 2x – 5 e y = -x + 5 Y=2x-5 y=-x+1 Il sistema ha una sola soluzione, poiché le rette si intersecano in un sol punto di coordinate (2 ; -1) X Y

Tracciamo le due rette che rappresentano graficamente le equazioni y = 2x – 5 e y = -x + 1, calcolandone alcune soluzioni. Poiché per due punti passa una ed una sola retta, è sufficiente considerare due valori di x e i corrispondenti valori di y. Abbiamo considerato per la prima retta i valori: x = 0 => y = -5 x = 1 => y = -3 Per la seconda retta x = 0 => y = 1 x = 1 => y = 0 Non è sempre possibile determinare graficamente la soluzione di un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite. Possono esserci, infatti, imprecisioni nel disegno, oppure le coordinate del punto di intersezione potrebbero non essere individuabili esattamente.

Una soluzione (x ; y); Nessuna soluzione; il sistema è impossibile; Infinite soluzioni; il sistema è indeterminato Quante soluzioni ha un sistema? Un sistema può avere:

Una soluzione quanto le rette che rappresentano le equazioni del sistema sono incidenti 1 punto in comune Il sistema ha Una sola soluzione (x ; y)

Un sistema con un numero finito e non nullo di soluzioni è anche detto sistema determinato. Un sistema lineare con una sola soluzione è quindi determinato. Non si deve confondere il caso di sistema non determinato con quello di sistema indeterminato. Un sistema non determinato può essere indeterminato o impossibile.

In generale si possono presentare tre diversi casi. Due rette nel piano possono, infatti, avere tre reciproche posizioni: Rette incidenti => un punto in comune; Rette parallele distinte => nessun punto in comune; Rette parallele coincidenti => infiniti punti in comune. Corrispondentemente, poiché ogni equazione di primo grado in due incognite è rappresentata da una retta, un sistema di due equazioni di questo tipo può avere: Una soluzione (x ; y); Nessuna soluzione; il sistema è impossibile; Infinite soluzioni; il sistema è indeterminato

Nessuna soluzione se le rette che rappresentano le equazioni del sistema sono parallele e distinte Nessun punto in comune Il sistema Non ha soluzione; Il sistema è IMPOSSIBILE

Infinite soluzioni se le rette sono parallele e coincidenti Infiniti punti in comune Il sistema ha Infinite soluzioni; Il sistema è INDETERMINATO

yx r yx s

Metodi algebrici per risolvere un sistema lineare Metodo di sostituzione Metodo del confronto Metodo di riduzione o di eliminazione Metodo di Cramer

Metodo di sostituzione Una volta calcolato il valore di y lo sostituiremo di nuovo nell’equazione esplicitata in x Troviamo così la soluzione del sistema Si riduce il sistema a forma normale Si risolve una delle due equazioni rispetto ad un incognita, nell’esempio la seconda delle equazioni è stata risolta rispetto la x Si sostituisce nell’altra equazione il valore della x trovato, calcoliamo il valore della y; Illustriamolo tramite un esempio:

Il metodo di sostituzione : altro esempio Ridurre in forma normale; Risolvere rispetto ad una delle incognite, ad esempio x, una equazione Sostituire nell’altra equazione la soluzione trovata (-2y+4); risolvere rispetto all’incognita y Infine, sostituire l’ultima soluzione nell’altra equazione. Soluzione: (-2, 3)

RISOLUZIONE GRAFICA yx s yx r Soluzione (-2, 3) x y r s

Sistema Impossibile

RISOLUZIONE GRAFICA (Sistema impossibile) 05/8 -5/60 yx r yx r

Sistema Indeterminato 010/3 -50 yx r =s

RISOLUZIONE GRAFICA 03/5 3/20 yx r 08/5 -80 yx s

RISOLUZIONE GRAFICA yx r yx s

RISOLUZIONE GRAFICA 04/3 20 yx r 01/3 -1/40 yx s