1 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Introduzione Un fluido a T 0 entra in un tubo di lunghezza L mantenuto a T 1 L T1T1 T0T0 z r Sistema di equazioni (Navier-Stokes + energia) Le variabili v e T compaiono in entrambe e quindi le equazioni sono concatenate. Ipotesi: ρ e μ variano poco con T (equazione di NS risolvibile senza bilancio di energia)

2 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Eq. del moto e di energia Il profilo di v è: In condizioni stazionarie L’eq. dell’energia Br << 1 Adimensionalizzando

3 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Eq. del moto e di energia Adimensionalizzando moltiplicando e dividendo per Velocità out-in energia per convezione Velocità out-in energia per conduzione Velocità out-in energia per convezione lungo z Velocità out-in energia per conduzione lungo z Velocità out-in energia per conduzione lungo R

4 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Eq. del moto e di energia Se Pe >>1 Si trascura la conduzione lungo z rispetto alla convezione lungo z Se trascurassimo anche la conduzione lungo R avremmo T=T(z) ossia T costante lungo z

5 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Eq. del moto e di energia Introducendo il profilo parabolico di v B.C. NO B.C. per z=L L’equazione è quindi Si ha N.B. La semplificazione effettuata ha ridotto il numero di BC da imporre

6 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Adimensionalizzazione ponendo Variabili adimensionali L’equazione

7 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Adimensionalizzazione Significato fisico Tempo di permanenza Tempo caratteristico per la conduzione per penetrare fino a R Gz >> 1 t d >> t p lo scambio termico è limitato a uno strato vicino alla parete Gz = numero di Graetz

8 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Adimensionalizzazione Gz = numero di Graetz

9 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Soluzione per Gz >> 1: tubi corti L T1T1 T0T0 z r T0T0 r T1T1 T Si può quindi trascurare la curvatura e scrivere l’equazione in coordinate cartesiane T0T0 T1T1 T y Tempo necessario al processo di conduzione per penetrare fino a R Tempo di permanenza Se Gz >> 1 il fluido non permane un tempo sufficiente nel tubo e il fenomeno di scambio termico avviene solo per r ≈ R

10 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Soluzione per Gz >> 1: tubi corti L T1T1 T0T0 z r T0T0 r T1T1 T Il nuovo sistema di coordinate è T0T0 T1T1 T y R y =R-r r y asse cilindro

11 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Soluzione per Gz >> 1: tubi corti Profilo di v nelle nuove coordinate y =R-rr =R-y Per cui l’equazione diventa Se Gz >> 1 la T cambia solo in uno spessore molto vicino alla parete per cui è possibile linearizzare il profilo di v

12 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Soluzione per Gz >> 1: tubi corti adimensionalizzando Introducendo il profilo di v Nella equazione dell’energia

13 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Soluzione per Gz >> 1: tubi corti B.C. La ultima condizione può essere sostituita da La soluzione porta al profilo di temperatura e soprattutto al calcolo di h Valida per Gz > 50 In questo modo la prima e la terza condizione possono essere combinate in una sola condizione attraverso il metodo di combinazione delle variabili

14 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore in tubi moto laminare Soluzione per tubi lunghi ΔT1ΔT1 z rΔT2ΔT2 Immaginiamo che dopo un breve tratto il trasporto di calore per conduzione sia arrivato al centro e quindi in tutto il tubo il profilo sia ben sviluppato. Ipotizziamo di considerare due sezioni a cui sia ΔT 1 il doppio di ΔT 2 Poiché ΔT 1 = 2 ΔT 2 sarà anche e quindi h indipendente da z. Infatti per Gz < 5 Nu  3.9

15 Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti T variabile alla parete - Definizione di h,  T e A Q = h  DL  T T b1 T 01 T b2 T 02 T 0 = T della parete T b = T media di corrente del fluido L

16 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti - T media di corrente (cup-mixing) v costante A=  R 2 r dr dA=2  rdr v e T costanti in dA R Q = portata volumetrica v=v(r) T=T(r) T cup-mixing

17 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti (tubi):  T ln Bilancio differenziale su un tratto dz T b1 T0T0 T b2 T0T0 L Ipotesi semplificativa T 0 =costante Bilancio globale Uguagliando 1 e 2 Integrando se h loc = costante In genere se T 01  T 02

18 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti E’ conveniente utilizzare h ln perché dipende meno degli altri dal rapporto L/D Nell’utilizzare i valori del coefficiente di trasmissione termica riportati in letteratura è necessario fare attenzione alla definizione del coefficiente La sezione del condotto potrebbe essere di diverse geometrie (circolare, quadrata, rettangolare …). La dimensione caratteristica (nel numero di Nusselt) è L = 4 (Sezione/perimetro bagnato) In caso di sezione circolare risulta

19 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti - Analisi dimensionale Assumendo che le proprietà del fluido rimangano costanti l’analisi dimensionale dell’eq. di bilancio di energia per un fluido che si muove in un condotto ci fornisce come risultato

20 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti - Calcolo di h o Q Condizioni fluidodinamiche Moto laminare (Re < 2100)  di scarso interesse Zona di transizione (2100 < Re < 10000)  male interpretata Moto turbolento (Re > 10000)  di interesse Strumenti di calcolo Correlazioni semi empiriche Analogia di Reynolds - Analogia di Colburn

21 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti - Correlazioni Per moto altamente turbolento Re b > 2  10 4 Bird eq G=  u velocità di massa Per Re > 10 4 Perry eq. 5-50a N.B. Le proprietà del fluido sono valutate - alla media della T media di corrente T b =(T b1 +T b2 )/2 (ad es. k b ) - alla T media di parete (T 01 +T 02 )/2 (esempio  0 ) correzione di Sieder-Tate che tiene conto della variazione di  con T in genere poco rilevante

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23 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata in condotti - Correlazioni Per valori elevati di Re Middleman eq St = numero di Stanton Valida per 3 x10 3 < Re < < Pr < 59

24 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Convezione forzata oggetti sommersi e condotti – valutazione delle proprietà del fluido Oggetti sommersi: in genere le proprietà del fluido vengono valutate a T film Moto in condotti : Esistono diverse T di riferimento T b = temperatura del fluido e T 0 = temperatura della sup solida entrambe in genere variabili tra in e out Le correlazioni dovrebbero specificare a quale T le proprietà vanno valutate In genere le proprietà del fluido sono valutate alla media della T media di corrente