1 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione dell’energia termica Velocità di accumulo dell’energia interna per unità di volume Velocità di IN- OUT per conduzione dell’energia interna per unità di volume Velocità reversibile di aumento dell’energia interna per unità di volume per effetto della compressione Velocità irreversibile di aumento dell’energia interna per unità di volume per effetto della dissipazione viscosa Vogliamo scrivere l’equazione dell’energia termica in funzione della temperatura

2 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Eq. energia termica in funzione di T Esprimiamo l’Energia interna per unità di massa in termini di Entalpia per u.m. Dall’eq. di continuità Quindi Si ottiene quindi la seguente espressione della energia interna in termini di entalpia

3 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Eq. energia termica in funzione di T L’equazione energia termica Abbiamo trovato Quindi si ottiene Bisogna ora esprimere la dipendenza di H dalla temperatura Abbiamo espresso la equazione dell’energia in termini di Entalpia Uguagliando

4 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Eq. energia termica in funzione di T sostituiamo essendo

5 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Eq. energia termica in funzione di T abbiamo trovato uguagliando Questa è la equazione di variazione della temperatura

6 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di variazione della temperatura per gas ideali GAS IDEALE Dalla eq. di stato dei gas

7 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di variazione della temperatura per gas ideali GAS IDEALE Essendo quindi Ipotesi: 1)Dissipazione viscosa trascurabile 2)Flusso conduttivo da legge di Fourier La relazione tra i calori specifici è Ed utilizzando la eq. di continuità si ha e la legge di stato dei gas

8 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Forme semplificate eq. energia termica FLUIDO A P COSTANTE FLUIDO CON ρ costante Dissipazione viscosa trascurabile Flusso conduttivo da legge di Fourier Dissipazione viscosa trascurabile Flusso conduttivo da legge di Fourier

9 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Forme semplificate eq. energia termica SOLIDO (ρ=costante e v=0) Flusso conduttivo da legge di Fourier

10 Riepilogo delle forme dell’equazione energia termica - Riferimento lagrangiano

11 Riepilogo delle forme dell’equazione energia termica - Riferimento fisso

12 Soluzione dei problemi con scambio di energia La soluzione in genere richiede la soluzione delle equazioni di Continuità Bilancio di quantità di moto Bilancio di energia Le equazioni non possono essere risolte indipendentemente  e  dipendono da T nella equazione dell’energia compare la velocità l’eq. del moto non può essere risolta se non è risolta quella dell’energia l’eq. dell’energia non può essere risolta se non è risolta quella del moto

13 Soluzione dei problemi con scambio di energia Una notevole semplificazione si ha se si può assumere 1.Si risolve l’eq. del moto (si valuta la variazione spaziale e/o temporale della velocità)  e  costanti con T 2.Si risolve l’eq. dell’energia

14 Cella convettiva in casi di lastra verticale a Ts immersa in un fluido a T  (Ts  T  ) Ts TT Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Convezione naturale Il trasporto di calore per convezione naturale si realizza quando una superficie solida è a contatto con un fluido a T diversa. A causa della differenza di T il calore va dal corpo al fluido o viceversa e determina una variazione di densità del fluido in prossimità della superficie di contatto. La differenza di densità fa muovere la porzione di fluido meno densa verso l’alto e quella più densa verso il basso. Questo movimento rende il meccanismo di trasporto di calore più efficiente (rispetto a quello che si avrebbe con il fluido fermo) e si chiama convezione naturale. Esempio T s > T 

15 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione del moto in sistemi non isotermi L’equazione del moto ricavata per sistemi isotermi vale anche per sistemi non isotermi purchè si tenga conto che ρ e μ dipendono da T e P. La variazione di  è particolarmente importante in quanto determina le forze di galleggiamento e il meccanismo della convezione naturale densità espressa mediante espansione in serie di Taylor Se le variazioni di T e di densità sono modeste la serie di Taylor si può fermare al primo termine Approssimazione di Boussinesq di riferimento (T media)

16 Coefficiente di espansione termica Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Convezione naturale Si introduce  = coefficiente di espansione termica [1/K] quindi L’equazione del moto diventa Eq. di Boussinesq = forza di galleggiamento

17 Equazione del moto sistemi non isotermi Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Convezione naturale E’ particolarmente utile sia per lo studio di convezione forzata che naturale Convezione forzata si trascura il termine delle forze di galleggiamento Eq. di Boussinesq Si può assumere in molti casianche nel termine inerziale

18 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione del moto: convezione naturale Se tutto il sistema fosse alla T media e fosse inquiete la eq. del moto sarebbe quella della idrostatica Se il moto è lento questa stessa eq. si può considerare valida anche in presenza di gradienti di T Inoltre, per moti lenti si può assumere nel termine inerziale a sinistra dell’equazione del moto Quindi l’eq. di Boussinesq diventa

19 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione del moto sistemi non isotermi fluidi newtoniani Eq. di Boussinesq Convezione naturale Convezione forzata