Capacità elettrica Condensatori

Il condensatore è il sistema più semplice per avere un campo elettrico costante e poter immagazzinare energia elettrostatica. Consideriamo due piani metallici separati da un isolante. La relazione che lega le grandezze coinvolte in un condensatore è q = CV  C = q/V [1F = C/V] 1farad = coulomb/ volt ovvero la carica q e il potenziale V sono proporzionali, e la proporzionalità è la capacità C del condensatore. Il processo di carica termina quando i morsetti della batteria e i piani del condensatore sono uguali Simbolo del condensatore

Energia di un condensatore + _ Per caricare condensatore piano dovremo fornire delle cariche ai due piatti. Man mano che i piatti si caricano le nuove cariche dovranno vincere sempre più forza repulsiva dovuta alla presenza delle cariche precedenti. Il Lavoro necessario a vincere la forza repulsiva è fornito dalla energia chimica di una batteria e si immagazzinerà nel condensatore sotto forma di energia potenziale elettrica U. In un certo istante sia q’ la carica accumulata dal condensatore ed il suo potenziale sarà V’ = q’/C. L’incremento di una successiva quantità di carica dq’ richiederà un lavoro dL = V’dq’ = (1/C)q’dq’ Questo lavoro viene immagazzinato come energia potenziale fra le piastre del condensatore U = ½ CV 2

Calcolo della capacità elettrica Supponiamo di conoscere la carica q addensata sulle facce di un condensatore Calcoliamo il campo E tramite il teorema di Gauss Calcoliamo il potenziale utilizzando V f –V i = - ∫E. ds Quindi si calcola C dalla C = q/V +q -q Per il teorema di Gauss Per il calcolo del potenziale C =  0 A/d La capacità dipende solo da fattori geometrici: Dalla costante dielettrica   = 8,85 pF/m Dalla superficie A Dalla distanza fra i piani d

Densità di energia In un condensatore piano senza effetti ai bordi, il campo elettrico è uniforme in tutti i punti fra interni al condensatore. La densità di energia U sarà il rapporto fra l’energia potenziale ed il volume fra le armature del condensatore. In qualunque punto dello spazio dove ci sia un campo elettrico E la sua densità di energia è data da U = ½   E 2

Capacità equivalenti A seconda di come più condensatori vengono collegati insieme si può ottenere una capacità equivalente. Più condensatori sono collegati in parallelo quando ciascun condensatore è soggetto alla stessa differenza di potenziale. La carica totale è la somma delle cariche di ciascun condensatore Più condensatori sono collegati in serie quando condividono la stessa carica. Il potenziale applicato si suddivide a seconda del valore della capacità di ciascun condensatore. La capacità equivalente è dato da:

Dielettrici (1) A seconda di quale isolante è interposto fra le armature la capacità di un condensatore cambia valore. La presenza di un dielettrico comporta l’esistenza di una tensione massima sopportabile. Quando si supera quel valore, la tensione disruptiva, si avrà una scarica elettrica che buca il dielettrico. Sappiamo che C =   A/d. Faraday dimostrò che c’è una sensibile differenza fra la capacità di un condensatore in vuoto e dello stesso condensatore con un dielettrico C =  r C 0 In presenza di un dielettrico la costante   va sostituita con il prodotto    r. La presenza di un dielettrico aumenta la quantità di carica di un fattore  r Se si ha un condensatore senza dielettrico e successivamente si inserisce un dielettrico  r allora il potenziale si riduce di  r

Dielettrici (2) Se in una regione c’è un dielettrico, tutte le formule in cui compare    devono essere modificate inserendo    r Si vede che al crescere di  r il campo elettrico interno al condensatore si attenua Se si mantiene la tensione applicata ai capi del condesatore il dielettrico ha l’effetto di aumentare la carica delle piastre. Se un condensatore carico è collegato con un elettrometro l’effetto del dielettrico è diminuire il potenziale tra i piatti

Effetti molecolari nei dielettrici Dielettrici con dipolo permanente: in questo caso le molecole polari tendono ad allinearsi con il campo, ma l’agitazione termica inibisce questo processo ed il campo che si oppone è minore del campo del condensatore. Se si aumenta il campo l’allineamento aumenta. Se il dielettrico è inizialmente neutro la presenza del campo sposta il baricentro delle cariche positive da quello delle cariche negative. Si crea un campo elettrico opposto a quello delle piastre è la somma vettoriale è il campo risultante. Entrambi i dielettrici considerati riducono il campo e aumentano la capacità poichè la carica rimane costante C = q/V

Teorema Gauss nei dielettrici Se il condensatore non ha dielettrico il teorema di Gauss ci dice che il campo elettrico è dato da:  E 0 = q/   A Inserendo il dielettrico ed utilizzando la stessa superficie Gaussiana avremo che la carica racchiusa è data da q – q’ e quindi: Il dielettrico agisce inibendo il campo è quindi