Matematica Finanziaria arch.Francesca Torrieri

Introduzione  La matematica finanziaria si occupa dello studio delle operazioni finanziarie. Essa è indispensabile per risolvere determinati problemi economici ed estimativi. Fornisce gli strumenti necessari per confrontare prestazioni finanziarie riferite a momenti temporali diversi.  Il calcolo finanziario consiste nel sommare, sottrarre o, comunque confrontare importi monetari riferiti ad epoche diverse. A tal fine occorre prima “trasferire” tutti gli importi ad uno stesso momento temporale attraverso opportune formule finanziarie  La matematica finanziaria si occupa dello studio delle operazioni finanziarie. Essa è indispensabile per risolvere determinati problemi economici ed estimativi. Fornisce gli strumenti necessari per confrontare prestazioni finanziarie riferite a momenti temporali diversi.  Il calcolo finanziario consiste nel sommare, sottrarre o, comunque confrontare importi monetari riferiti ad epoche diverse. A tal fine occorre prima “trasferire” tutti gli importi ad uno stesso momento temporale attraverso opportune formule finanziarie

Operazioni finanziarie  Si definisce operazione finanziaria una determinata operazione che preveda lo scambio di prestazioni finanziarie riferite ad epoche diverse.  Si definiscono prestazioni e controprestazioni finanziarie rispettivamente gli scambi finanziari da uno o più soggetti verso altri  Le operazioni finanziarie possono essere:  “Semplici”: quando ad una sola prestazione corrisponde un’unica controprestazione  “Complesse”: quando avviene uno scambio tra una prestazione e più controprestazioni o viceversa.  Si definisce operazione finanziaria una determinata operazione che preveda lo scambio di prestazioni finanziarie riferite ad epoche diverse.  Si definiscono prestazioni e controprestazioni finanziarie rispettivamente gli scambi finanziari da uno o più soggetti verso altri  Le operazioni finanziarie possono essere:  “Semplici”: quando ad una sola prestazione corrisponde un’unica controprestazione  “Complesse”: quando avviene uno scambio tra una prestazione e più controprestazioni o viceversa.

Esempio  Un operazione finanziaria si configura ad esempio quando una persona o un’impresa chiede un prestito per un certo periodo di tempo. Colui che da il prestito si chiama mutuante, colui che riceve il prestito si dice mutuatario, la somma data in prestito di dice capitale.  Nella norma il mutuante richiede un compenso che si chiama interesse.  La somma del capitale (C) e dell’interesse (I) si dice montante (M).  Un operazione finanziaria si configura ad esempio quando una persona o un’impresa chiede un prestito per un certo periodo di tempo. Colui che da il prestito si chiama mutuante, colui che riceve il prestito si dice mutuatario, la somma data in prestito di dice capitale.  Nella norma il mutuante richiede un compenso che si chiama interesse.  La somma del capitale (C) e dell’interesse (I) si dice montante (M).

Interesse, sconto e montante  L’interesse (I) si definisce come prezzo d’uso del capitale monetario (C,) ovvero rappresenta il compenso spettante al soggetto che “presta” un capitale monetario per un periodo di tempo.  La somma algebrica del capitale (C ) più gli interessi (I) viene definito come montante  L’interesse (I) si definisce come prezzo d’uso del capitale monetario (C,) ovvero rappresenta il compenso spettante al soggetto che “presta” un capitale monetario per un periodo di tempo.  La somma algebrica del capitale (C ) più gli interessi (I) viene definito come montante T0T0 T1T1 CM + I =

Il saggio di interesse  Il “saggio di interesse” (i) è l’interesse maturato per unità di capitale e per unità di tempo. Può essere espresso sia in termini percentuali (es: 3%), sia in termini unitari (0,03).  I principali fattori che influenzano il saggio di interesse sono: il mercato dei capitali, il rischio derivante dal tipo di investimento, la credibilità del creditore e la durata dell’investimento  Il “saggio di interesse” (i) è l’interesse maturato per unità di capitale e per unità di tempo. Può essere espresso sia in termini percentuali (es: 3%), sia in termini unitari (0,03).  I principali fattori che influenzano il saggio di interesse sono: il mercato dei capitali, il rischio derivante dal tipo di investimento, la credibilità del creditore e la durata dell’investimento

Interesse semplice  L’interesse è direttamente proporzionale al capitale ed al tempo. Pertanto se i è il saggio di interesse, l’interesse maturato su un capitale C per il periodo di un anno risulta I= C * i  In generale per un periodo di tempo t (anni, mesi o giorni) I= C * i * t  Montante ad interesse semplice M = C+I M = C+ (C * i * t) M = C (1+ i * t)  L’interesse è direttamente proporzionale al capitale ed al tempo. Pertanto se i è il saggio di interesse, l’interesse maturato su un capitale C per il periodo di un anno risulta I= C * i  In generale per un periodo di tempo t (anni, mesi o giorni) I= C * i * t  Montante ad interesse semplice M = C+I M = C+ (C * i * t) M = C (1+ i * t)

Interesse composto  Nel caso dell’interesse composto gli interessi che maturano entro un determinato periodo di tempo t (nella norma pari ad 1 anno, ma può essere anche frazionato), si sommano al capitale iniziale e maturano nuovi interessi. M 1 = C(1+i) M 2 =M 1 (1+i)= C(1+i) * (1+i)= C(1+i) 2 ……. M n = C(1+i) n (1+i) n = q n  Nel caso dell’interesse composto gli interessi che maturano entro un determinato periodo di tempo t (nella norma pari ad 1 anno, ma può essere anche frazionato), si sommano al capitale iniziale e maturano nuovi interessi. M 1 = C(1+i) M 2 =M 1 (1+i)= C(1+i) * (1+i)= C(1+i) 2 ……. M n = C(1+i) n (1+i) n = q n Binomio di interesse

Esempio (1)  Si determini il montante ad interesse composto di un capitale di € investito in titoli obbligazionari per un periodo di 4 anni ad un saggio di interesse del 3%. M= C * q n = * (1+0,03) 4 = ,06 Calcolando il montante ad interesse semplice M= C (1+it)= * (1+0,03 * 4)=  Si determini il montante ad interesse composto di un capitale di € investito in titoli obbligazionari per un periodo di 4 anni ad un saggio di interesse del 3%. M= C * q n = * (1+0,03) 4 = ,06 Calcolando il montante ad interesse semplice M= C (1+it)= * (1+0,03 * 4)=

Esempio (2)  Si determini l’interesse composto che maturerebbe su un capitale di € investito in certificati di deposito bancario per un periodo di 3 anni al saggio di interesse del 1,75%  I = M-C= (C (1+i) n -C)  = C(1+i) n -1 I = C(q n -1) = € [(1,0175) 3 -1)]= €1.335,60  Si determini l’interesse composto che maturerebbe su un capitale di € investito in certificati di deposito bancario per un periodo di 3 anni al saggio di interesse del 1,75%  I = M-C= (C (1+i) n -C)  = C(1+i) n -1 I = C(q n -1) = € [(1,0175) 3 -1)]= €1.335,60

Montante per tempi non interi  In alcuni casi il montante va calcolato per un periodo di tempo non intero.  Si voglia ad esempio calcolare il montante ad interesse composto per un capitale di € investiti al saggio del 3% per un periodo di 2 anni e 3 mesi  Si determina dapprima il montante dopo 2 anni M= C * q n = € * (1+0,03) 2 = €  Poi si calcola l’interesse per 3 mesi I= C (q n -1) = € [(1.03) 3/12 -1)]= €148,34 € €148,34= €21.366,34  In alcuni casi il montante va calcolato per un periodo di tempo non intero.  Si voglia ad esempio calcolare il montante ad interesse composto per un capitale di € investiti al saggio del 3% per un periodo di 2 anni e 3 mesi  Si determina dapprima il montante dopo 2 anni M= C * q n = € * (1+0,03) 2 = €  Poi si calcola l’interesse per 3 mesi I= C (q n -1) = € [(1.03) 3/12 -1)]= €148,34 € €148,34= €21.366,34

Lo sconto  Lo sconto è definito come il compenso che spetta al soggetto che anticipa un pagamento prima della data di scadenza. Non vi è sostanziale differenza tra l’interesse e lo sconto in quanto entrambe rappresentano il prezzo d’uso del capitale.  Si differenziano solo per la modalità di tipo finanziario con cui si applicano al capitale; mentre l’interesse si somma ad un capitale, lo sconto si detrae da capitale C i = Cf - S S = Cf - C i dove Cf = importo del credito S = sconto Ci = valore attuale o somma scontata  Lo sconto è definito come il compenso che spetta al soggetto che anticipa un pagamento prima della data di scadenza. Non vi è sostanziale differenza tra l’interesse e lo sconto in quanto entrambe rappresentano il prezzo d’uso del capitale.  Si differenziano solo per la modalità di tipo finanziario con cui si applicano al capitale; mentre l’interesse si somma ad un capitale, lo sconto si detrae da capitale C i = Cf - S S = Cf - C i dove Cf = importo del credito S = sconto Ci = valore attuale o somma scontata

Sconto semplice razionale  Lo sconto è di tipo razionale quando è calcolato come interesse semplice sulla somma scontata. M= C (1+i * t) La somma scontata o valore attuale C = M/ (1+i * t) 1/ (1+i * t) S= M-C= M- M/ (1+i * t)= [M * i * t/ (1+i * t)]  Lo sconto è di tipo razionale quando è calcolato come interesse semplice sulla somma scontata. M= C (1+i * t) La somma scontata o valore attuale C = M/ (1+i * t) 1/ (1+i * t) S= M-C= M- M/ (1+i * t)= [M * i * t/ (1+i * t)] Fattore di sconto razionale

Esempio  Un istituto bancario vanta un credito nei confronti di un imprenditore di € da restituire tra 4 mesi ad un saggio di interesse del 6%. Si determini quanto l’imprenditore deve corrispondere all’istituto bancario nel caso in cui voglia estinguere subito il suo debito. S = [€ * (0,06* 4/12 )/(1+0,06*4/12)] Ci = Cf-S= € €4.897,15=€ ,85  Un istituto bancario vanta un credito nei confronti di un imprenditore di € da restituire tra 4 mesi ad un saggio di interesse del 6%. Si determini quanto l’imprenditore deve corrispondere all’istituto bancario nel caso in cui voglia estinguere subito il suo debito. S = [€ * (0,06* 4/12 )/(1+0,06*4/12)] Ci = Cf-S= € €4.897,15=€ ,85

Sconto composto  E’ calcolato come interesse composto sulla somma scontata Cf = Ci (1+i) n Ci = Cf / (1+i) n S= M-C = M-M/ (1+i) n = M [1-1/(1+i) n  E’ calcolato come interesse composto sulla somma scontata Cf = Ci (1+i) n Ci = Cf / (1+i) n S= M-C = M-M/ (1+i) n = M [1-1/(1+i) n

Esempio  Un istituto bancario vanta un credito nei confronti di un imprenditore di € da restituire fra 2 anni ad un saggio d’interesse del 7%. Si determini quanto l’imprenditore deve corrispondere all’istituto bancario nel caso in cui voglia estinguere subito il proprio debito. S = € * [1-1/(1+0,07) 2 ] =€31.640,32 Ci= € €31.640,32= ,68  Un istituto bancario vanta un credito nei confronti di un imprenditore di € da restituire fra 2 anni ad un saggio d’interesse del 7%. Si determini quanto l’imprenditore deve corrispondere all’istituto bancario nel caso in cui voglia estinguere subito il proprio debito. S = € * [1-1/(1+0,07) 2 ] =€31.640,32 Ci= € €31.640,32= ,68

Le rendite  Si definisce rendita una successione di somme (rate) riscotibili o versabili in periodo differenti. In generale il valore di una rendita in un determinato momento è calcolabile come somma dei montanti o dei valori scontati riportati all’istante prefissato, delle diverse rate che caratterizzano la rendita V0= R1*1/q2+R2*1/q4+R3*1/q6 +R4*1/q8 V10= R1*q8+R2*q6+R3*q4 +R4*q2  Si definisce rendita una successione di somme (rate) riscotibili o versabili in periodo differenti. In generale il valore di una rendita in un determinato momento è calcolabile come somma dei montanti o dei valori scontati riportati all’istante prefissato, delle diverse rate che caratterizzano la rendita V0= R1*1/q2+R2*1/q4+R3*1/q6 +R4*1/q8 V10= R1*q8+R2*q6+R3*q4 +R4*q R1R2R3R4

Le rendite  Una rendita si definisce periodica quando le date di scadenza delle rate sono equidistanti tra loro. Gli elementi che contraddistinguono le rendite sono:  il periodo;  la data di decorrenza;  la durata.  In base al periodo le rendite si distinguono in:  frazionate, se il periodo è inferiore ad un anno;  annuali;  poliennali, se il periodo è multiplo dell’anno.  In base alla data di decorrenza le rendite si distinguono in:  anticipate, se la data di riscossione o di pagamento della rata coincide con l’inizio di ciascun periodo;  posticipate, se viceversa la data di decorrenza coincide con la fine di ciascun periodo.  In base alla durata le rendite possono altresì distinguersi in:  limitate o temporanee, ovvero se si manifestano con un limitato numero di rate;  illimitate o perpetue, se contraddistinte da un illimitato numero di rate.  Una rendita si definisce periodica quando le date di scadenza delle rate sono equidistanti tra loro. Gli elementi che contraddistinguono le rendite sono:  il periodo;  la data di decorrenza;  la durata.  In base al periodo le rendite si distinguono in:  frazionate, se il periodo è inferiore ad un anno;  annuali;  poliennali, se il periodo è multiplo dell’anno.  In base alla data di decorrenza le rendite si distinguono in:  anticipate, se la data di riscossione o di pagamento della rata coincide con l’inizio di ciascun periodo;  posticipate, se viceversa la data di decorrenza coincide con la fine di ciascun periodo.  In base alla durata le rendite possono altresì distinguersi in:  limitate o temporanee, ovvero se si manifestano con un limitato numero di rate;  illimitate o perpetue, se contraddistinte da un illimitato numero di rate.

Rendite annue (annualità)  Le rendite annue o annualità sono quelle particolari rendite che si manifestano periodicamente ad intervalli di un anno potendosi peraltro discriminare:  rispetto all’entità: in costanti o variabili;  rispetto alla data di decorrenza: in posticipate o anticipate;  rispetto alla durata: in limitate o illimitate.  I principali problemi che si pongono nelle fattispecie applicative sono connesse alla determinazione di:  Accumulazione finale (A n );  Accumulazione iniziale (A 0 );  Accumulazione intermedia (A m ).  Le rendite annue o annualità sono quelle particolari rendite che si manifestano periodicamente ad intervalli di un anno potendosi peraltro discriminare:  rispetto all’entità: in costanti o variabili;  rispetto alla data di decorrenza: in posticipate o anticipate;  rispetto alla durata: in limitate o illimitate.  I principali problemi che si pongono nelle fattispecie applicative sono connesse alla determinazione di:  Accumulazione finale (A n );  Accumulazione iniziale (A 0 );  Accumulazione intermedia (A m ).

Annualità costanti limitate posticipate

Annualità costanti limitate anticipate

Annualità costanti illimitate posticipate Capitalizzazione dei redditi

Annualità costanti illimitate anticipate  Accumulazione iniziale (A0)

Poliannualità costanti limitate posticipate

Poliannualità costanti illimitate posticipate

Ammortamento

Poliannualità costanti illimitate anticipate