In geometria le figure si concepiscono come rigide, per cui è possibile “muoverle” nello spazio senza che subiscano alcuna deformazione. La traduzione matematica dell’idea di movimento rigido di una figura è una isometria, cioè una corrispondenza biunivoca del piano in sé, che trasforma: segmenti in segmenti rette in rette angoli in angoli L’isometria preserva le misure, il parallelismo, la perpendicolarità; in tali trasformazioni varia invece la “posizione” della figura nello spazio.

Tra tutti i movimenti rigidi delle figure piane quelle che in studieremo sono:

P(4,3) Simmetrico rispetto asse x P(4,-3) cambia solo il segno della coordinata y Simmetrico rispetto asse y P(-4,3) cambia solo il segno della coordinata x Simmetrico rispetto all’origine P(-4,-3) cambia il segno della coordinata x ed y

La traslazione è un movimento rigido che fa coincidere per sovrapposizione due figure. Come si vede dalla figura possiamo portare il triangolo ABC a coincidere per “sovrapposizione” con il triangolo A’B’C’, facendo “scivolare” la figura sul piano in modo che i vertici scorrano su linee parallele. I segmenti paralleli AA’; BB’ ; CC’ sono di uguale lunghezza Se analizziamo la traslazione vediamo che può essere scomposta in due spostamenti uno orizzontale ed uno verticale. Chiameremo questi due valori componente orizzontale e componente verticale della traslazione Spostamento verticale Spostamento orizzontale In generale una traslazione di componente orizzontale h e componente verticale k ha equazione: x’=x+h y’=y+k y A C B A’ X C’ B’

AMPIEZZA: l’ampiezza di una traslazione è la distanza tra un punto qualsiasi e il suo trasformato ampiezza della traslazione tr(h,k)=  h 2 + k 2 l’ampiezza essendo una distanza ha sempre valore positivo. DIREZIONE: Per una traslazione di componenti h e k con h= 0 è data dal rapporto: k h VERSO: Ogni direzione individua due versi ( i due versi di percorrenza di una retta) Il verso di una traslazione e determinato dalle due componenti h,k. Ogni traslazione è caratterizzata da tre elementi: ampiezza, direzione e verso

Consideriamo il triangolo di vertici A(1,2) B(4,2) C(1,4) e il suo trasformato per traslazione A’(-4,-4) B’(-1,-4) C’(-4,-2). Determinare: equazione della traslazione, ampiezza direzione e verso. Per determinare l’equazione della traslazione dobbiamo tenere presente che la componente orizzontale h è data dalla differenza tra l’ascissa di un punto del triangolo trasformato e quello corrispondente sul triangolo dato: h=Ax’-Ax= = - 5 analogamente per trovare l’ordinata faremo la differenza tra le ordinate: K=By’-By= = - 6 Una volta trovata la componente orizzontale e quella verticale avremo che l’equazione della traslazione è: x’= x-5 y’= y - 6 l’ampiezza sarà  (-5) 2 + (-6) 2 = 7,8 la direzione è individuata dal rapporto 6/5 Esercizio svolto

Le proprietà delle traslazioni 1. Una traslazione determina una corrispondenza biunivoca del piano su se stessocorrispondenza biunivoca 2. Una traslazione conserva la distanza tra due punti ( è un movimento rigido) 3. Una traslazione porta ogni retta in una retta ad essa parallela

Cliccando sul tasto EXCEL vedrai come utilizzando il foglio elettronico è semplice eseguire la traslazione di un triangolo note le sue coordinate e assegnata la traslazione tr(h,k)

Relazione tra due insiemi: ad ogni elemento del primo insieme corrisponde uno ed uno solo elemento del secondo insieme