Relatività prof. Antonio Di Muro Albert Einstein Relatività prof. Antonio Di Muro

Premessa: sistema di riferimento (SR) sistema di coordinate (SC) trasformazioni galileiane

Trasformazioni di Galileo Siano O ed O’ due SRI. associati a due SC cartesiane. Sia O’ in moto rispetto ad O lungo la direzione OO’ con velocità v di trascinamento ed al tempo t = 0 coincidenti.  r = r’ + v t considerando una variazione nel tempo si ha:   r = r’ + v t da cui u = u’ + v  Effettuando un'altra variazione nel tempo si ha:   a = a’ I due SRI misurano la stessa accelerazione. Considerando che una legge fisica fa intervenire sempre le forze e quindi le accelerazioni (secondo principio della dinamica) si può concludere con l'enunciato del   Principio di relatività galileiano: Nei SRI le leggi della “fisica” non cambiano. P v O x y O’ x’ y’  r r’

Problemi Non invarianza delle equazioni di Maxwell Velocità della luce Etere

Esperimento di Michelson & Morley v Terra Etere C Luce C c c’ v v LE = v LT + v TE cioè c = c’ + v da cui Nel tratto BD si ha c i = c’ i + v i per cui c = c’ + v nel tratto DB si ha – c i = – c’ i + v i da cui c = c’ – v allora tBD = L / ( c – v ) e tDB = L / ( c + v ) cioè tBDB = 2 L / ( c2 – v2 ) v Terra D Luce B

Trasformazioni di Lorentz P O O’ v u x y y’ Si ricercano trasformazioni affini del tipo dx’ = A dx + B dt dt’ = C dx + D dt Se P è fermo rispetto ad O allora dx = 0 e dt = d quindi dt’ = D d cioè D =  Inoltre dx’ = B d cioè dx’/dt’*dt’ = B d da cui – v dt’ = B d e B = – v  Se P è fermo rispetto ad O’ allora dx’ = 0 e dt’ = d cioè 0 = A dx – v  dt e d = C dx +  dt da cui A =  e C = – v  / c2. dx’ =  ( dx – v dt ) dt’ =  ( dt – v dx / c2 )

Composizione delle velocità u’ = ( u – v ) / ( 1 – uv / c2 ) Esempio: se un osservatore viaggia alla velocità della luce con uno specchio, riesce a vedere la sua immagine riflessa? In tal caso u = c, si ha u'=c(c-v)/(c-v) finchè v<c u'=c e riesce a vedere la sua immagine, ma se v=c non si può dire nulla. Questa relazione non è valida se v = c, ovvero per un sistema di riferimento inerziale, d’altra parte un SR dovrebbe portare con sé un orologio e questo non può viaggiare alla velocità della luce, non ha senso quindi dire che alla velocità della luce il tempo si ferma perché non c’è nessun orologio che può affermarlo.

Spazio-tempo (la quarta dimensione) Evento Distanza nello spazio-tempo

Supponiamo di definire una distanza nello spazio-tempo tipo il teorema di Pitagora le unità di misura del punto interrogativo sono chiaramente quelle di una velocità, ma quale velocità mettere? Le velocità dipendono dal SRI, l'unica velocità costante è quella della luce, proviamo a mettere questa: Per semplicità possiamo trascurare le dimensioni y e z e scrivere Cosa significa questa equazione?

x è la separazione spaziale tra due eventi e t è la separazione temporale tra gli stessi due eventi, p.es. due lampi di luce, il primo avviene in x 1 al tempo t 1 ed il secondo in x 2 al tempo t 2 Sappiamo che il SRI che vede avvenire gli eventi nello stesso luogo misura il tempo proprio tra gli stessi eventi, per identificare questo SRI è sufficiente pensare all'osservatore che si muove a velocità costante per questo SRI la distanza spaziotemporale sarà   perchè li vede nello stesso luogo v x 1 x 2 t 1 t 2 SRI

mentre per il SRI fermo sarà eguagliando a) con b) si ha che non è proprio ciò che abbiamo ricavato considerando la dilatazione del tempo, cioè tuttavia si ottiene l'espressione corretta se il segno meno lo mettiamo davanti a x2 cioè se definiamo la distanza come

Spaziotempo di Minkowsky Cono luce (intervalli timelike, spacelike e lightlike, esercizi) Linee universo di osservatori in quiete ed in moto uniforme od accelerato. Linee universo impossibili. x c t c t’ c t’’

Diagrammi spazio-tempo

A e B avvengono nello stesso luogo per ct, ma in luoghi diversi per ct’, tuttavia B avviene sempre prima di A perché s2 > 0 A e B avvengono simultaneamente per ct, ma non per ct’ e per ct’’ perché s2 < 0 se s2 < 0 si perde la causalità. Se due eventi sono uno causa dell’altro, il loro intervallo spaziotemporale deve essere del genere tempo.

La metrica fornisce tra due eventi una iperbole invariante: p.es. eventi O ed A con SRI che passa per entrambi ct x A ct’ M O  O’ A ct’ ct O  O’ x’ OA = OM Rispetto ad O: A = (1,3) s = 8 = OM v A = c/3 = 3/8 Rispetto ad O’: O ed A avvengono nello stesso luogo x’=0 e t’=  t =   c  = c t/ = 3/(3/8) = 8

Sistemi di riferimento non inerziali e paradosso dei gemelli Il più semplice sistema di riferimento non inerziale è quello di un osservatore O' che cambia una volta la velocità. Se per due osservatori O inerziale ed O' non inerziale, due eventi accadono nello stesso luogo, il tempo proprio è massimo per l'osservatore che ha una linea universo rettilinea, ovvero per l'osservatore inerziale

Dinamica relativistica Approssimazione di  per basse velocità Consideriamo la funzione y = ( 1 + x ) n, per x  0, possiamo approssimare la funzione con la retta tangente ad essa nel punto x = 0, y = 1. Si ha y = 1 + n x. Applicando questo a  si ha:

Quadrivettori I vettori non dipendono dal sistema di riferimento, analogamente i quadrivettori non ne dovrebbero dipendere: a) Definire uno spostamento che sia un quadrivettore Intervallo spaziotemporale s = (c t , r ) di modulo invariante Definire una velocità che sia un quadrivettore Quadrivelocità U = s/ = (c  , v  ) di modulo invariante U = c

In relatività il terzo principio della dinamica non è applicabile Le forze sono difficili da trattare, meglio la quantità di moto o impulso. L’impulso fa intervenire la massa del corpo La massa è invariante (il numero di atomi non cambia) Definizione del quadrimpulso: P = m U = (m c  , m v  ) di modulo invariante La componente spaziale corrisponde all’impulso relativistico. La componente temporale?

Approssimiamo  per basse velocità. Cioè La componente temporale corrisponde ad energia su c Energia a riposo

Energia cinetica relativistica Ec rel = energia totale – energia a riposo Esercizi su particelle con energie espresse in eV E classica E relativistica

Massa relativistica?? nasce dal voler applicare relazioni classiche ad oggetti relativistici Ma allora l’energia cinetica relativistica dovrebbe essere data da

Conservazione del quadrimpulso Nelsistema di riferimento O, i quadrimpulsi di due particelle di massa m1 e m2 sono: P1 = (E1 / c , p1 ) e P2 = (E2 / c , p2 ) il quadrimpulso totale è: PT = (E1 / c + E2 / c , p1 + p2 ) per cui in O si conserva sia l’energia che la quantità di moto. Analogamente in O’ PT = (E’1 / c + E’2 / c , p’1 + p’2 ) anche qui i principi di conservazione sono rispettati, solo che E T  E ’T e p T  p ’T . Tra O ed O’ un po’ della componente energia si è trasformata nella componente impulso e viceversa. PT P1 P2 P’1 P’2

Urti relativistici frontali unidimensionali P O O’ v u x y y’ u’ = ( u – v ) / ( 1 – uv / c2 ) B Lab A v u x y y’ p. es.

Esercizio: Due protoni si urtano frontalmente ed hanno, rispetto al laboratorio velocità v 1 = c / 2 e v 2 = c / 3. a Determinare l’energia totale e l’impulso totale del sistema nel laboratorio. b Determinare cinetica relativistica del primo protone rispetto al laboratorio. c Determinare l’energia totale e l’impulso totale del sistema rispetto al primo protone. d Determinare il quadrimpulso del sistema rispetto al centro di massa. e Determinare le velocità dei protoni dopo l’urto supponendo che non cambi la loro massa. v 1 v 2 Lab a Determinare l’energia totale, l’impulso totale ed il quadrimpulso del sistema nel laboratorio.

b Determinare cinetica relativistica del primo protone rispetto al laboratorio. c Determinare l’energia totale e l’impulso totale ed il quadrimpulso del sistema rispetto al primo protone. Energia ed impulso del primo protone rispetto a se stesso: E ’1 = m c 2 p ’1 = 0 Energia ed impulso del secondo protone rispetto al primo: E’2 = m c2 u p’2 = m u u dove u è la velocità del secondo protone rispetto al primo, e quindi allora ed mentre e Il quadrimpulso vale quindi Il calcolo fornisce

d Determinare il quadrimpulso del sistema rispetto al centro di massa. la velocità del centro di massa classicamente ha questa espressione: in relatività si ha: p = m v  ed E = m c2 , facendo il rapporto membro a membro si ha v = p c2 / E. ora considerando le due masse come un’unica massa, la vCM = pT c2 / ET, cioè: che per masse uguali diventa

Per noi Il centro di massa quindi misura Per la conservazione dell’impulso Visto che le masse sono uguali sarà Per cui

E Determinare le velocità dei protoni dopo l’urto supponendo che non cambi la loro massa. abbiamo già calcolato e Analogamente Essendo le masse uguali, le velocità si scambiano.

Limite (Cut Off) di G.Z.K. (Greisen–Zatsepin–Kuzmin). Oltre i 1020 eV si ha una rapida diminuzione del flusso dei raggi cosmici massa pione  0 m = 135 MeV/c2 massa protone m = 938 MeV/c2 reazione p +   p +  0 Metodo: Calcoliamo il quadrimpulso iniziale nel laboratorio e lo eguagliamo al quadrimpulso finale nel centro di massa

il quadrimpulso non cambia se calcolato nel centro di massa o nel laboratorio. calcoliamo prima il quadrimpulso iniziale nel laboratorio: c = 1 perché approssimando per il protone E  p in quanto m << E si ha Il valore massimo si ha per  =  :

calcoliamo ora il quadrimpulso finale nel centro di massa eguagliamo per ricavare l'energia della radiazione cosmica si parte dalla misura della sua temperatura T = 2.73 K, quindi dalla legge di Wien si ha  T = 2.9 mm K da cui  = 1.06 mm ora dalla relazione di Planck da cui quindi raggi cosmici con energia maggiore o uguale a  10 20 eV raggiungono in minima parte la Terra perché interagiscono prima con la radiazione cosmica di fondo.

Relatività generale 1916 Applica la relatività speciale alla gravitazione Per quale ragione la relatività speciale e la gravitazione sono connesse ? Consideriamo un raggio luminoso che emesso dalla superficie terrestre viene rilevato in un punto dell'atmosfera terrestre. Si trova che l'energia del raggio è minore di quella iniziale, ovvero la frequenza diminuisce, visto che  = 1 / t, allora il tempo misurato tra i due fronti d'onda aumenta, questo è il red shift gravitazionale, un orologio sulla superficie terrestre va più lentamente di un orologio posto nell’alta atmosfera.

Ma la relatività speciale non porta a questo: la presenza dell’accelerazione di gravità modifica i sistemi di riferimento inerziali Occorre definire un nuovo tipo di riferimento inerziale.   Con la gravità :  in assenza di gravità:  con una accelerazione :  in caduta libera:   quindi in caduta libera si ha lo stesso effetto che in assenza di gravità, mentre una accelerazione è equivalente ad una accelerazione di gravità. Allora un sistema di riferimento in caduta libera è " localmente " un sistema di riferimento inerziale.

Perché localmente? Forze di marea Globalmente non si può usare la relatività ristretta, ciò è analogo alla impossibilità di costruire una unica mappa per rappresentare la superficie sferica e porta al concetto di curvatura.

Principio di equivalenza debole P.E.D. Non si può distinguere una forza qualsiasi da una forza gravitazionale. Ciò implica che la massa gravitazionale è uguale alla massa inerziale Principio di equivalenza forte P.E.F. E’ possibile scegliere in un campo gravitazionale un SR che localmente è inerziale. p.es. un SR in caduta libera P.E.F.  P.E.D. P.E.D.  P.E.F. (un SRI non distingue una forza inerziale da una forza gravitazionale)

Curvatura Curvatura di una linea: Esistono due tipi di curvatura estrinseca ed intrinseca La curvatura estrinseca è rilevabile solo immergendo la varietà in dimensioni maggiori. La curvatura intrinseca è rilevabile direttamente sulla varietà. Curvatura di una linea: Una linea ha solo curvatura estrinseca definita come dove Visto che Dipende dalla concavità

Curvatura di una superficie: Considerando il punto P, la normale n per esso ed il fascio di piani per n, questi intersecano la superficie formando delle linee. Eulero dimostrò che la curvatura di queste linee assume tutti i valori tra e esistono cioè almeno due linee con curvatura massima e minima. Se K1 e K2 sono entrambe positive ( K > 0, y '' > 0  ) si ha il fondo di una tazza, se K1 e K2 sono entrambe negative ( K < 0, y '' < 0  ) si ha una cupola, se K1 e K2 sono di segno opposto si ha una sella, se K1 e K2 sono nulle si ha un piano. Gauss dimostrò che la parte intrinseca della curvatura è espressa dal prodotto delle curvature Se K > 0 la curvatura è positiva ( sfera ), se K < 0 la curvatura è negativa ( sella ), se K = 0 la curvatura è nulla ( piano). Curvatura gaussiana

Geodetica E' possibile stabilire la curvatura gaussiana K senza uscire dalla superficie, ovvero senza immergerla in una spazio con dimensione superiore, basta costruire con le geodetiche un triangolo su di essa e misurare la somma degli angoli interni. Siano    gli angoli interni del triangolo sferico ABC di area S, si formano tre doppi fusi ( giallo, verde e azzurro ), la somma delle aree dei tre doppi fusi meno quattro volte l’area del triangolo da l’area della superficie sferica. L’area di un fuso sferico di apertura  vale A :  = 4  R 2 : 2  cioè A = 2  R 2 Il doppio fuso ha area 2 A = 4  R 2. Quindi 4 (  +  +  ) R 2 – 4 S = 4  R 2 . (  +  +  –  ) * R 2 = S posto K = 1 / R 2 si ha:

 +  +  =     +  +  =  + 

massa-energia  geometria La massa-energia genera una deformazione dello spaziotempo Geodetiche non rettilinee Se lo spaziotempo è deformato allora c’è una massa-energia massa-energia  geometria

Il tensore metrico L’intervallo spaziotemporale determina una metrica che vale solo per K = 0 (relatività speciale) Per lo spaziotempo con curvatura occorre considerare anche i termini misti p. es. dt dx o dx dz

Principio di relatività generale: L'idea base della relatività generale è che la metrica è determinata dalla distribuzione della massa-energia, la presenza di massa determina una curvatura dello spazio-tempo e quindi delle geodetiche non rettilinee Un corpo in caduta libera segue una geodetica La terra è in caduta libera verso il sole e segue una geodetica, noi attribuiamo il moto della terra ad effetti di forze gravitazionali, da questo punto di vista invece la terra non è soggetta ad alcuna forza, segue soltanto l'unica traiettoria permessa ( geodetica ) dalla metrica.   Principio di relatività generale: Il principio di relatività speciale è espresso dall'enunciato: Le leggi della fisica assumono la stessa forma in ogni sistema di riferimento inerziale. In relatività generale si estende l'enunciato ad un qualunque sistema di riferimento   Le leggi della fisica assumono la stessa forma in ogni sistema di riferimento.

Principali conferme della relatività generale: Deflessione della luce  = 1.75 ''   Precessione al perielio del pianeta Mercurio