Ricerca Operativa Primi sviluppi : seconda guerra mondiale Dopoguerra: applicazioni civili Standardizzazione Sviluppo del calcolo automatico Campi applicativi: Industria Trasporti Finanze Etc.

Definizione secondo Ackoff-Sasieni: La Ricerca Operativa e’: l’applicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a problemi che implicano il controllo di sistemi organizzati al fine di fornire soluzioni che meglio servano gli scopi dell’organizzazione nel suo insieme

Caratteristiche della Ricerca Operativa La R.O. viene applicata alla risoluzione di problemi sul come condurre, organizzare e migliorare le operazioni e le attivita’ all’interno di una organizzazione L’approccio utilizzato e’ quello del metodo scientifico: individuato il problema si costruisce il modello matematico che astrae l’essenza dal problema reale La R.O. cerca di risolvere i conflitti fra le varie componenti del sistema visto nel suo insieme: gli obiettivi prefissati devono essere in accordo con tutta l’organizzazione La R.O. non si limita ad individuare una delle possibili soluzioni del problema, ma individua, se possibile, quella ottimale, cioe’ quella che meglio risponde alle esigenze.

Gestione linea metropolitana Esempio Gestione linea metropolitana Variabili: Numero treni, Tempi di attesa Funzione Obiettivo Esigenze diverse Vincoli Ente gestore Utenti

Fasi di un problema risolto con la Ricerca Operativa Esame della situazione reale Raccolta delle informazioni Formulazione del problema (variabili, funzione obiettivo, relazioni) Costruzione del modello matematico Soluzione del modello Analisi e verifica delle soluzioni Attuazione

Problemi economici Ottimizzare Vincoli Costi Organizzativi Profitti Produzione Gestione Organizzazione Vincoli Organizzativi Logistici Finanziari Produttivi Costi fissi Costi variabili lineari Costi variabili non lineari

Problemi economici in una sola variabile X = quantita’ di merce prodotta e/o venduta (x ≥ 0) C(X) = Costo totale Cu(X) = C(X) / X = Costo unitario R(X) = Ricavo della vendita G(X) = Guadagno o utile netto pu = prezzo unitario di vendita = Costante Funzione della domanda (ricavato da una stima statistica)

Lavoro proposto ( Preparazione Unità didattica ) Distribuzione elenco problemi economici Definiire gruppi di lavoro Stabilire collocazione problemi nell’ambito della Ricerca Operativa. In tali problemi variano il tipo di funzione obiettivo, i vincoli. Stabilire quali sono gli “ oggetti matematici” che intervengono nella risoluzione. Dare un ordine di presentazione dei problemi in base agli oggetti matematici presenti e al metodo risolutivo. Definire prerequisiti ed eventuali approfondimenti.

PROBLEMI ECONOMICI 1) Un’impresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di 3.000.000 u.m. ed una spesa variabile di 6000 u.m. per ogni unità di prodotto. Il prezzo di vendita è di 8000 u.m. per unità. Determinare e disegnare le funzioni spesa, ricavo e guadagno mensili in funzione della quantità x prodotta. Quale quantità minima è necessario produrre per non lavorare in perdita?  u.m.=unità monetarie

R(x) C(x) G(x) Costi : C(x) = 3.000.000 + 6.000 x Guadagno : G(x) = 2.000 x –3.000.000   Risposta : 1500

2) Un’impresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di 180.000 u.m., un costo di produzione unitario di 50 u.m., una spesa unitaria di vendita pari alla metà del prodotto venduto. Il prezzo di vendita è di 800 u.m. per prodotto. La quantità massima che può essere prodotta è 1000 unità di prodotto. Determinare e disegnare la funzione guadagno mensile. (Esaminare anche con vincolo sulla produzione x  700)

  Risposta G(x) = -x2/2 + 750 x –180.000 V(750; 101.250)

3) In un impresa il costo di produzione totale per un dato periodo di tempo e’ espresso dalla funzione C(x) = 200.000 + 120x (x = quantita’ prodotta). Il prezzo di vendita e’ p(x) = 500 – 0,1x, variabile in funzione della domanda. Il vincolo sulla produzione e’ x  1.600. Determinare e disegnare la funzione prezzo e la funzione guadagno.  Funzione p(x)

Risposta G(x) = -0,1x2 + 380 x –200.000

4) Una ditta ha una capacità produttiva mensile di kg 4) Una ditta ha una capacità produttiva mensile di kg. 1500 di una merce. Per la produzione sostiene una spesa fissa mensile di 500.000 u.m. ed un costo di u 1000 per ogni kg prodotto. La domanda della merce ( ossia la quantità di merce richiesta dai consumatori ) è espressa in funzione del prezzo dalla relazione : x(p) = 2400 –0,4p dove x è la quantità richiesta e p è il prezzo al kg. Calcolare la quantità che si deve produrre per ottenere il massimo utile, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta.

Modello matematico : massimizzare y = - 2,5x2 + 5.000x – 500.000 0  x  1500   Risposta : x =1000 

5) Per la produzione di un bene un’ impresa sostiene una spesa fissa di 2.000.000 u.m., un costo unitario di 800 u.m. per ogni unità prodotta e una spesa, stimata pari allo 0,5 del quadrato della quantità prodotta, per la manutenzione degli impianti. La capacità produttiva massima mensile è di 10.000 unità. Determinare per quale quantità il costo unitario di produzione è minimo.

Modello matematico : minimizzare y = 0,5x + 2.000.000/x + 800 0  x  10.000 Risposta : x =2000 p = 2800

6) Un prodotto è fabbricato e venduto in lotti da 200 pezzi ciascuno 6) Un prodotto è fabbricato e venduto in lotti da 200 pezzi ciascuno. Per la lavorazione si sostiene una spesa fissa giornaliera di u.m. 400.000 ed un costo di u.m. 500 al pezzo, ed il numero massimo di lotti prodotti in un giorno è di 6. Il prezzo di vendita è decrescente al crescere del numero di lotti venduti secondo la seguente tabella N. lotti 1 2 3 4 5 6 Prezzo al lotto (x1000) 350 320 280 250 210 Determinare quanti lotti si devono produrre giornalmente per realizzare il massimo utile.

massimizzare y =guadagno 0  x  6 x  N Modello matematico: massimizzare y =guadagno 0  x  6 x  N Caso discreto: dati poco numerosi N°lotti Costo(x1000) Ricavo(x1000) Guadagno(x1000) 400 - 400 1 500 350 -150 2 600 700 100 3 960 260 4 800 1120 320 5 900 1250 6 1000 1260   Risposta : lotti n° 5

7) Una ditta produce beni in unità non divisibili (es 7) Una ditta produce beni in unità non divisibili (es. abiti) e deve decidere il numero di beni da produrre mensilmente per ottenere l’utile massimo. I dati tecnici sono i seguenti : costo unitario per materia prima e lavorazione u.m. 20.000, spesa fissa mensile u.m. 5.000.0000, prezzo di vendita p = 60.000-15x (dove x è il numero dei beni). Calcolare quante unità del bene produrre per ottimizzare l’utile netto, sapendo che la massima capacità produttiva è 2.000 unità al mese.

Caso discreto: dati molto numerosi   Modello matematico: massimizzare y = -15x2 + 40.000x – 5.000.000 0  x  2.000 x  N Caso discreto: dati molto numerosi V(4.000/3; 65.000.000/3) y(1333)= 21666665 y(1334)= 21666660 Risposta : x = 1.333

8) Una ditta per un servizio di trasporto pratica i seguenti prezzi: 3 8) Una ditta per un servizio di trasporto pratica i seguenti prezzi: 3.500 u.m. al quintale fino a 50 quintali e 1.800 u.m. al quintale per ogni quintale eccedente i 50. Indicando con x il numero di quintali determinare l’espressione del costo totale in funzione di x.

 Risposta: 3.500x se 0  x  50 1.800x + 85.000 se x  50 y=  3.500x se 0  x  50 1.800x + 85.000 se x  50 Funzione definita a tratti, continua. Sconti quantità.  

9) Un commerciante, che ha una capacità di magazzino di 300 kg 9) Un commerciante, che ha una capacità di magazzino di 300 kg., può acquistare una merce a 50.000 u.m. al Kg; se la quantità acquistata supera 100 Kg. egli usufruisce di uno sconto del 20% sull’eccedenza. Tenendo conto del fatto che all’atto dell’acquisto egli deve sostenere un costo fisso di 1.000.000 u.m., e che il prezzo unitario di rivendita della merce e’ dato da p = 80.000 – 100x, determinare quale quantità deve essere acquistata e venduta per ottenere il massimo guadagno.

 Modello matematico: massimizzare     Modello matematico: massimizzare  x  300   -100x2+ 30.000x – 1.000.000 se 0  x  100 -100x2+ 40.000x – 2.000.000 se x  100 y = Funzione definita a tratti, continua, parabole.  Risposta : x = 200

10) Un impresa commerciale acquista della merce e la rivende ai dettaglianti. Il costo della merce e’ di 300 u.m al Kg.; per acquisti di almeno 30 q. il prezzo e’ ridotto a 250 u.m. il Kg. La domanda e’ data dalla funzione x = 10.000–10p. L’impresa sostiene settimanalmente una spesa fissa di 200.000 u.m e puo’ acquistare al massimo 50 q di merce. Calcolare quanti Kg. di merce si devono acquistare per ottenere il massimo utile nell’ipotesi che tutta la quantita’ acquistata sia rivenduta.

 Massimizzare -0,1x2+ 700x – 200.000 se 0  x  3.000 y=   Funzione definita a tratti, non continua, parabole. Risposta : x = 3.750 

Quesito terza prova esame di maturità   Le imposte sono una voce importante tra le entrate nella redazione del bilancio dello Stato. In uno Stato Z vengono considerati due diversi tipi di imposte sui redditi secondo questi criteri : tipo A : viene applicata un’imposta progressiva a scaglioni nel seguente modo . un’aliquota del 10% sui redditi sino a 10 000 euro compresi; un’aliquota del 25% sui redditi sulla parte eccedente i 10.000 euro e sino a 30.000 euro compresi; un’aliquota del 35% sui redditi sulla parte eccedente i 30.000 euro. tipo B : viene applicata un’imposta nel seguente modo . un’aliquota del 5% sui redditi sino a 10 000 euro compresi; per redditi tra 10 e 30 000 euro si paga una quota fissa di 2 000 euro più un’aliquota del 10% sull’intero reddito; per redditi superiori a 30 000 euro si paga una quota fissa di 4 000 euro più un’aliquota del 20% sull’intero reddito. Rappresentare graficamente e confrontare i due tipi di tassazione, le funzioni matematiche la loro discontinuità.

 IMPOSTA 1= 0.1x se 0  x  104 0.25x – 1500 se 104 < x  3 104 0.35x – 4500 se x > 3 104  IMPOSTA 2= 0.05x se 0  x  104 0.1x +2000 se 104 < x  3 104 0.2x +4000 se x > 3 104

Problema Tipico min – max f(x) Modello Matematico x  0 Vincolo di segno g(x)  0 Vincoli tecnici Modello Matematico f(x) = Costo Costo unitario Ricavo Guadagno Valori di ottimo Metodi semplici (grafici, algebrici) Analisi e derivate f(x) = funzione obiettivo Oggetti matematici presenti e da approfondire: Equazioni e disequazioni Funzione Funzioni semplici Dominio Continuita’ Derivate etc. Ulteriori metodi: Statistiche Approssimazione –interpolazione Metodi numerici

Classificazione problemi di scelta rispetto a Numero variabili coinvolte Tipo di variabili (campo di scelta) Numero e tipo dei vincoli Tipo di funzione obiettivo equazione/i disequazione/i lineari non lineari continuo (uno o piu’ intervalli reali) discreto (insieme di valori) a una variabile a due variabili a piu’ di due variabili

In condizioni di certezza In condizioni di incertezza Problemi di scelta In condizioni di certezza Con effetti immediati Con effetti differiti In condizioni di incertezza certezza: dati e conseguenze determinabili a priori incertezza: grandezze variabili aleatorie effetti immediati: decisione effetti differiti: decisione realizzazione immediata realizzazione differita

Altri problemi in condizione di certezza con effetti immediati: scelta fra piu’ alternative   1) Un’azienda deve comprare un macchinario per produrre un certo prodotto. Può scegliere fra 3 macchinari che hanno le seguenti caratteristiche :   Costo di produzione giornaliero fisso Costo per ogni unità prodotta Macchinario M1 100.000 u 800 u Macchinario M2 150.000 u 600 u Macchinario M3 200.000 u 500 u La convenienza dipende dal livello di produzione : se 0 x  250 conviene M1 se 250  x  500 conviene M2 se x  500 conviene M3   x=250 e x=500 si dicono valori di indifferenza I prezzi e le durate dei 3 macchinari sono ininfluenti poiché pressoché uguali. Si vuole determinare qual’è la macchina che è più conveniente comperare. Le funzioni costo risultano:   C1(x) = 100.000 + 800 x C2(x) = 150.000 + 600 x C3(x) = 200.000 + 500 x  C1(x) C2(x) C3(x)

2) Per rifornirsi di una data merce un commerciante può rifornirsi da due produttori : a) l’acquisto dal primo comporta una spesa fissa di 12.000 u ed un costo di 800 u per ogni kg. b) l’acquisto dal secondo comporta una spesa fissa di 10.000 u ed un costo di 900 u al kg. per forniture fino a 250 kg., mentre per forniture superiori il prezzo diminuisce del 20% sull’eccedenza. Determinare per quali livelli di acquisto è più conveniente il primo o il secondo produttore. C1(x) C2(x) C2(x) =  10.000 + 900 x se 0 x  250 55.000 + 720 x se x  250 C1(x) = 12.000 + 800 x   Il primo produttore è più conveniente per 20 x  537.5, il secondo per x  20 oppure x  537.5 .

Problemi di scelta in condizione di certezza con effetti differiti Esempio 1   Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo’ scegliere tra: ricevere tra 10 anni u.m. 25.000 ricevere tra 8 anni u.m. 25.000 La scelta b) non comporta alcun dubbio Esempio 2 Si vogliono investire 10.000 u.m. e si puo’ scegliere tra: ricevere tra 3 anni u.m. 8.000 e fra 9 anni altre 9.000 Problemi tipici: Finanziari (acquisti o vendite di beni economici, etc.) Commerciali (gestione di attivita’ commerciali, apertura di agenzie, etc.) Industriali (acquisto, noleggio apparecchiature, etc.)

Criteri utilizzati: Criterio attualizzazione Confronto dei rendimenti economici attualizzati (r.e.a.): valori attuali, all’inizio dell’attivita’, dei costi e ricavi futuri Criterio del tasso effettivo di impiego (o tasso interno di rendimento) Calcolo del tasso per cui il valore attuale dei costi e’ uguale al valore attuale dei ricavi, per ciascun caso La scelta dipende dall’obiettivo: investimento o costo

Esempio 2   Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo’ scegliere tra: ricevere tra 10 anni u.m. 25.000 ricevere tra 3 anni u.m. 8.000 e fra 9 anni altri 9.000 Svolgimento Criterio attualizzazione   Va = 25.000 (1 + i)-10 Vb = 8.000 (1 + i)-3 + 9.000 (1 + i)-9 i = 8% Va = 11.579 Vb = 10.852 Soluzione: e’ piu’ conveniente a) i = 12% Va = 8.049 Vb = 8.939 Soluzione: e’ piu’ conveniente b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Asse dei tempi M = C (1 + i)n V = C (1 + i)-n In effetti è V= M (1 + i)-n C V M Difetto: ?

Criterio attualizzazione Confronto dei rendimenti economici attualizzati (r.e.a.): valori attuali, all’inizio dell’attivita’, dei costi e ricavi futuri Difetto: criterio soggettivo (scelta del tasso di attualizzazione)

Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo’ scegliere tra: Stesso problema   Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo’ scegliere tra: ricevere tra 10 anni u.m. 25.000 ricevere tra 3 anni u.m. 8.000 e fra 9 anni altri 9.000 Svolgimento Criterio tasso effettivo di impiego Viene determinato il tasso per cui il valore attuale dei costi e’ uguale al valore attuale dei ricavi 10.000 = 25.000 (1 + i)-10 Soluzione: i = 9,59% (metodi algebrici di calcolo) 10.000 = 8.000 (1 + i)-3 + 9.000 (1 + i)-9 Soluzione: i = 9,64% (metodi numerici di calcolo)

Criterio del tasso effettivo di impiego (o tasso interno di rendimento) Calcolo del tasso per cui il valore attuale dei costi e’ uguale al valore attuale dei ricavi, per ciascun caso Criterio oggettivo Difetto: scadenze comparabili

Problemi di scelta in condizioni di incertezza con effetti immediati Le conseguenze dipendono da eventi aleatori Matrice dei risultati   Alternative A 1 2 … n Probabilita’ E a 1,1 p 2,1 ….. Eventi m m,1 m,n Esempio 3 5 4 0,3 0,25 6 7 0,2 10 Distribuzione di probabilita’

Criterio del valor medio Per ogni alternativa si calcola il valor medio dei risultati M(AK) = i ai,k pi Scelta dell’alternativa piu’ conveniente   Variabilita’

Criterio del valor medio con valutazione del rischio Per ogni alternativa K = i [ ai,k - M(AK)]2 pi Se valori medi uguali  AK con K minore Se valori medi diversi  determinazione del livello di rischio LK = M(AK) / n (n = 1, 2, ..) Se K  LK (n fissato) si confrontano i valori medi e si sceglie l’alternativa corrispondente al piu’ conveniente  

Criterio del valor medio con valutazione del rischio Esempio PROBLEMI IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA CON EFFETTI IMMEDIATI –ESEMPIO   Criterio del valor medio con valutazione del rischio Esempio Un ‘azienda deve scegliere fra tre alternative di investimento i cui risultati dipenderanno dal verificarsi o meno di 4 eventi aleatori. Nella tabella sono indicati i guadagni ottenibili , per ogni alternativa, al variare degli eventi (es. : acquisto di merce deperibile oppure vendita come variabile aleatoria). Valutare quale scelta è preferibile, supponendo che agli eventi siano assegnate le probabilità indicate.

LAVORO PROPOSTO E’ possibile formulare un criterio di scelta anche se non si conoscono le probabilità o non se ne vuole tenere conto Un’industria deve decidere quale fra tre progetti A,B,C deve attuare per produrre tre prodotti L,M,N. Per decidere si basa sulla probabilità di vendita così stimata : 0.5 per L, 0.2 per M, 0.3 per N Ogni produzione prevede diversi costi e ricavi, a seconda che si attuino i progetti A,B,C. Nella tabella sono riportati i guadagni previsti. Determinare quale progetto è il più conveniente senza utilizzare la distribuzione di probabilità. Es. Acquisto quantità A,B,C di merce deperibile per rivenderla in quantità L,M,N con guadagni in tabella ( si tiene conto dell’invenduto e degli sconti per grandi quantità) .

La tabella rappresenta guadagni: abbiamo un problema di massimo Volendo non valutare la probalilità assegnata agli eventi, per ogni colonna scegliamo il risultato peggiore 60 40 10 E fra questi scegliamo il maggiore: alternativa A

Se la tabella rappresenta costi: abbiamo un problema di minimo Volendo non valutare la probalilità assegnata agli eventi, per ogni colonna scegliamo il risultato piu’ grande 150 160 190 E fra questi scegliamo il minore: alternativa A

Tale criterio è detto del maxi-min o del mini-max ( o criterio del pessimista ). Si attua determinando per ogni alternativa il valore minimo e fra questi si sceglie poi l’alternativa corrispondente al massimo, se si tratta di utili (massimizzazione); se si affronta un problema di costi ( minimizzazione), invece, si scelgono i valori massimi e si sceglie poi l’alternativa corrispondente al minimo.

LAVORO PROPOSTO I criteri del valor medio, del valor medio con valutazione del rischio, del maxi-min non portano necessariamente allo stesso risultato : confrontare i criteri Scrivere problemi in condizioni di incertezza con diverse funzioni obiettivo : utile, costo, da risolvere con i diversi metodi

Problemi in condizioni di incertezza con effetti differiti Eventi aleatori Effetti differiti nel tempo Applicazioni: Matematica attuariale