DISEGNO E STORIA DELL’ARTE ASSONOMETRIA ITIS AUGUSTO RIGHI. a.a. 2016-2017- DISEGNO E STORIA DELL’ARTE ProF. Arch. MARIANNA NARDELLI TARANTO, marzo 2017

LEZIONE : Assonometria CONTENUTI 1. La rappresentazione assonometrica (proprietà principale, applicazione) 2. Gli elementi fondamentali della rappresentazione assonometrica (gli assi,il quadro assonometrico, i raggi proiettanti) 3.Realizzazione grafica del disegno assonometrico 4. Assonometrie ortogonali (unità di misura) 5. Proprietà delle assonometrie isometrica monometrica cavaliera 6. Assonometrie oblique Teorema di Pohlhe cavaliera e militare PREREQUISITI -Conoscere le coordinate cartesiane. -Conoscenze elementari di geometria piana e solida. -Saper eseguire le proiezioni ortogonali di figure solide e di gruppi di solidi. OBIETTIVI -Conoscere i vari tipi di assonometria e il loro campo di applicazione. -Saper rappresentare figure piane e solide nelle varie tipologie assonometriche.

Es. Con la doppia proiezione ortogonale (centro di proiezione improprio con direzione ortogonale al quadro) si è potuto rappresentare una figura (riferita a un sistema di piani coordinati) con due o più immagini in relazione tra di loro (metodo che consente di determinare le grandezze oggettive ad un’unità di misura grafica). Proprietà principale dell’assonometria : Con la rappresentazione assonometrica (mantenendo lo stesso sistema di piani di piani coordinati) è possibile,rappresentare la figura per mezzo di una sola immagine,(con centro di proiezione improprio, piano di proiezione con posizione qualsiasi rispetto al sistema di riferimento) ovvero rappresentare graficamente su un piano bidimensionale figure dello spazio (possibilità di misurare direttamente sul disegno, in scala, le dimensioni reali degli oggetti).

La parola assonometria deriva dal greco ( áxon = asse e métron = misura, cioè misura in base agli assi) è significa “misurare sugli assi”. Fu introdotta dal francese Gaspard Monge alla fine del Settecento e consiste nel proiettare dei punti notevoli di un dato oggetto geometrico da un punto improprio (detto centro di proiezione ), sul piano di proiezione (detto quadro) coincidente con il foglio da disegno, secondo un direzione qualsiasi.

Applicazioni dell’assonometria La vista assonometrica è diventata il principale strumento grafico per descrivere dettagli di assemblaggi , di incastri di parti meccaniche; in parallelo si è affinata una tecnica di rappresentazione per far capire cosa c’è dentro gli oggetti: essa sviluppa particolari applicazioni dell’assonometria come le sezioni assonometriche parziali, spaccati assonometrici, le viste assonometriche “ in esploso”, l’ assonometria trasparente. ( es. se compriamo degli oggetti finiti o da montare all’interno delle scatole troviamo sempre delle schede tecniche o di montaggio del prodotto le cui immagini sono delle rappresentazioni in assonometria )

Elementi della rappresentazione assonometrica. Gli elementi fondamentali che definiscono una rappresentazione assonometria sono 4: - L’oggetto da rappresentare - Gli assi cartesiani - Il quadro assonometrico o piano di proiezione - I raggi proiettanti o direzione assonometrica Trascuriamo l’oggetto da rappresentare e soffermiamoci sugli altri elementi , perchè variando le loro caratteristiche otterremo differenti tipi di assonometria. Gli assi cartesiani Gli assi cartesiani x, y, z (ortogonali tra loro) uscenti da una origine O derivanti dall’intersezione dei tre piani Π1, Π2 , Π3, individuano il triedro fondamentale sul quale si immagina di porre l’oggetto che si vuole rappresentare.

Il quadro assonometrico Il quadro assonometrico Π, è il piano sul quale si proietta l’oggetto e il sistema di assi cartesiani , è dove si forme l’immagine assonometria che corrisponde al foglio da disegno. Si può immaginare come un piano di vetro posto d’avanti all’oggetto sul quale i raggi proiettanti che individuano il contorno dell’oggetto tracciano l’immagine assonometrica. Questo può assumere qualsiasi posizione rispetto al sistema di riferimento. Intersecando il triedro fondamentale con il piano Π si hanno i lati t1, t2, t3 (rette di intersezione di Π su ciascuno dei piani coordinati) del triangolo X,Y,Z detto triangolo fondamentale o triangolo delle tracce) . La posizione di O*(immagine assonometrica di O) dipende dalla direzione dei raggi proiettanti, Congiungendo O* con X,Y,Z, si ottengono x*, y*, z* detti assi assonometrici. Il triangolo delle tracce serve ad identificare la posizione del piano quadro rispetto ai piani coordinati. Es., i vari tipi di assonometria ortogonale, quali isometrica dimetrica e trimetrica, si classificano a seconda se il triangolo delle tracce risulta, rispettivamente: equilatero, isoscele o scaleno.

I raggi proiettanti I raggi proiettanti sono considerati come provenienti da una sorgente posta a una distanza infinita(centro di proiezione S∞) e non appartenenti al piano Π , e sono paralleli tra loro. Queste rette sono tangenti l’oggetto e incidenti il quadro. In base all’inclinazione dei raggi proiettanti rispetto al quadro avremo: Se i raggi di proiezione sono perpendicolari al quadro, si ha assonometria ortogonale. Se i raggi di proiezione sono inclinati rispetto al quadro si ha una assonometria obliqua

Rappresentazione di un punto P in assonometria Gli assi assonometrici e il triangolo delle tracce costituiscono gli elementi di riferimento dell’assonometria. Per rappresentare una figura in proiezione assonometrica occorre prima proiettare il sistema di riferimento sul piano assonometrico. Fissati gli elementi di riferimento assonometrici (triangolo delle tracce ed assi assonometrici ) e dato un punto P, di cui siano fissate le coordinate rispetto alla terna di piani (distanze a, b, c, ); fissata l’unità di misura, per rappresentare il punto P , si riportano lungo gli assi assonometrici le sue coordinate e, rispetto alle condizioni di parallelismo, determinare il punto P*, immagine assonometrica di P. Rappresentazione di un punto P in assonometria

Assonometria ortogonale: Unità di misura I segmenti unitari a seconda della proiezione subiranno delle deformazioni proiettive . Nelle assonometria ortogonali i raggi sono ortogonali al piano quadro. Fissata arbitrariamente la posizione di w rispetto al sistema di piani coordinati, siano α,β,χ, gli angoli che w forma con x,y,z. Fissata l’unità di misura u lungo i tre assi x,y,z. Proiettando da V∞ ( con direzione perpendicolare al quadro) questi tre segmenti unitari u, si ottengono lungo gli assi assonometrici x,y,z i tre segmenti ux,uy,uz chiamati unità di misura assonometria. Per misurare la lunghezza di ciascuno di questi segmenti( che hanno subito una trasformazione proiettiva) si considerino i triangoli rettangoli OOX, OOY,OOZ (retti in O). Nel triangolo OOX l’angolo al vertice in X è α, per cui si ha la seguente relazione trigonometrica: ux = u cosα Valgono per gli altri due assi le seguenti relazioni: uy = u cosβ; u = cos χ Le lunghezze di ux,uy,uz sono minori di 1 (essendo funzioni del coseno di angoli). Tre condizioni possibili (tre casi di assonometria ortogonale)in base ai valori degli angoli: 1) α = β = χ assonometria ortogonale isometrica = coefficienti uguali 2a) α = β ≠ χ assonometria ortogonale di metrica = due coefficienti uguali 2b) α ≠ β = χ 2C) α = χ ≠ β α≠β≠χ assonometria ortogonale trimetrica = coefficienti diversi = (triang. Scaleno)

Proprietà delle assonometrie La caratteristica principale dell'immagine assonometrica K', di un oggetto K è quella di mantenere inalterate i rapporti di proporzione, dimensionali, rispetto a quelli dell'oggetto stesso K. Inoltre le rette parallele si mantengono tali anche nel disegno, mentre gli angoli, su alcuni piani, vengono deformati. CONDIZIONI DI APPARTENENZA (enunciati) Una retta appartiene a un piano se le tracce della retta appartengono alla tracce del piano. Un punto appartiene a una retta se la proiezione assonometrica vera del punto appartiene alla proiezione della retta. Un punto appartiene a un piano se appartiene a una retta del piano. CONDIZIONI DI PARALLELISMO Piani paralleli e rette parallele mantengono inalterato il loro parallelismo nella proiezione assonometrica

Proprietà delle assonometrie ortogonali -Il piano assonometrico può assumere qualsiasi posizione rispetto ai piani coordinati quando questo risulta parallelo a uno dei tre piani coordinati l’immagine assonometrica coincide con una delle proiezioni ortogonali, quindi ll triangolo delle tracce deve essere sempre acutangolo (gli angoli al vertice minori di 90). -Ogni asse assonometrico, insieme al proprio asse abbiettivo, appartiene ad un piano che è proiettante rispetto ad uno dei piani coordinati e perpendicolare al piano quadro(perché contiene il raggio proiettante OO* ortogonale al quadro). Conseguentemente gli assi assonometrici sono le altezze del triangolo delle tracce e O*, è l’ortocentro.

Assonometria ortogonale Assonometria isometrica Quando i piani di riferimento formano gli stessi angoli con il quadro Si ha che α = β = χ condizione univocamente determinata quando: α = β = χ= 35°20’ a cui corrispondono cosα= cosβ= cosχ= 0,816; ux=uy=uz=0,816 Pertanto il triangolo delle tracce è equilatero e gli angoli compresi tra gli assi hanno ampiezza pari a 120° Ne consegue che i segmenti uguali tra loro ed appartenenti a rette parallele a gli assi cartesiani subiscono, a proiezione eseguita, una stessa riduzione metrica. Es. per costruire l’immagine assonometrica del prisma assegnato, basta moltiplicare le quantità a,b,c,d,e per il coefficiente di riduzione 0,816(sistema teorico) Senza utilizzare il coefficiente di riduzione , ma riportando le stesse quantità assegnate si ottiene una figura simile (poco più grande) alla precedente mantenendo gli stessi rapporti (sistema pratico) Assonometria dimetrica quando i piani di riferimento formano due angoli uguali con il quadro Si ha che α = β≠χ; α ≠ β = χ; α = χ ≠ β;condizione univocamente determinata quando: Pertanto il triangolo delle tracce è isoscele e gli angoli compresi tra gli assi possono assumere tanti valori diversi tra cui: α = χ= 19° 32’; β = 61° 50’ a cui corrispondono cosα= cosχ= 0,942 ; cosβ=0,472; ux=uz=0,942; uy=0,472 Ne consegue che: YO*Z= YO*X=131° 25’; ZO*X= 97°10’ o rispetto alla linea di terra orizzontale di riferimento y =42° X=7° (Es. costruzione grafica degli assi) Il sistema pratico adotta le seguenti unità di misura assonometriche: ux=uz=1; uy= 1/2

Assonometria ortogonale Assonometria trimetrica quando i piani di riferimento formano angoli diversi con il quadro Si ha che α≠β≠χ Si riporta un esempio di assonometria trimetrica: α = 27°30’ β = 60°30’ χ= 9°5’ a cui corrispondono cosα=0,887; cosβ=0,492; cosχ= 0,985 ; ux=9/10 uy=5/10 uz=10/10 (0,9;05;1) Ne consegue che: YO*Z=109°; YO*X=157°; ZO*X= 95°; Pertanto il triangolo delle tracce è scaleno e l’unità assonometrica è diversa per ciascun asse. Ne consegue che i segmenti uguali tra loro ed appartenenti a rette parallele a gli assi cartesiani subiscono, a proiezione eseguita, tutti una diversa riduzione metrica (moltiplicando per il relativo rapporto di riduzione).

Metodo del ribaltamento Per determinare un sistema di proiezione assonometrica ortogonale, scelto da un punto X sull’asse x’, tracciare da questo la TxTz, normale alla z’ e la TxTz, normale alla y’, e la TxTy normale alla x’.Notiamo che i punti Q ed R, ed Ssono anche i piedi delle perpendicolari condotte al punto O oggettivo ai lati TzTy, TxTz,TzTy.Basta ribaltare sul quadro i triangoli rettangoli TxOTy e SOTz. Del primo è nota l’ipotenusa TxTy, il ribaltamento(O) di O su Π, quale punto comune del semicerchio di diametro TxTy e dell’asse z’. Lo stesso vale per gli altri ribaltamenti.Descritta su (x),(y),(z) l’unità obiettivam a partire da (O), si determinano le relative unità assonometriche mx, my, mz sugli assi x’, y’, z’, tracciando le parallele alle (O) O’.

Metodo del ribaltamento Esercizi: -determinare l’immagine assonometrica di un prisma. -determinare l’immagine assonometrica di una sfera.

Assonometria obliqua L'assonometria obliqua è molto importante (e usata) perché, a differenza dell'assonometria ortogonale, consente di ottenere immagini tridimensionali anche quando la terna di riferimento è disposta con un piano parallelo al piano di proiezione. Anzi, è proprio questa la condizione proiettiva maggiormente utilizzata, perché permette di rappresentare una faccia dell'oggetto mantenendo gli angoli che ha nella realtà.Indipendentemente dal valore dell’ampiezza degli angoli α,βe χ le unità assonometriche saranno sempre diverse per ciascuna di esse. Teorema di Pohlke si dimostra che disegnando sul quadro tre segmenti uscenti da uno stesso punto e aventi lunghezze diverse e direzioni arbitrarie, esiste sempre un centro di proiezione all’infinito individuato dalla direzione d tale che i tre segmenti possano considerarsi come la proiezione sul quadro di tre segmenti di uguale lunghezza a due a due ortogonali fra di loro), Ciò consente di costruire assonometrie (oblique) scegliendo in modo assolutamente libero il rapporto metrico fra gli assi e i valori angolari fra gli stessi. In tutti i casi, ci troveremo in una situazione congruente dal punto di vista proiettivo, anche se magari non convincente dal punto di vista descrittivo. I tipi di assonometria che è possibile realizzare, quindi, sono infiniti, anche se nella pratica del disegno se ne usano molto pochiSecondo le posizioni degli assi cartesiani di riferimento assoluto, particolari condizioni dell'assonometria cavaliera non sono verificate). rispetto al quadro, l'assonometria obliqua viene classficata in due tipi: Assonometria cavaliera (a sua volta divisa in militare e frontale). Assonometria generica (che comprende il caso generico)

Assonometria obliqua cavaliera In questo tipo d'assonometria si stabilisce che il piano di proiezione (detto quadro) è parallelo o coincidente con un piano cartesiano di riferimento assoluto.In tal caso due degli assi assonometrici sono paralleli ai due assi oggettivi che individuano il piano della terna parallelo al piano quadro. Su tali assi assonometrici le unità di misura non subiscono deformazione e saranno, pertanto, uguali tra loro. I casi possibili dipendono dall’inclinazione dei raggi proiettanti rispetto al piano quadro. Cavaliera militare: nel caso in cui il quadro risulta coincidente o parallelo al piano cartesiano orizzontale xy; cavaliera isometrica quando la direzione di proiezione forma un angolo di 45° con il quadro. per esempio l'assonometria militare, può essere isometrica quando le proiezioni assonometriche dei segmenti verticali sono in vera misura, cioè non subiscono nessuna riduzione assonometrica. In tutti gli altri casi si avrà un’assonometria obliqua dimetrica, infatti, lungo il terzo asse assonometrico, l’unità di misura è maggiore di 1(angolo minore di 45°) o minore di1 (angolo maggiore di 45°) Quando l’angolo di inclinazione è di 60° si ha uz=uxctg60°=0,50 mentre quando l’angolo è di 30° si ha uz=uxctg30°=1,73. Cavaliera frontale: quando il quadro risulta coincidente o parallelo al piano zx o yz . Nota: Per avvicinare l'assonometria cavaliera ad una visione umana , cioè quella prospettica, di norma si riducono le altezze, di frequente si dimezzano. Tuttavia e poiché tale tipo di assonometria viene adoperata sopratutto come tecnica di rappresentazione rapida (come negli schizzi eseguite a mano libera), per cui, per facilitare e velocizzare le operazioni di disegno, si preferisce mantenere invariato il rapporto di scala di tale altezze. In tal caso la cavaliera, sia militare che frontale, viene detta rapida.

L'assonometria generica è un tipo di assonometria obliqua, che si differenza dall'assonometria cavaliera nel fatto che il piano di proiezione ( detto quadro) non è ne parallelo ne coincidente con nessun dei tre piani di riferimento assoluto xy xz yz. In questo modo si ha che i tre gli assi x y z incidono il quadro in tre punti Tx Ty Tz, detti tracce di assi di riferimento. Pertanto il triangolo individuato congiungendo tali tracce viene detto "Trianglo delle tracce". L'assonometria generica si differenzia rispetto ai tre tipi di assonometria ortogonale ( isometrica, dimetrica ed trimetrica) nel fatto che la proiezione assonometrica del origine degli assi di riferimento non è coincidente con l'ortocentro di tale triangolo delle tracce. L'assonometria generica può essere chiamata, rispettivamente: dimetrica obligua quando le riduzioni assonometrica di due dei tre assi di riferimento sono congruenti tra loro, o trimetrica obliqua quando le riduzione assnometriche degli assi sono diversi tra loro.