Endogenous restricted participation Vettori linearmente indipendenti e dipendenti v1 u2 v2 u1 u1 e u2 linearmente dipendenti 1u1 +2 u2 =0 ha  soluzioni. Ad esempio: 1=2, 2=-1 v1 e v2 linearmente indipendenti 1v1 +2 v2 =0 solo per 1=2=0

Endogenous restricted participation Vettori linearmente indipendenti e dipendenti Come applicazione del teorema di Rouché Capelli, otteniamo che (n+1) vettori in Rn, sono sempre linearmente dipendenti. Di conseguenza in R2, tre o più vettori sono sempre linearmente dipendenti. v u w

Endogenous restricted participation Combinazione lineare Dati i vettori u1,u2,…,un , si definisce combinazione lineare tra i vettori ogni espressione del tipo 1u1+2u2+…+nun Esempio: siano dati i vettori: Il vettore v è combinazione lineare di u1 e u2 con 1=1 e 2=2 Se n vettori sono linearmente dipendenti, almeno uno è esprimibile come combinazione lineare degli altri. In R2, dati 3 vettori qualsiasi, almeno uno è esprimibile come combinazione lineare degli altri.

Combinazione lineare di due vettori linearmente indipendenti w=1u+2v v 10, 20 10, 2  0 1  0, 2  0 1  0, 2  0 -u -v

Endogenous restricted participation Funzioni di più variabili Testi di riferimento per questa parte di programma Cambini A., Carosi L., Martein L. Elementi di algebra lineare e funzioni di più variabili. - Giappichelli 2014. Guerraggio A. Matematica generale Pearson Mondadori 2009. Capitolo 14. Materiale disponibile sulla piattaforma e-learning: https://moodle.ec.unipi.it/course/view.php?id=214 sezione: materiali didattici

Endogenous restricted participation Elementi di topologia in n Sia . L'intorno circolare di centro e raggio R è l'insieme dei punti aventi da una distanza minore di R R Se n=2. L'intorno circolare di centro e raggio R coincide con il cerchio di centro e raggio R, con esclusione dei punti della circonferenza che lo delimitano.

Endogenous restricted participation Elementi di topologia in n Sia è detto punto interno ad A se esiste un intorno di contenuto in A. Sia è detto punto di frontiera di A se ogni intorno di contiene sia punti appartenenti ad A che punti che non appartengono ad A. Punto interno Punto di frontiera

Endogenous restricted participation Elementi di topologia in n

Endogenous restricted participation Elementi di topologia in n I punti interni di S sono i punti appartenenti alla regione colorata di giallo. Analiticamente:

Endogenous restricted participation Elementi di topologia in n I punti di frontiera di S sono i punti colorati di blu. Analiticamente: N.B. I punti di frontiera non necessariamente appartengono all’insieme

Endogenous restricted participation Elementi di topologia in n Sia A è un insieme aperto se ogni punto di A è interno. Sia A è un insieme chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera. Nell’esempio precedente, S non è né aperto né chiuso

Endogenous restricted participation Elementi di topologia in n Sia A è un insieme limitato se esiste un intorno di raggio R e centro l’origine che lo contiene. Sia A è un insieme illimitato se non è limitato. Insieme limitato Insieme illimitato

Endogenous restricted participation Elementi di topologia in n Sia A è un insieme compatto se è chiuso e limitato. Esempio: A

Endogenous restricted participation Attenzione!!!!!!! Non confondere aperto con illimitato e chiuso con limitato. I seguenti esempi mostrano che esistono insiemi chiusi ed illimitati ed insieme aperti e limitati. H G H è chiuso e illimitato. G è aperto e limitato.

Elementi di topologia in n Endogenous restricted participation Elementi di topologia in n Sia A è un insieme convesso se per ogni 15

Funzioni di più variabili a valori reali Endogenous restricted participation Funzioni di più variabili a valori reali Consideriamo una funzione Dato un sottoinsieme una funzione f definita in A e a valori in R è una legge che associa ad ogni elemento associa uno ed un solo numero reale f(x). Se n=2, con un leggero abuso di notazione, per indicare gli elementi di useremo indistintamente i simboli oppure (x,y). 16

Esempi di Funzioni di più variabili a valori reali Endogenous restricted participation Esempi di Funzioni di più variabili a valori reali dalla geometria: area del rettangolo dalla matematica finanziaria: la rata che pago per estinguere un debito dipende dall’ammontare del debito, dal numero delle rate, dal tasso di interesse pagato: R=f(D,i,n) dall'economia: se un'impresa produce due beni, il costo totale dell'impresa dipende dalle quantità prodotte dei due beni. Funzioni Cobb-Douglas : la produzione di un bene dipende dai due fattori produttivi K (capitale) ed L (lavoro). 17

Campo di esistenza per funzioni a due variabili Endogenous restricted participation Campo di esistenza per funzioni a due variabili Campo di esistenza: è l’insieme più grande di dove è possibile calcolare f(x,y). Esempi 18