Le Geometrie http://www.ripmat.it/mate/f/fa/fa.html http://scuole.provincia.so.it/SMSassiTorelli/geometria2c/Origini.htm http://www.ripmat.it/mate/f/fb/fbc.html http://www.ripmat.it/piano.html#geometria http://slideplayer.it/slide/192271/

Che cos'è la Geometria? Geometria significa "misurazione del terreno". Il termine originale greco, geometrein, è composto da geo, «terra», e metrein, «misurare».

Geometria : "misurazione del terreno" Erodoto, un celebre storico greco riteneva che la Geometria fosse nata in Egitto dove gli abitanti avendo la necessità di delineare i confini delle proprie terre cancellati dalle inondazioni del Nilo. Questo era indispensabile per ristabilire l'ammontare delle tasse dovute al Faraone. La storia dice che Ramsete II per assegnare ai sudditi un quadrato di terra, scoprì l'angolo retto.

Le Origini La geometria fu utilizzata anche dagli astronomi, ingegneri e architetti per studiare il cielo, costruire ponti, strade, case... Forse prima dei Babilonesi e degli Egiziani, i Cinesi e gli Indiani conoscevano la Geometria e la risoluzione dei problemi, come indicano alcuni antichi documenti in cui venivano riportate formule per calcolare l'area dei cerchi e dei triangoli. Tra il 600-300 a.C. la Geometria ebbe un grande risvolto grazie a particolari opere di Euclide, Pitagora e Talete.

INTRODUZIONE alla geometria La disciplina matematica che nasce dall’esigenza di misurare, venne chiamata dai greci GEOMETRIA. I geometri greci impararono a misurare l’estensione di una linea, retta o curva, di una superficie limitata da linee e di un volume delimitato da superfici

geometria e MISURA Con il passare del tempo l’espressione misurare assunse un significato più ampio: stabilire relazioni tra oggetti geometrici. Esempi di relazioni: un segmento 𝐴𝐶 è il triplo del segmento 𝐴𝐵 , o anche la relazione tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro (è un numero con infinite cifre dopo la vigola) una retta r è parallela ad una retta m.

METODO DI SVILUPPO DELLA GEOMETRIA Per stabilire le relazioni tra vari enti e la loro veridicità, i geometri dell’antichità perfezionarono un sistema che fini per diventare il metodo matematico per eccellenza: LA DIMOSTRAZIONE

METODO DI SVILUPPO DELLA GEOMETRIA I geometri greci partirono da principi primari e «attraverso lunghe catene di ragionamenti» ottennero un insieme di risultati che rappresentavano l’insieme delle proprietà (teoremi) degli enti geometrici che ci circondano; come del resto sottolinea Cartesio nel ‘Discorso sul metodo’. Questa abilità è quello che caratterizza la geometria euclidea.

Classificazione e analisi dei Modi di ragionare LA RETORICA LA MAIEUTICA METODO LOGICO DEDUTTIVO

INTRODUZIONE Studiata gia' dagli assiro-babilonesi e dagli egizi, la geometria deve sua forma attuale ad un greco EUCLIDE e in Grecia dara' il meglio di se' stessa divenendo da scienza sacerdotale ed esclusiva, scienza aperta a tutti contribuendo a formare ed esplicitare quei ragionamenti che poi troveranno le loro applicazioni nella filosofia come studio sia della natura che del pensiero. In questa parte del biennio ci occuperemo di Geometria Euclidea presentata nel modo classico

Chi era EUCLIDE Non si conoscono con esattezza i dati della vita di Euclide, come del resto avviene per altri maestri dell’antichità. Tutte le informazioni disponibili si ricavano dalle interpretazione degli studiosi, fondate sullo studio dei documenti dell’antichità che fanno riferimento alla geometria.

Chi era EUCLIDE Visse al tempo del primo Tolomeo (367-283 a.C.), approssimativamente tra gli anni 325 e 265 a.C., perché Archimede, che visse subito dopo Tolomeo primo, cita Euclide;

Chi era EUCLIDE Le caratteristiche del suo pensiero, sembrano indicare che studiò ad Atene con discepoli di Platone. Infatti, la testimonianza più importante su cui si basa la storiografia che riguarda Euclide viene da Proclo (filosofo bizantino, frequentatore dell'Accademia di Atene), che lo colloca tra i più giovani discepoli di Platone.

Chi era EUCLIDE Euclide era dunque più giovane dei discepoli di Platone, ma più anziano di Eratostene e di Archimede che erano fra loro contemporanei, come afferma in qualche luogo Eratostene.

Chi era EUCLIDE Si sa che visse ad Alessandria insegnando matematica presso la biblioteca d’Alessandria d’Egitto, per più di venti anni. Lì fondò la celebre scuola nella quale sviluppo la sua attività intellettuale più intensa.

Chi era EUCLIDE La morte viene collocata nel 283 a.C. Una rappresentazione di Euclide di Raffaello Sanzio nella Scuola di Atene del 1509.

Chi era EUCLIDE Intorno all’anno 300 a.C., Euclide scrisse la sua grande opera: Elementi, la più importante opera di geometria dell'antichità. In quest’opera raccolse tutto il sapere matematico dell’epoca.

Chi era EUCLIDE Si può dire che quest’opera fosse la più diffusa dopo la Bibbia. Fu considerata come libro di testo per apprendere la geometria quotidiana. ANEDDOTO- si racconta che Tolomeo gli chiese una volta se non ci fosse una via più breve degli Elementi per apprendere la geometria; ed egli rispose che per la geometria non esistevano vie fatte per i re.

Chi era EUCLIDE Di fatto, per circa 20 secoli, mantenne questo primato di: libro di fondamento per lo studio della geometria quotidiana e esempio di esposizione logica, creativa e strutturata delle conoscenze dell’epoca in cui visse. La prima versione stampata comparve a Venezia nel 1482 e fu una traduzione dall’arabo al latino. Nel 1505 fu pubblicata la prima versione in latino tradotta direttamente dal greco.

L’opera di EUCLIDE: «ELEMENTI» Euclide formulò la prima rappresentazione organica e completa della geometria nella sua fondamentale opera: ‘Elementi di geometria’ o semplicemente gli ‘Elementi’. Questa opera può essere suddivisa in quattro parti: Le proprietà delle figure piane e le applicazioni delle regole su queste figure; L’aritmetica dei numeri razionali; L’aritmetica dei numeri irrazionali e quadratici; La geometria solida.

L’opera di EUCLIDE: «ELEMENTI» ‘Elementi’ è un’opera suddivisa in 13 volumi in cui si dimostrano, punto per punto tutte le proposizioni. Primi 4 libri Al loro interno si raccoglie la geometria piana: le proprietà dei triangoli e dei parallelogrammi, il teorema di Pitagora, circonferenze, poligoni, ecc. I primi quattro libri vengono denominati pitagorici, poiché il loro contenuto era principalmente la materia studiata da Pitagora e dai suoi seguaci.

L’opera di EUCLIDE: «ELEMENTI» Il 5° e 6° libro Tali libri sono dedicati allo studio delle proporzionalità e similitudine dei poligoni. In questi libri compare per la prima volta un riferimento alla proporzione aurea (espressa come la ragione media ed estrema)

L’opera di EUCLIDE: «ELEMENTI» Il 7°, 8° e 9° libro I libri sono dedicati, con particolare attenzione, all’aritmetica, sviluppando problemi relativi alla teoria dei numeri: la divisibilità, i numeri primi, i numeri perfetti, ecc In questi libri si definisce il concetto euclideo di numero. Euclide per numero intende quello che attualmente si definisce come grandezza misurabile, ovvero, la lunghezza di un segmento. I numeri ci si presentano come semplici rapporti di grandezze omogenee a una comune grandezza assunta come unità di misura. http://www.lascuolaitalica.it/vsVII1.htm

L’opera di EUCLIDE: «ELEMENTI» Il 10° libro Il libro presenta la classificazione dei numeri denominati irrazionali (quelli che non possono esprimersi sotto forma di frazioni)

L’opera di EUCLIDE: «ELEMENTI» 11°, 12° e 13° libro Gli ultimi tre libri analizzano la geometria nello spazio (poliedri, sfere, ecc.) In questi libri sono presentati e studiati nel dettaglio i famosi 5 poliedri regolari, poliedri (figure solide) le cui facce sono poligoni regolari identici: i solidi platonici

Terminologia euclidea Euclide intraprese gli ‘Elementi’ dando informazioni semplici e chiare, facilmente assumibili in maniera intuitiva che chiamò definizioni, postulati o assiomi e con questi egli articolò le sue proposizioni, una catena di definizioni che sviluppano una dimostrazione.

Terminologia euclidea Concetti iniziali Fissiamo le cose iniziali che tutti dobbiamo sapere per poter costruire la geometria Gli enti fondamentali Gli assiomi I postulati Le proposizioni Il teorema La dimostrazione geometrica

Terminologia euclidea Ente primitivo: Un concetto primitivo è un ente geometrico che si conosce mediante le sue proprietà senza che se ne dia una definizione formale. Questi di solito vengono suggeriti passando da una visione di entità sensibili ad una visione immaginativa con un processo di idealizzazione che conduce ad entità formali con il ruolo di modelli delle corrispondenti sensibili. Per esempio il concetto di punto viene suggerito dall'osservazione di un granello di sabbia o dalla punta di uno spillo; il concetto di retta da un sottile filo di seta o da un raggio di luce; il concetto di piano dalla superficie tranquilla di uno specchio d'acqua.

Terminologia euclidea Assioma: proposizione talmente chiara ed evidente che si ammette senza necessità di dimostrazione. La sua evidenza è maggiore rispetto a quello di postulato Postulato: Principio indimostrato la cui validità si ammette a priori per evidenza o convenzione allo scopo di fornire la spiegazione di determinati fatti o di costruire una teoria.

Terminologia euclidea Proposizione: enunciazione di una verità dimostrata o che si cerca di dimostrare Teorema: proposizione dimostrabile logicamente, partendo da assiomi, o da altri teoremi già dimostrati, tramite regole accettate.

I concetti primitivi Nel Libro I compaiono una serie di definizioni iniziali che si riferiscono al punto, alla retta, all’angolo retto e al parallelismo: Definizione 1: il punto è quello che non ha parti. Definizione 2: una linea è una lunghezza senza ampiezza […] Definizione 3: una linea retta è una linea che giace nei suoi punti Definizione 10: quando una linea retta è situata sopra un’altra in modo che i due angoli adiacenti siano uguali, ciascuno degli angoli uguali è retto, e della linea retta che poggia sull’altra, si dice che è perpendicolare ad essa. Definizione 23: le linee rette parallele sono linee rette che, trovandosi sullo stesso piano e prolungandosi all’infinito in entrambe le direzioni, non si incontrano mai in nessuna direzione.

Gli assiomi Cose uguali ad una terza sono uguali tra di loro. Dopo le definizioni che individuano punto, retta e piano come enti primitivi, compaiono i seguenti assiomi: Cose uguali ad una terza sono uguali tra di loro. Se a cose uguali si aggiungono altre cose uguali, si ottengono somme uguali Se a cose uguali si sottraggono altre cose uguali, si ottengono differenze uguali Le cose che coincidono tra loro sono uguali tra loro. Il tutto è maggiore di una parte.

I postulati di euclide Euclide enuncia anche cinque celebri poatulati: I. per due punti distinti passa una sola retta II. Un segmento rettilineo può essere prolungato all’infinito III. Esiste un’unica circonferenza con un dato centro e di un dato diametro IV Tutti gli angoli retti sono uguali V Se una linea retta interseca due rette in modo che gli angoli interni di uno stesso lato siano minori di due angoli retti, le due linee rette, prolungate all’infinito, si incontrano dal lato in cui i due angoli sono minori di due angoli retti.

IL QUINTO POSTULATO DI EUCLIDE

IL QUINTO POSTULATO DI EUCLIDE

ENUNCIATI EQUIVALENTI AL QUINTO POSTULATO

Gli enti fondamentali Ricordiamo quali sono gli oggetti che sono stati fissati come i protagonisti della rappresentazione geometrica: Il punto La retta Il piano fissare e non definire, infatti essi saranno gli indefinibili della geometria, nel senso che il mio concetto di punto deve essere uguale al tuo, pero' non posso definire il concetto di punto (concetto primitivo).

I postulati I postulati sono delle regole iniziali cui tutti gli oggetti geometrici debbono obbedire: Euclide li mise alla base della geometria per la loro intuitivita'. Possiamo dividerli in 5 gruppi Postulati dell'esistenza Postulati dell'appartenenza Postulati dell'uguaglianza Postulati dell'ordine I postulati sono l'unica cosa che in geometria bisogna studiare a memoria: tutto il resto sara' ricavato mediante il ragionamento Postulato delle parallele Per ora ci limiteremo ai postulati per il piano; tratteremo i postulati per lo spazio quando parleremo di geometria dello spazio

Postulati dell'esistenza Definiscono l'esistenza degli enti geometrici Esistono infiniti punti Esistono infinite rette

Postulati dell'appartenenza Definiscono i legami fra gli enti geometrici                                                                                             Per un punto passano infinite rette Per due punti distinti passa una sola retta Dato un piano ed una retta, la retta divide il piano in due semipiani in modo tale che se prendiamo due punti nello stesso semipiano il segmento che li unisce non taglia la retta, mentre se prendiamo i due punti in semipiani opposti il segmento che li unisce taglia la retta

Postulati dell'uguaglianza Bisogna distinguere fra uguaglianza e congruenza: due cose sono uguali se sono la stessa cosa, cioe' se occupano lo stesso spazio nello stesso tempo. Diremo invece che due cose sono congruenti se sono uguali ma occupano spazi diversi nello stesso tempo (definizione di congruenza) Due figure si dicono congruenti quando con un movimento rigido e' possibile sovrapporle in modo che coincidano punto per punto

Postulati dell'uguaglianza (proprieta' riflessiva) Ogni figura e' uguale a se' stessa           A = A (proprieta' simmetrica) Se la figura A e' congruente alla figura B allora anche la figura B e' congruente alla figura A           A = B   =>   B = A     approfondimento (proprieta' Transitiva) Se la figura A e' congruente alla figura B e la figura B e' congruente alla figura C allora anche la figura A e' congruente alla figura C           A = B e B = C   =>   A = C     come si legge

Ora possiamo dire: Tutti i punti sono fra loro congruenti Tutte le rette sono fra loro congruenti cioe' con un movimento rigido posso spostare un punto su un qualunque altro punto ed una retta su una qualunque altra retta in modo che coincidano

Postulati dell'ordine Danno il concetto di ordine sulla retta e nel piano: Data una retta e su di essa due punti distinti si puo' scegliere sulla retta un verso per cui il primo punto preceda il secondo ed il secondo segua il primo Data una retta e su di essa due punti distinti esiste sempre un terzo punto che si trovi compreso fra il primo ed il secondo (in pratica significa che i punti su qualunque segmento di retta sono infiniti)

Postulato delle parallele Su un piano data una retta ed un punto fuori di essa, dal punto e' possibile tracciare solamente una parallela alla retta data. Questo postulato, tra l'altro il meno intuitivo fra tutti i postulati, e' quello che ha permesso di capire che i postulati sono regole iniziali, e, come tutte le regole iniziali, se vengono cambiati permetteranno di ottenere geometrie di tipo diverso da quella euclidea ma perfettamente logiche e portatrici di risultati: pensa che una di queste geometrie e' la geometria di Riemann base della teoria della relativita'. Alcuni esempi di geometrie non Euclidee verranno dati nel capitolo in cui studieremo il parallelismo

La dimostrazione Nota importante: Spesso ho incontrato alunni che dicono: "ma e' evidente, perche' devo dimostrarlo?" Purtroppo quella macchina meravigliosa che e' il nostro cervello talvolta ci porta a conclusioni sbagliate (se non ci credi prova a rispondere a queste domande) , quindi serve un metodo per metterci al riparo da errori di cui non potremmo renderci conto: il metodo geometrico Se io prendo un triangolo rettangolo ed un triangolo con l'angolo che differisca per un millesimo di grado tu non sei in grado di distinguere quale dei due sia rettangolo, ma in uno sara' valido il teorema di Pitagora, nell'altro no; da qui la necessita' di dimostrare tutto, anche le cose che ci sembrano piu' ovvie      (Inserire anche esempio dell'area del triangolo)

La dimostrazione La dimostrazione potra' effettuarsi mediante il teorema: insieme di ragionamenti piu' o meno complicati il criterio: scorciatoia per dimostrare qualcosa il lemma: conseguenza immediata derivata da un teorema

Il teorema Il teorema può essere: diretto: con un ragionamento parto dall'ipotesi ed arrivo alla tesi per assurdo: si nega la tesi e se da questo si riesce a negare anche l'ipotesi il teorema sara' vero

PONIAMOCI ALCUNI PROBLEMI chiediamoci : perché esistono diverse geometrie? La scienza è completamente sicura di cosa sia un punto…o una retta? Potrà mai accadere che una circonferenza abbia la forma di un quadrilatero? Si sa realmente cosa significa il termine ‘parallelo’?

Proviamo a fare un semplice esempio grafico per evidenziare come sia possibile avere tanta confusione sulla natura della realtà fisica.

Esempio: realtà e suo modello geometrico (ideale) Quando immaginiamo il tragitto per andare da casa (indirizzo A) a scuola (indirizzo B), rappresentiamo il percorso in modo geometricamente ideale, a volte approssimativamente in linea retta; ma la realtà non è geometricamente ideale. Il percorso che schematizzo non tiene conto che gli isolati delle case non sono perfettamente quadrati, gli incroci delle strade non descrivono angoli retti perfetti….Forse questo significa che è impossibile disegnare un buon tragitto per andare a scuola la mattina?

Il quartiere dell’Ensanche della città spagnola di Barcellona, progettato dall da

Sul concetto di geometria Le "geometrie" e i giochi di carte Per quanto ti possa sembrare stano una delle cose piu' simili alla geometria che esista nel mondo reale e' una partita a carte: Le regole iniziali sono i postulati che anche qui puoi suddividere in esistenza appartenenza uguaglianza ordine

Sul concetto di geometria Le "geometrie" e i giochi di carte E qui puoi vedere come funzionano i postulati: se dico esistono 40 oggetti, 10 carte di bastoni, ..... avro' le carte per una partita di briscola, tresette, scopa, ..... mentre se dico esistono 56 oggetti, 13 carte di quadri,..... avro' le carte per una partita di ramino, scala quaranta,..... se gli oggetti sono solo 32...... avro' le carte per il poker

Sul concetto di geometria Le "geometrie" e i giochi di carte Variando i postulati dell'uguaglianza e dell'ordine (il tre prende i tre oppure le carte la cui somma e' tre oppure il tre prende l'asso se il seme e' uguale o se il seme corrisponde alla carta scoperta) scegliero' se giocare a scopa o a tresette In pratica i postulati ti obbligano a giocare in un modo piuttosto che in un altro, ma i giochi che fai sono tutti ugualmente validi, sta a te scegliere poi quello che ti piace di piu'

Sul concetto di geometria Le "geometrie" e i giochi di carte Similmente, variando i postulati iniziali tutte le geometrie che potremo ottenere saranno ugualmente valide, saremo poi noi a scegliere quelle che meglio si adattano al mondo reale (in modo da poterlo filtrare tramite il nostro ragionamento per meglio adattarlo alle nostre esigenze)

Sul concetto di geometria Le "geometrie" e i giochi di carte Per esercizio prova a scrivere i postulati per un gioco che conosci