Le funzioni matematiche e il piano cartesiano Il sistema di riferimento cartesiano Un sistema di riferimento cartesiano si compone di due rette orientate, tra loro perpendicolari, dette assi cartesiani. L’asse delle ascisse (o delle x), è quello orizzontale. L’asse delle ordinate (o delle y), è quello verticale. Il punto di intersezione degli assi è detto origine. Ogni punto del piano è individuato da una coppia ordinata di numeri: in figura è rappresentato il punto A(3; 4). Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano Il sistema di riferimento cartesiano Il piano cartesiano si può dividere in quattro settori denominati quadranti; essi sono numerati dal primo in alto a destra e si procede in senso antiorario. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano La distanza tra due punti Per determinare la distanza tra due punti nel piano cartesiano si possono presentare tre casi. I caso I due punti hanno la stessa ordinata Vogliamo calcolare la distanza tra i punti: e REGOLA. La misura del segmento AB con A e B aventi uguale ordinata è data dal valore assoluto della differenza delle rispettive ascisse. In simboli: Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano La distanza tra due punti II caso I due punti hanno la stessa ascissa Vogliamo calcolare la distanza tra i punti: e REGOLA. La misura del segmento AB con A e B aventi uguale ascissa è data dal valore assoluto della differenza delle rispettive ordinate. In simboli: Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano La distanza tra due punti III caso I due punti hanno ascisse e ordinate diverse Vogliamo calcolare la distanza tra i punti: e Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, ottenuto tracciando da A e da B rispettivamente le parallele agli assi x e y, e calcoliamo la lunghezza della sua ipotenusa con il teorema di Pitagora: REGOLA. Per determinare la distanza tra due punti A e B si applica il teorema di Pitagora e si calcola la misura dell’ipotenusa del triangolo rettangolo avente per cateti le proiezioni del segmento AB sugli assi cartesiani. In simboli. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano Le coordinate del punto medio di un segmento REGOLA. Le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono date dalle semisomme delle ascisse e delle ordinate degli estremi del segmento. In simboli: Vogliamo calcolare le coordinate del punto medio M del segmento di estremi e Applichiamo direttamente la formula: Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano La funzione di proporzionalità diretta DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, dimezzando … l’una, raddoppia, triplica, si dimezza … anche l’altra. DEFINIZIONE. Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante. In generale se x e y sono una qualsiasi coppia di valori corrispondenti, indicata con m la costante di proporzionalità diretta abbiamo: quindi con m ≠ 0 La formula precedente rappresenta la funzione di proporzionalità diretta; in essa m rappresenta il coefficiente di proporzionalità diretta. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano Rappresentazione cartesiana della funzione y = mx Consideriamo la funzione di proporzionalità diretta di equazione in cui il coefficiente di proporzionalità è 3. Il grafico della funzione y = 3x è una retta passante per l’origine degli assi, quindi generalizzando possiamo dire che: DEFINIZIONE. La legge di proporzionalità diretta è rappresentata nel piano cartesiano da una retta passante per l’origine. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta PROPRIETÀ. La funzione y = mx rappresenta sempre una retta passante per l’origine, inoltre: se m > 0 la retta appartiene al 1° e 3° quadrante; se m < 0 la retta appartiene al 2° e 4° quadrante. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta PROPRIETÀ. Nella funzione y = mx: se m = 1 la retta è la bisettrice del 1° e 3° quadrante; se m = −1 la retta è la bisettrice del 2° e 4° quadrante. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta PROPRIETÀ. Maggiore è il valore del coefficiente angolare m (in valore assoluto) tanto più l’inclinazione della retta si avvicina all’asse y. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Rappresentiamo nel piano la funzione PROPRIETÀ. Ogni funzione del tipo y = mx + q (con m e q costanti) rappresenta l’equazione di una retta; m è il coefficiente angolare e q rappresenta l’ordinata all’origine. Più in generale: È importante notare che l’equazione generica di una retta y = mx + q non è più una funzione di proporzionalità diretta. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano Le equazioni di rette particolari PROPRIETÀ. y = k è l’equazione di una retta parallela all’asse delle x. Rette parallele all’asse x Se k > 0 le rette parallele all’asse x appartengono al semipiano positivo delle ordinate; se k < 0 le rette appartengono al semipiano negativo delle ordinate; se k = 0 la retta coincide con l’asse x e la sua equazione diventa y = 0; diremo allora che y = 0 è l’equazione dell’asse x. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano Le equazioni di rette particolari PROPRIETÀ. x = h è l’equazione di una retta parallela all’asse delle y. Rette parallele all’asse y Se h > 0 le rette parallele all’asse y appartengono al semipiano positivo delle ascisse; se h < 0 le rette appartengono al semipiano negativo delle ascisse; se h = 0 la retta coincide con l’asse y e la sua equazione diventa x = 0; diremo allora che x = 0 è l’equazione dell’asse y. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano Le equazioni di rette particolari PROPRIETÀ. Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare. In simboli, date: Rette tra loro parallele se e solo se Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano Le equazioni di rette particolari PROPRIETÀ. Due rette sono perpendicolari se il coefficiente angolare della prima è l’antireciproco dell’altro. In simboli, date Rette tra loro perpendicolari se e solo se ovvero Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano L’intersezione di una retta con gli assi cartesiani REGOLA. Le coordinate dei due punti di intersezione di una retta di equazione y = mx + q con gli assi x e y si ottengono ponendo in essa y = 0 e x = 0 e calcolando i valori corrispondenti dell’ascissa e dell’ordinata dei due punti. Troviamo, ad esempio, i punti d’intersezione con gli assi della retta Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano Equazioni di rette FORMULA. L’equazione che permette di determinare l’equazione di una retta passante per un punto P(x0; y0) e di coefficiente angolare m è FORMULA. L’equazione che permette di determinare l’equazione di una retta passante per i punti A(x1; y1) e B(x2; y2) è Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano La funzione di proporzionalità inversa DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, dimezzando … l’una, si dimezza, diventa un terzo, raddoppia … l’altra. DEFINIZIONE. Due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. In generale se x e y sono una qualsiasi coppia di valori corrispondenti, indicata con k la costante di proporzionalità inversa, abbiamo: La formula precedente rappresenta dunque la funzione di proporzionalità inversa; in essa k è il coefficiente di proporzionalità inversa. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano La rappresentazione cartesiana della funzione xy=k Consideriamo la funzione di proporzionalità inversa di equazione Il grafico è un ramo di curva che prende il nome di iperbole equilatera. In generale: DEFINIZIONE. La legge di proporzionalità inversa è rappresentata nel piano cartesiano da un’iperbole equilatera. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano La proporzionalità quadratica e la parabola DEFINIZIONE. Due grandezze x e y sono in proporzionalità quadratica quando la relazione che le lega si può esprimere con una formula del tipo: La formula precedente rappresenta la funzione di proporzionalità quadratica; in essa a prende il nome di coefficiente di proporzionalità quadratica. La funzione di proporzionalità quadratica è rappresentata nel piano cartesiano da una curva, chiamata parabola. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano

Le funzioni matematiche e il piano cartesiano La proporzionalità quadratica e la parabola DEFINIZIONE. Una funzione del tipo y = ax2 (con a ≠ 0) è l’equazione di una parabola avente come asse di simmetria l’asse y e come vertice l’origine degli assi. In particolare se a > 0 la parabola ha la concavità verso l’alto; se a < 0 la parabola ha la concavità verso il basso. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano