Rappresentazione dei campi di gravità Esercitazioni Metodi di Potenziale Carla Braitenberg, Federico Morsut, Tommaso Pivetta 1) Visualizzazione delle armoniche sferiche 2) Sviluppo del campo di gravità in armoniche in alcune regioni del globo 9 nov 2016

Armoniche sferiche – cosa sono? a cosa servono? Consentono una particolare rappresentazione del campo di gravità: di fatto corrispondono ad una rappresentazione nel dominio della frequenza E’ possibile perchè il potenziale di gravità obbedisce all’equazione di Laplace esternamente alla massa terrestre. Le armoniche sferiche soddisfano l’equazione di Laplace in coordinate sferiche. Laplaciano in coordinate sferiche: 𝛻𝑉= 𝜕 2 𝑉 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑉 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝑉 𝜕 𝑧 2 =0

Analogia serie di fourier in 1D – Armoniche sferiche La serie di Fourier consente di rappresentare un segnale periodico come somma di sinusoidi e cosinusoidi a diversa frequenza. Ciascuna (co)sinusoide viene scalata da un coefficiente di ampiezza. Le armoniche sferiche sono il corrispettivo in 3D ed in coordinate sferiche di seni e coseni in un sistema di coordinate cartesiano.

Armoniche sferiche - basi Soluzioni all’equazione di Laplace in coordinate sferiche sono funzioni del tipo V(r,θ,λ)= R(r) F(θ ) L(λ): Il potenziale di gravità può essere scritto come combinazione lineare (serie) di queste basi scalate dai coefficienti (di Stokes) Cnl e Snl: Funzioni base (come ijk per rappresentare il vettore a)

Armoniche sferiche - proprietà Functions: well defined functions which are numbered (n,l) The higher the number, the more detail do the functions contain. Orthogonal: product between two functions is zero Normalized: product of the function with itself is equal to 1 Spanning: Any function U(r) can be written as the linear combination of the functions: U(r)=a1F1 (r) + a2F2 (r) +a3F3 (r) +....+aNFN (r)

Importanza Sono importanti perchè consentono di calcolare i funzionali che descrivono il campo gravitazionale come il Potenziale e relative derivate a partire da un’unica serie di coefficienti. Posso calcolare i campi a qualsiasi quota!

Visualizzazione armoniche sferiche – sito ICGEM http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/

Sito ICGEM Vediamo alcune armoniche sferiche e la loro risoluzione: La risoluzione è definita dalle linee nodali (valori in cui l’armonica si annulla) Pattern positivo-negativo alternato sulla sfera (armoniche tesserali) m= linee nodali in longitudine, l-m linee in latitudine ordine l = m grado nessuna linea nodale sulle latitudini (armoniche settoriali) ordine l=6 m=0 : indipendenza sulla longitudine (armoniche zonali). l linee nodali in latitudine

Esercizio Rappresentare alcune armoniche sferiche a piacere variando ordine e grado. In base al numero di piani nodali valutare la risoluzione in gradi lungo la latitudine e longitudine. Calcolare quindi la risoluzione in km all’equatore, tenendo conto che 1°≈ 110km

Il campo di gravità – coefficienti delle armoniche I coefficienti delle armoniche (coefficienti di Stokes) sono scaricabili dal sito dell’ICGEM (.gfc o .zip) e si possono aprire via editor testi

I file .gfc Header, in cui ci sono alcune specifiche sul particolare modello. (dati utilizzati, referenze e processing usati..). Massimo ordine e grado di sviluppo costante M*G, Raggio... Poi c’è il vero e proprio modello a 6 colonne ordine l,grado m, Clm, Slm, varianze Clm, varianze Slm key L M C S sigma C sigma S gfc 2 0 -4.841694552725e-04 0.000000000000e+00 1.575371515482e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -3.387892504353e-10 1.450327268364e-09 3.332348134895e-13 3.384733475588e-13 gfc 2 2 2.439357196868e-06 -1.400303490705e-06 4.698165369209e-13 4.617027214311e-13

Geoid undulation - EIGEN-GL04C

Gravity anomaly - EIGEN-GL04C Tra anomalia del potenziale e anomalia di gravità le formule differiscono solo per questi 2 fattori.

Il campo di gravità Il sito dell’ICGEM offre anche: un servizio di visualizzazione dei campi di gravità. Un servizio di calcolo per passare dalla rappresentazione in armoniche sferiche ad un grid regolare in dominio spaziale.

3D visualization Modello geopotenziale da sottrarre Funzionale da rappresentare

3D visualization Modello di topografia e’ univoco, non viene scelto Rappresentare topograpfia

Campi di gravità – download dei grid

Servizio calcolo ICGEM Si impostano i parametri Si seleziona il tipo di output e si lancia ‘start computation’. Una volta finito si può scaricare il grid(file a colonne xyz) o scaricare l’immagine PNG Soluzioni ‘lungo periodo’ o mensili (GRACE) Definizione dell’area di calcolo e quota! Tipo di funzionale da calcolare Inclusione del termine lm=00. In pratica effetto della sfera di massa terra Modello di riferimento da sottrarre Grado di sviluppo del modello Opzionale: filtraggio con filtro gaussiano

Esercizio Calcolate i funzionali gravity_anomaly_sa e gravity_anomaly_bg per un’area a scelta a 2 diverse quote a piacere Gravity_anomaly_sa: il valore dell’anomalia di gravità viene calcolato sottraendo al valore assoluto di gravità calcolato sul geoide il valore dell’ellissoide. Viene poi applicata una continuazione verticale del campo alla quota desiderata Gravity_anomaly_bg: anomalia di Bouguer semplice. Viene tolto a ciascun valore di anomalia di gravità l’effetto della sottostante topografia approssimata dalla piastra semplice 2𝜋𝐺𝜌𝐻.