La setta dei numeri Il teorema di Pitagora

Pitagora e gli albori della matematica

Con Pitagora la matematica diventa scienza teorica, in quanto ad essa viene applicata la logica della filosofia, perché per i pitagorici la matematica è uno strumento indispensabile per comprendere il mondo e raggiungere la perfezione. Durante i suoi viaggi in Babilonia e in Egitto, Pitagora assorbì le conoscenze matematiche di quei popoli, applicandole alla sua dottrina

Babilonia Negli ultimi due secoli, gli archeologi hanno ritrovato 500’000 tavolette in argilla con caratteri cuneiformi, di cui ben 300 hanno contenuto matematico. Tra queste la più importante è la tavoletta Plimpton 322 (1800-1600 a.C.), i cui numeri sono, così come ha stabilito il matematico austriaco Otto Neugebauer, terne pitagoriche. Per il teorema di Pitagora una terna rappresenta un triangolo rettangolo con lati di lunghezza intera. Quindi i babilonesi conoscevano già il teorema di Pitagora, mille anni prima della sua nascita?

Egitto Le testimonianze egizie si basano su iscrizioni geroglifiche e su pochi rotoli di papiro. Tale supporto è però molto fragile, e solo il clima secco del deserto ha impedito ad alcuni di essi di disintegrarsi. Tra questi si ricorda il papiro di Rhind (1650 a.C.), attribuito allo scriba Ahmes, il più antico libro di testo di matematica, che contiene 87 problemi con relativa soluzione, di cui 20 di natura geometrica che affrontano questioni di carattere pratico. Un altro documento è il papiro di Mosca (1890 a.C) che contiene venticinque problemi. Di particolare interesse è il numero 14, in cui è presente la formula per calcolare il volume di un tronco di piramide a base quadrata. In entrambi i papiri, però, non si fa alcun riferimento al teorema di Pitagora.

Pitagora Pitagora è una figura misteriosa. Secondo la tradizione nacque a Samo nel 570 a.C.. Per alcuni autori era figlio del dio Apollo, mentre per altri era figlio di un ricco cittadino di nome Mnesarco. Forse conobbe Talete. Viaggiò molto e visitò Babilonia e l’Egitto. A Crotone fondò una scuola in cui i pitagorici si dedicarono allo studio della matematica e dell’astronomia. Morì a Metaponto nel 500 a.C. La trasmissione delle conoscenze dei pitagorici avveniva oralmente; inoltre, per rispetto al maestro, i pitagorici gli attribuivano tutte le scoperte. Perciò non si sa bene quali siano state effettivamente le sue. Pitagora utilizzò le conoscenze geometriche egizie e matematiche babilonesi , volte soprattutto a risolvere problemi pratici, per dedurre regole generali sviluppando una matematica teorica.

Numeri Pitagora immaginava i numeri come figure. Per esempio i numeri quadrati con puntini che formavano un quadrato, i numeri triangolari con puntini che formavano triangoli, così come per i pentagonali e gli esagonali. Inoltre ogni numero era associato ad un’unità simbolica: 7: simbolo della verginità; 8: simbolo dell’amicizia; 9: simbolo della gravidanza; 10: detto tetractys, simbolo di Dio e dell’universo; rappresentato con un triangolo equilatero. Pitagora immaginava i numeri come figure. Per esempio i numeri quadrati con puntini che formavano un quadrato, i numeri triangolari con puntini che formavano triangoli, così come per i pentagonali e gli esagonali. Inoltre ogni numero era associato ad un’unità simbolica: 1: la monade, il generatore di tutti i numeri, simbolo della ragione; 2: la diade, simbolo della diversità e della femminilità; 3: la triade, simbolo dell’armonia e della perfezione (in quanto 3=2+1); 4: simbolo della giustizia; 5: simbolo del matrimonio, del triangolo divino (in quanto 32+42=52), dei cinque elementi che componevano l’universo e l’emblema dei pitagorici; 6: simbolo della procreazione (in quanto 2.3=6) e primo numero perfetto, perché corrisponde alla somma dei suoi divisori compreso l’uno, ma escluso il numero stesso.

Pitagora e gli albori della matematica

Il teorema più famoso della storia

Il teorema di Pitagora fu inserito nel primo libro di Geometria della Storia dell’Occidente: gli Elementi di geometria di Euclide. Se Pitagora non scoprì il Teorema che porta il suo nome, fu senza dubbio il primo che ne diede una dimostrazione valida per ogni triangolo rettangolo. L’enunciato originale del teorema è il seguente: Dato un triangolo con i vertici ABC, l’angolo A è retto se e solamente se l’area del quadrato costruito sul lato a, opposto ad A, corrisponde alla somma delle aree dei quadrati costruiti sugli altri lati b e c

Il teorema di Pitagora dimostrato da Leonardo Da Vinci Disegnò il triangolo e costruì sui suoi lati tre quadrati, aggiunse la parte ECF sopra e collocò strategicamente un’altra copia A’C’B’ del triangolo in basso. Tracciando DD’ e CC’, che è perpendicolare, si osserva che DD’ divide l’esagono superiore ABDEFD’ simmetricamente e le due parti si possono girare e collocare coprendo l’esagono ACBA’C’B’. Poi, la somma dell’area dei due quadrati sopra i cateti deve essere uguale a quella del quadrato costruito sopra l’ipotenusa. - Leonardo Da Vinci

L’uso del teorema ai giorni nostri Il teorema di Pitagora viene utilizzato anche ai nostri giorni e non solo a scuola. Presenta, infatti, numerosi usi pratici. Uno di questi è individuare la traiettoria più breve, un problema molto importante in città perché consente di ridurre il traffico e anche di costruire edifici di pubblico interesse nella migliore posizione. Il teorema di Pitagora è anche stato usato nei tribunali, per esempio durante il processo di James Roblins. James Roblins fu arrestato a Manhattan all’angolo fra la 8° Avenue e la 40° strada. L’accusa era quella di aver spacciato droga, con l’aggravante di trovarsi a meno di 1000 piedi (308,4 metri) dalla scuola Holy Cross, situata nella 43° strada fra l’8° e la 9° Avenue. Per giustificare questa affermazione, la polizia usò il teorema di Pitagora: a2+b2=c2. Sapendo che la distanza fra il punto vendita dalla 43° strada era di 764 piedi (232,9 metri) e che la distanza della scuola dal punto precedente era di 490 piedi (149,4 metri), risultava che la distanza dalla scuola era di soli 907,63 piedi (276,7 metri). Ovviamente ciò passando attraverso i muri, cosa improponibile per un essere umano. Proprio su questo punto l’avvocato difensore fece leva: seguendo infatti la traiettoria percorribile, l’aggravante non avrebbe avuto senso, in quanto 764+490=1254 piedi (382,3 metri). La corte di appello di New York, però, diede comunque ragione alla polizia. Si può quindi affermare che, a New York… La giustizia è pitagorica!

Il teorema più famoso della storia

Invito alla 2 e sorprendenti applicazioni del teorema di Pitagora

2 è irrazionale Secondo i pitagorici, tutti i numeri sono commensurabili, cioè si possono esprimere come un rapporto fra due numeri interi. Ippaso di Metaponto fu il primo che, per sete di conoscenza, cercò di calcolare la misura delle diagonali di un quadrato. Per semplicità usò un quadrato di lato uno. Applicando il teorema del maestro risultò che il quadrato costruito sulla diagonale avrebbe dovuto avere un area uguale a 2 e quindi la lunghezza della diagonale doveva essere uguale a 2 , che è irrazionale. Da qui risulta che i cateti e l’ipotenusa non sono commensurabili. Secondo la leggenda Ippaso fu buttato in mare dai Pitagorici, che risolsero così il problema.

Dimostrazioni La prima dimostrazione che la radice quadrata di due non possa essere una frazione fu elaborata già ai tempi dei greci da Platone, che ragionò per assurdo. Un’ulteriore dimostrazione dell’irrazionalità di 2 venne effettuata intorno al 1960 dal matematico statunitense Alexander J. Hahn.

Formati DIN per fogli e fotocopie Computer, fax e fotocopiatrici utilizzano formati carta che seguono lo standard DIN 476, successivamente chiamato ISO216. Questo standard è stato sviluppato fra le due guerre mondiali da un ingegnere tedesco: Walter Forstmann. La curiosità è che la matematica del sistema DIN è incentrata su una proporzione fra 2 e la superficie di 1 𝑚 2 . I fogli sono rettangolari e strutturati in modo che il primo abbia una superficie di 1 𝑚 2 , il secondo sia esattamente la metà del primo sul lato più lungo e così via, dall’A0 (il più grande) all’A10 (grande quanto un biglietto da visita). Per poter verificare questa situazione si deve usare la proporzione: 𝑏 𝑎 = 𝑎 𝑏 2 Da cui si deduce che 𝑏 𝑎 = 2

Le lune di Ippocrate Prima di parlare delle lune di Ippocrate è bene ritornare un attimo sul teorema di Pitagora. Questo teorema permette di sommare graficamente i quadrati che, guarda caso, sono simili tra loro. Quindi, se ci fossero dei semicerchi al posto dei quadrati, il teorema sarebbe valido? La risposta è sì. La stessa cosa si verificherebbe con figure irregolari, a condizione che esse siano simili fra loro.

Le lune di Ippocrate Ippocrate dimostrò che la somma delle aree delle lune costruite sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale a quella del triangolo rettangolo. Pertanto gli archi di circonferenza erano quadrabili. Questo portò all’affannosa ricerca della possibilità di quadrare il cerchio, cioè di dimostrare che l’area di una circonferenza inscritta o circoscritta a un poligono fosse quadrabile, cioè avesse la stessa area del poligono, cosa impossibile.

Presentazione di Enea Papaleo Tutti i diritti riservati ai legittimi proprietari delle immagini