Chi lo dice prima pio Le Pierangiolate n.9 Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche Luca Chiantini presenta Chi lo dice prima pio

Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione Chi lo dice prima pio introduzione al concetto matematico di informazione Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione e Scienze Matematiche Università di Siena 1240

Chi lo dice prima pio Giochi di Archimede ---- 2010 PROBLEMA: Quattro bambine, Alice, Betta, Cecilia e Daniela, decidono di comprare un cappellino a testa da un venditore che ha solo cappellini bianchi e neri. Compreranno il cappellino prima Alice, poi Betta, poi Cecilia e infine Daniela. Betta dice: “Se Alice lo comprerà bianco, anch’io lo comprerò bianco”. Cecilia dice: “Io lo comprerò dello stesso colore di Betta”. Daniela dice: “Se Alice lo comprerà nero, io lo comprerò dello stesso colore di Cecilia”. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? (1) E’ impossibile che quattro bambine comprino un cappellino bianco, (2) Daniela e Betta compreranno un cappellino dello stesso colore, (3) Almeno due bambine compreranno un cappellino bianco, (4) Almeno tre bambine compreranno un cappellino dello stesso colore.

MENONE: Differenza fra retta opinione e Scienza Tirare a indovinare PROBLEMA: Quattro bambine, Alice, Betta, Cecilia e Daniela, decidono di comprare un cappellino a testa da un venditore che ha solo cappellini bianchi e neri. Compreranno il cappellino prima Alice, poi Betta, poi Cecilia e infine Daniela. Betta dice: “Se Alice lo comprerà bianco, anch’io lo comprerò bianco”. Cecilia dice: “Io lo comprerò dello stesso colore di Betta”. Daniela dice: “Se Alice lo comprerà nero, io lo comprerò dello stesso colore di Cecilia”. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? (1) E’ impossibile che quattro bambine comprino un cappellino bianco, (2) Daniela e Betta compreranno un cappellino dello stesso colore, (3) Almeno due bambine compreranno un cappellino bianco, (4) Almeno tre bambine compreranno un cappellino dello stesso colore. Tirare a indovinare Metodo matematico MENONE: Differenza fra retta opinione e Scienza Platone

Alice Betta Cecilia Daniela PROBLEMA: Quattro bambine, Alice, Betta, Cecilia e Daniela, decidono di comprare un cappellino a testa da un venditore che ha solo cappellini bianchi e neri. Compreranno il cappellino prima Alice, poi Betta, poi Cecilia e infine Daniela. Betta dice: “Se Alice lo comprerà bianco, anch’io lo comprerò bianco”. Cecilia dice: “Io lo comprerò dello stesso colore di Betta”. Daniela dice: “Se Alice lo comprerà nero, io lo comprerò dello stesso colore di Cecilia”. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? (1) E’ impossibile che quattro bambine comprino un cappellino bianco, (2) Daniela e Betta compreranno un cappellino dello stesso colore, (3) Almeno due bambine compreranno un cappellino bianco, (4) Almeno tre bambine compreranno un cappellino dello stesso colore. Alice Betta Cecilia Daniela (4) Almeno tre bambine compreranno un cappellino dello stesso colore

? Tirare a indovinare quale conviene? 16 possibilità PROBLEMA: Quattro bambine, Alice, Betta, Cecilia e Daniela, decidono di comprare un cappellino a testa da un venditore che ha solo cappellini bianchi e neri. Compreranno il cappellino prima Alice, poi Betta, poi Cecilia e infine Daniela. Betta dice: “Se Alice lo comprerà bianco, anch’io lo comprerò bianco”. Cecilia dice: “Io lo comprerò dello stesso colore di Betta”. Daniela dice: “Se Alice lo comprerà nero, io lo comprerò dello stesso colore di Cecilia”. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? (1) E’ impossibile che quattro bambine comprino un cappellino bianco, (2) Daniela e Betta compreranno un cappellino dello stesso colore, (3) Almeno due bambine compreranno un cappellino bianco, (4) Almeno tre bambine compreranno un cappellino dello stesso colore. ? Tirare a indovinare quale conviene? Alice Betta Cecilia Daniela 16 possibilità corrispondenti ai numeri binari da 0000 a 1111=15 "There are 10 types of people in this world: those who understand binary and those who don't"

(1) (2) (3) (4) Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? Alice Betta Cecilia Daniela Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? (1) Non succede che quattro bambine comprino un cappellino bianco, (2) Daniela e Betta compreranno un cappellino dello stesso colore, (3) Almeno due bambine compreranno un cappellino bianco, (4) Almeno tre bambine compreranno un cappellino dello stesso colore. (1) (2) (3) (4) 15 8 11 10 16 16 16 16

(1) (2) (3) (4) Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? Alice Betta Cecilia Daniela Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? (1) Non succede che quattro bambine comprino un cappellino bianco, (2) Daniela e Betta compreranno un cappellino dello stesso colore, (3) Almeno due bambine compreranno un cappellino bianco, (4) Almeno tre bambine compreranno un cappellino dello stesso colore. (1) (2) (3) (4) 15 - 16 8 - 16 11 - 16 11 - 16 2 2 2 2 50% 0,01% 0,3% 0,1%

Alice Betta Cecilia Daniela PROBLEMA: Quattro bambine, Alice, Betta, Cecilia e Daniela, decidono di comprare un cappellino a testa da un venditore che ha solo cappellini bianchi e neri. Compreranno il cappellino prima Alice, poi Betta, poi Cecilia e infine Daniela. Betta dice: “Se Alice lo comprerà bianco, anch’io lo comprerò bianco”. Cecilia dice: “Io lo comprerò dello stesso colore di Betta”. Daniela dice: “Se Alice lo comprerà nero, io lo comprerò dello stesso colore di Cecilia”. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? (1) E’ impossibile che quattro bambine comprino un cappellino bianco, (2) Daniela e Betta compreranno un cappellino dello stesso colore, (3) Almeno due bambine compreranno un cappellino bianco, (4) Almeno tre bambine compreranno un cappellino dello stesso colore. Alice Betta Cecilia Daniela (4) Almeno tre bambine compreranno un cappellino dello stesso colore

Alice Betta Cecilia Daniela PROBLEMA: Quattro bambine, Alice, Betta, Cecilia e Daniela, decidono di comprare un cappellino a testa da un venditore che ha solo cappellini bianchi e neri. Compreranno il cappellino prima Alice, poi Betta, poi Cecilia e infine Daniela. Betta dice: “Se Alice lo comprerà bianco, anch’io lo comprerò bianco”. Cecilia dice: “Io lo comprerò dello stesso colore di Betta”. Daniela dice: “Se Alice lo comprerà nero, io lo comprerò dello stesso colore di Cecilia”. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? (1) E’ impossibile che quattro bambine comprino un cappellino bianco, (2) Daniela e Betta compreranno un cappellino dello stesso colore, (3) Almeno due bambine compreranno un cappellino bianco, (4) Almeno tre bambine compreranno un cappellino nero. Alice Betta Cecilia Daniela 1) La prova consiste di 20 problemi; ogni domanda e seguita da cinque risposte indicate con le lettere A, B, C, D, E. 2) Una sola di queste risposte e corretta, le altre 4 sono errate.

Arturo Bino Carlo Dario L’isola dei cavalieri e dei furfanti F C V NO Vi abitano solo furfanti, che mentono sempre, e cavalieri, che dicono sempre il vero Un giornalista intervista quattro abitanti: Arturo, Bino, Carlo e Dario, che fanno le seguenti dichiarazioni. Arturo: “Bino è un furfante”; Bino: “Io sono l’unico cavaliere tra noi quattro”; Carlo: “Almeno uno tra Arturo e Dario è un furfante”; Dario: “Siamo 4 cavalieri”. Quanti tra i quattro sono cavalieri? (A) Nessuno, (B) uno, (C) due, (D) tre, (E) quattro. Arturo F Bino è un furfante Bino C Sono l’unico cavaliere V Carlo F NO Almeno uno fra Arturo e Dario è furfante V Dario F Siamo tutti cavalieri

Arturo Bino Carlo Dario L’isola dei cavalieri e dei furfanti C V F F C Vi abitano solo furfanti, che mentono sempre, e cavalieri, che dicono sempre il vero Un giornalista intervista quattro abitanti: Arturo, Bino, Carlo e Dario, che fanno le seguenti dichiarazioni. Arturo: “Bino è un furfante”; Bino: “Io sono l’unico cavaliere tra noi quattro”; Carlo: “Almeno uno tra Arturo e Dario è un furfante”; Dario: “Siamo 4 cavalieri”. Quanti tra i quattro sono cavalieri? (A) Nessuno, (B) uno, (C) due, (D) tre, (E) quattro. Arturo C Bino è un furfante V Bino F Sono l’unico cavaliere F Carlo C Almeno uno fra Arturo e Dario è furfante V Dario F F Siamo tutti cavalieri

Aldo Betta Carlo L’isola dei cavalieri e dei furfanti C V F V NO Nell’isola dei furfanti e cavalieri viene commesso un furto (ovviamente da parte di furfanti, che mentono sempre). Viene chiamato l’ispettore Craig di Londra, il quale interroga tre persone, fra le quali c’è sicuramente almeno un colpevole. Sappiamo anche che fra i tre c’è almeno un cavaliere, ma non sappiamo chi. Gli interrogati rispondono così: Aldo dice che Betta è colpevole, Betta conferma ciò che dice Aldo, Carlo afferma di essere innocente. Chi accusa del furto l’ispettore Craig? (A) Aldo (B) Betta (C) Carlo e Aldo (D) Carlo, Aldo e Betta. Aldo C Betta è colpevole V Betta F Aldo dice la verità V NO Carlo Io sono innocente

Aldo Betta Carlo L’isola dei cavalieri e dei furfanti F c F F i F C i Nell’isola dei furfanti e cavalieri viene commesso un furto (ovviamente da parte di furfanti, che mentono sempre). Viene chiamato l’ispettore Craig di Londra, il quale interroga tre persone, fra le quali c’è sicuramente almeno un colpevole. Sappiamo anche che fra i tre c’è almeno un cavaliere, ma non sappiamo chi. Gli interrogati rispondono così: Aldo dice che Betta è colpevole, Betta conferma ciò che dice Aldo, Carlo afferma di essere innocente. Chi accusa del furto l’ispettore Craig? (A) Aldo (B) Betta (C) Carlo e Aldo (D) Carlo, Aldo e Betta. Aldo F c Betta è colpevole F Betta F i Aldo dice la verità F Carlo C i Io sono innocente V Il colpevole è un furfante, ma non è detto che tutti i furfanti siano colpevoli!

L’isola dei cavalieri e dei furfanti Raymond Smullyan

Dopo uno scontro a fuoco con la polizia, è stato ucciso il famoso rapinatore John Morton, recente autore dell’audace furto alla National Bank, che ha fruttato un favoloso bottino. Un foglio trovato nella tasca di Morton rivela che il bottino è sepolto in un’isola dell’arcipelago delle Furfacav. L’arcipelago, è composto da due isole. Tutti i nativi sono cavalieri o furfanti e nessun nessun nativo abbandona mai la sua isola. Il foglio spiega che il bottino si trova nell’unica isola Furfacav che ha un numero pari di cavalieri. ispettore Craig L’ispettore Craig viene mandato nell’arcipelago delle Furfacav, per recuperare il bottino. Appena arrivato in una delle due isole, l’ispettore interroga un nativo, ma non è dato di sapere se si tratta di un cavaliere o un furfante. Il nativo afferma che sull’isola c’è un numero pari di furfanti. Craig ci riflette, ma da questa sola informazione non è in grado di capire se il bottino è nascosto nell’isola in cui è arrivato o nell’altra. Chiede pertanto al nativo se il numero di nativi presenti sull’isola è pari o no. Il nativo risponde. Può Craig concludere in quale isola è il bottino?

furfante cavaliere furfante cavaliere Il bottino è nell’unica isola che ha un numero pari di cavalieri. Il nativo dice che sulla sua isola c’è un numero pari di furfanti. Craig chiede al nativo se il numero di nativi dell’isola è pari. Il nativo risponde. Nessun nativo abbandona mai la sua isola. risposta: pari furfante L’isola ha un numero dispari di furfanti e un numero dispari di furfanti + cavalieri L’isola ha un numero pari di cavalieri. Il bottino c’è. cavaliere L’isola ha un numero pari di furfanti e un numero pari di furfanti + cavalieri L’isola ha un numero pari di cavalieri. Il bottino c’è. risposta: dispari furfante L’isola ha un numero dispari di furfanti e un numero pari di furfanti + cavalieri L’isola ha un numero dispari di cavalieri. Il bottino non c’è. cavaliere L’isola ha un numero pari di furfanti e un numero dispari di furfanti + cavalieri L’isola ha un numero dispari di cavalieri. Il bottino non c’è.

Aldo Betta Carlo Aldo Betta Carlo dal Diario dell’ispettore Craig ‘Sto cercando di catalogare il tipo (furfante o cavaliere) di tutti i nativi delle Furfacav. Oggi ho incontrato tre di loro, Aldo, Betta e Carlo, che mi hanno fatto delle affermazioni sul loro tipo. Aldo ha detto : io sono un cavaliere. Betta ha detto: Carlo è un furfante. Carlo ha detto: Aldo e Betta sono dei Sono stato pertanto in grado di catalogare di che tipo sono Aldo, Betta e Carlo.’ Anche se la macchia ci impedisce di leggere una risposta, si determini di che tipo sono i tre nativi (e cosa ha detto Carlo). Aldo F Io sono un cavaliere F «furfanti» Betta F Carlo è furfante F Carlo C Aldo e Betta sono furfanti V Aldo C F Io sono un cavaliere V F Betta C Carlo è furfante V Carlo F Aldo e Betta sono furfanti F

Aldo Betta Carlo Aldo Betta Carlo dal Diario dell’ispettore Craig ‘Sto cercando di catalogare il tipo (furfante o cavaliere) di tutti i nativi delle Furfacav. Oggi ho incontrato tre di loro, Aldo, Betta e Carlo, che mi hanno fatto delle affermazioni sul loro tipo. Aldo ha detto : io sono un cavaliere. Betta ha detto: Carlo è un furfante. Carlo ha detto: Aldo e Betta sono dei Sono stato pertanto in grado di catalogare di che tipo sono Aldo, Betta e Carlo.’ Anche se la macchia ci impedisce di leggere una risposta, si determini di che tipo sono i tre nativi (e cosa ha detto Carlo). Aldo «cavalieri» Io sono un cavaliere Betta C Carlo è furfante F NO Carlo C Aldo e Betta sono cavalieri V Aldo F Io sono un cavaliere F Betta C Carlo è furfante V Carlo F Aldo e Betta sono cavalieri F

è autoreferenziale L’isola dei cavalieri e dei furfanti In un’isola abitano solo furfanti, che mentono sempre, e cavalieri, che dicono sempre la verità. Un giornalista intervista quattro abitanti: Arturo, Bino, Carlo e Dario, che fanno le seguenti dichiarazioni. Arturo: “Bino è un furfante”; Bino: “Io sono l’unico cavaliere tra noi quattro”; Carlo: “Almeno uno tra Arturo e Dario è un furfante”; Dario: “Siamo 4 cavalieri”.

Paradosso del cretese Tutti i cretesi sono bugiardi Epimenide

Tutti i cretesi sono bugiardi vera falsa anche Epimenide, essendo cretese, sarebbe bugiardo non è vero che tutti i cretesi sono bugiardi c'è almeno un cretese non bugiardo un bugiardo avrebbe detto una cosa vera (ma non è Epimenide) contraddizione ok

? (a) (b) (c) (d) Giochi di Archimede ---- 2003 (a) In questo rettangolo c‘è esattamente una affermazione falsa. (b) In questo rettangolo ci sono esattamente due affermazioni false. (c) In questo rettangolo ci sono almeno tre affermazioni false. (d) In questo rettangolo ci sono al più tre affermazioni false. PROBLEMA: Quante affermazioni vere ci sono nel rettangolo? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4. (a) ? (b) (c) (d) terzo escluso

? terzo escluso O vale la proprietà P, oppure non vale la proprietà P O Gigi studia, oppure Gigi non studia O questo foglio è bianco, oppure non è bianco O questo foglio è bianco, oppure è nero O si vince, o si perde O un’affermazione è vera, oppure non è vera ? O un’affermazione è vera, oppure è falsa

? ? O un’affermazione è vera, oppure è falsa non è né vera né falsa In questo rettangolo c‘è una affermazione falsa non è né vera né falsa Se l’affermazione è vera, ciò che dice è vero, quindi è falsa ? Se l’affermazione è falsa, ciò che dice è falso, quindi è vera ci sono frasi INDECIDIBILI tipicamente frasi AUTOREFERENZIALI (a) L’affermazione (b) è vera (b) L’affermazione (a) è falsa se (a) è vera, allora (b) è vera, quindi (a) è falsa INDECIDIBILI se (a) è falsa, allora (b) è falsa, quindi (a) è vera

In questo rettangolo c‘è almeno una frase falsa COME DIMOSTRARE DI TUTTO (o quasi) In questo rettangolo c‘è almeno una frase falsa Il Professor Luca Chiantini esiste Il Liceo «G. Galilei» di Siena esiste La prima frase non può essere falsa, altrimenti davvero nel rettangolo ci sarebbe almeno una frase falsa, quindi la prima frase direbbe la verità. Quindi la prima frase è vera. Allora davvero nel rettangolo c’è almeno una frase falsa (ma non è la prima). PERTANTO o Luca Chiantini non esiste o il Liceo «Galilei» non esiste ma non si sa chi dei due non esiste (potrebbero anche non esistere entrambi)

un'applicazione della autoreferenzialità In una Università italiana, alcuni professori, esasperati dai continui tagli al finanziamento, decidono di scioperare. Come forma di protesta, gli scioperanti sarebbero andati in aula a raccontare solo ENUNCIATI FALSI. Naturalmente, in quella Università, accanto ad ottimi professori bravi, c'erano anche diversi professori "asini" .....

Pertanto, in quella Università, si sono formati quattro tipi di docenti i professori bravi e non-scioperanti (BN) Costoro, ben sapendo quali enunciati sono veri, ligi al loro compito, proclamano in aula solo ENUNCIATI VERI i professori bravi e scioperanti (BS) Costoro, pur sapendo quali enunciati sono veri, per protesta, proclamano in aula solo ENUNCIATI FALSI i professori asini e non-scioperanti (AN) Costoro vorrebbero raccontare enunciati veri, ma siccome sono asini, finiscono per proclamare ENUNCIATI FALSI i professori asini e scioperanti (AS) Costoro vorrebbero raccontare enunciati falsi, ma siccome sono asini, si confondono e proclamano ENUNCIATI VERI

La protesta giunge alle orecchie di qualche impiegato ministeriale che avverte subito i suoi superiori. Si riuniscono immediatamente al Ministero e decidono che - tutti i professori dovrebbero essere bravi e non scioperare. - tuttavia, è ammissibile la presenza di professori asini, purchè non si mettano a fare proteste. - per evitare di apparire troppo autoritari, si può accettare la presenza di qualche professore che sciopera, purchè sia bravo. - ma la presenza di professori che, oltre ad essere asini, protestano anche, è assolutamente INTOLLERABILE!

Altrimenti vi commissariamo!" Detto questo, la Ministra prende carta e penna, poi accende il computer e manda una e-mail al Rettore: "Smascherare immediatamente i professori asini che stanno facendo sciopero! Altrimenti vi commissariamo!" Il Rettore, molto preoccupato, manda subito i suoi agenti nelle aule in cui si fa lezione, per operare lo smascheramento. Quale domanda devono porre in aula ai professori gli agenti del Rettore della piccola Università, per scoprire i professori asini che scioperano ed evitare il commissariamento?

AUTOREFERENZIALITA' problema enunciati veri e e enunciati falsi come distinguere dentro le due coppie? SOLUZIONE AUTOREFERENZIALITA'

SOLUZIONE: Mi dica, lei è un professore bravo che non sciopera? i professori bravi e non-scioperanti (BN) Se lo dico loro, la frase è vera. Siccome raccontano enunciati veri, la risposta è SI'. i professori bravi e scioperanti (BS) Se lo dico loro, la frase è falsa. Siccome raccontano enunciati falsi, la risposta è SI'. i professori asini e non-scioperanti (AN) Se lo dico loro, la frase è falsa. Siccome raccontano enunciati falsi, la risposta è SI'. i professori asini e scioperanti (AS) Se lo dico loro, la frase è falsa. Siccome raccontano enunciati veri, la risposta è NO.

giochi di cappelli Douglas Hofstadter Alice Betta Alice Betta

giochi di cappelli Cecilia Alice Betta Cecilia Alice Betta sai che colore ha il TUO cappellino? Cecilia Alice Betta

N ragazze con N cappellini bianchi e N-1 cappellini neri sai che colore ha il TUO cappellino? NO NO NO SI Alice Betta Cecilia Daniela N ragazze con N cappellini bianchi e N-1 cappellini neri

N ragazze con N cappellini bianchi e N-1 cappellini neri sai che colore ha il tuo cappellino? NO NO SI SI Alice Betta Cecilia Daniela N ragazze con N cappellini bianchi e N-1 cappellini neri

N ragazze con N cappellini bianchi e N-2 cappellini neri sai che colore ha il TUO cappellino? NO NO SI SI Alice Betta Cecilia Daniela N ragazze con N cappellini bianchi e N-2 cappellini neri

in cosa consiste in realtà il gioco? a chi dice prima pio in cosa consiste in realtà il gioco? frase con significato a chi dice prima pio puro suono livello 1 a chi dice prima pio pio livello 0

frase che parla del significato di frasi meta-frase livello 2 In questo rettangolo c‘è almeno una frase falsa Il Professor Luca Chiantini esiste Il Liceo «G. Galilei» di Siena esiste livello 1 livello 1 = frasi che parlano di oggetti livello 2 = meta-frasi nel rettangolo ci sono 2 frasi vere e una meta-frase falsa quindi non ci sono frasi false e non c’è contraddizione

solo meta-frasi sono autorizzate a parlare del significato di frasi Se si dice che: «i teoremi della Geometria sono facili» non stiamo parlando di Geometria, ma dei teoremi (affermazioni) sulla Geometria. Rispetto alla Geometria abbiamo fatto una meta-affermazione e se qualcuno dice che: «l’affermazione qui sopra è falsa» sta facendo una affermazione su una meta-affermazione, quindi una meta-meta-affermazione (livello 3) e così via ... come primo desiderio, vorrei poter esprimere 100 desideri puoi esprimere 3 desideri quello è un meta-desiderio (e ti serve una meta-lampada)

Quanto affermato nel rettangolo è falso si può assegnare il valore di verità a qualche affermazione solo dopo che si è stabilito il livello frase meta-frase Quanto affermato nel rettangolo è falso meta-meta-frase ... (1) - la (2) qui sotto è falsa 1 è frase 2 è meta-frase 1 è meta-meta-frase ... (2) - la (1) qui sopra è vera

Come spieghereste al computer il gioco I computer, che stanno dominando il mondo, sono un ottimo banco di prova per valutare i ragionamenti perché i computer sono profondamente stupidi quindi se riuscite a spiegare qualcosa a un computer, vuol dire che il vostro grado di comprensione dell’argomento è totale Come spieghereste al computer il gioco a chi dice prima pio ?

a chi dice prima ‘‘pio’’ Come spieghereste al computer il gioco a chi dice prima pio ? a chi dice prima ‘‘pio’’ le virgolette servono a segnalare che si tratta di una semplice stringa a chi dice prima ‘‘Giuseppe’’ a chi dice prima la parola pio a chi dice prima la parola ‘‘pio’’ a chi dice prima ‘‘la parola pio’’ A = pio A = ‘‘pio’’

Il gioco consiste in questo: ‘‘pronunciare prima degli altri quindi sarò anche strullo, ma non mi ci fregate NOT SO EASY ... salire di due livelli: Il gioco consiste in questo: ‘‘pronunciare prima degli altri la parola ‘pio’ ’’ PHP win win document win file dati file di sistema (1) la frase qui sotto è falsa (2) la frase qui sopra è vera

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a chi dice prima per primo a chi dice prima pio a chi dice prima per primo a chi dice prima poi

Grazie per l’attenzione Alice Betta Cecilia Daniela ciao