Avviare la presentazione col tasto “Invio” Lezione II Avviare la presentazione col tasto “Invio” Nichi D'Amico

x = 4 m (una cifra significativa) ACCURATEZZA DELLE MISURE E CIFRE SIGNIFICATIVE Con il migliorare della qualità della strumentazione moderna, aumenta l’accuratezza delle nostre misure delle grandezze fisiche. Questo significa che il numero di cifre significative con le quali esprimiamo i risultati delle nostre misure (e dei calcoli che ne seguono), aumenta. Ma cosa si intende per cifre significative ? Se esprimiamo una data misura di lunghezza come segue: x = 4 m (una cifra significativa) stiamo in sostanza affermando che la lunghezza in questione è compresa fra 3 e 5 metri, in quanto NON stiamo fornendo alcune informazioni sui decimetri o su centimetri. E anche se scrivessimo x = 0,004 km il numero di cifre significative non cambierebbe (anche se ne abbiamo usato di più) Se invece scriviamo x = 4, 0 m stiamo affermando che la lunghezza in questione è di 4 m e 0 decimetri, e di conseguenza l’incertezza è al livello dei centimetri. Nichi D'Amico

o in modo equivalente se scriviamo x = 0,0040 km stiamo affermando che la lunghezza in questione è di 4 metri e 0 decimetri, e di conseguenza l’incertezza è al livello dei centimetri. Quindi: Prima regola: il numero di cifre significative è il numero di cifre che contando da sinistra risultano successive agli zeri, troncando quelle di valore incerto oltre alla prima diversa da zero. Nichi D'Amico

Seconda regola: Moltiplicando o dividendo più fattori, il numero di cifre significative con cui va rappresentato il risultato NON deve contenere più cifre significative del fattore meno preciso: 2,6 x 3, 12345 = 8,1 Terza regola: Nelle addizioni e sottrazioni, dando significato per ciascun addendo alla sua ultima cifra significativa, nel risultato sono da considerare incerte tutte le cifre che occupano una posizione di incertezza in uno qualsiasi degli addendi: 10,9 250,31 2,315 263, 525  263,5 Nichi D'Amico

[ x ] = L (simbolo della dimensione della lunghezza x) ANALISI DIMENSIONALE Indicheremo le dimensioni di una grandezza fisica racchiudendola tra parentesi quadre. Per esempio: [ x ] = L (simbolo della dimensione della lunghezza x) [ t ] = T (simbolo della dimensione del tempo t) Allora risulta per esempio che la dimensione della grandezza fisica velocità v, che come vedremo si misura in metri al secondo (m/s) sarà [ v ] = L / T ovvero LT-1 Vedremo durante il corso l’utilità di fare un’analisi dimensionale delle equazioni, cioè verificare la coerenza dimensionale dei due termini Nichi D'Amico

GRANDEZZE SCALARI E GRANDEZZE VETTORIALI Ripensando agli esperimenti che abbiamo immaginato a proposito della quantità di moto, ci rendiamo conto che in Fisica esistono sia: grandezze scalari o più semplicemente uno scalare che grandezze vettoriali o più semplicemente un vettore Per grandezza scalare intendiamo una grandezza fisica identificata semplicemente da un valore numerico: per esempio fra quelle che abbiamo già trattato nei nostri esperimenti, la massa. Diremo quindi la massa è uno scalare. Per grandezza vettoriale intendiamo invece una grandezza fisica che oltre ad un valore numerico, necessita anche della individuazione di una direzione e un verso, per esempio fra quelle che abbiamo già trattato nei nostri esperimenti, la velocità. Diremo quindi che la velocità è un vettore Nichi D'Amico

Proprietà dei vettori Le proprietà dei vettori possono essere facilmente descritte ricorrendo alla loro rappresentazione grafica. Prendiamo in considerazione il vettore «spostamento» Supponiamo di muoverci verso Est per 3km a partire da una posizione iniziale «0». Possiamo indicare questo spostamento nel grafico di seguito come segue: N O W E 1 km Nichi D'Amico S

Immaginiamo quindi di svoltare di 30 gradi a sinistra e di spostarci lungo questa nuova direzione di altri 5 km. Siamo in contatto radio coi nostri corrispondenti fermi al punto «0». Per farci raggiungere dobbiamo necessariamente descrivere il percorso che abbiamo fatto, o possiamo piuttosto indicare un percorso diretto ? N 30° O W E 1 km Nichi D'Amico 8 S

Immaginiamo quindi di svoltare di 30 gradi a sinistra e di spostarci lungo questa nuova direzione di altri 5 km. Siamo in contatto radio coi nostri corrispondenti fermi al punto «0». Per farci raggiungere dobbiamo necessariamente descrivere il percorso che abbiamo fatto, o possiamo piuttosto indicare un percorso diretto ? Ok, graficamente è semplice ma come ricavare la lunghezza (modulo) e l’angolo del vettore risultante ? (che sono poi le grandezze da comunicare ai nostri corrispondenti!) N 30° O W E 1 km Nichi D'Amico 9 S

Componenti dei vettori Possiamo individuare un vettore indicandone il modulo (la lunghezza), la direzione e il verso: y a φ x O Nichi D'Amico

y a ay φ x ax ax = a cos ( ) ay = a sin ( ) φ φ Possiamo individuare un vettore indicandone il modulo (la lunghezza), la direzione e il verso: y a ay φ x ax O Le componenti lungo l’asse x e l’asse y saranno rispettivamente: ax = a cos ( ) ay = a sin ( ) φ φ Nichi D'Amico

φ ax = a cos ( ) ay = a sin ( ) φ φ a = ax 2 + ay2 tan = ay / ax Quindi, conoscendo a e possiamo determinare ax e ay ax = a cos ( ) ay = a sin ( ) Viceversa, conoscendo ax e ay possiamo determinare a e φ φ φ 12 a = ax 2 + ay2 tan = ay / ax Nichi D'Amico

Vettori unitari (versori) I versori sono vettori unitari (modulo = 1 ) che hanno direzione e verso di ciascuno degli assi cartesiani e vengono indicati con i simboli i e j rispettivamente: y j x i O Adottando questo formalismo, possiamo scrivere il vettore a come: a = ax i + ay j Nichi D'Amico

Vogliamo definire il vettore s = a + b E torniamo adesso al quesito da cui eravamo partiti: la somma vettoriale Vogliamo definire il vettore s = a + b E’ intuitivo rendersi conto che, posto s = sx i + s y j Risulta: sx = ax + bx sy = ay + by N 30° O W E 1 km Nichi D'Amico 14 14 S

Ecco i dati da comunicare ai nostri corrispondenti fermi al punto «0» s = sx 2 + sy2 tan = sy / sx Nichi D'Amico

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare y y a a φ φ x x O O Moltiplicare un vettore per uno scalare, significa semplicemente variarne il modulo Nichi D'Amico

Prodotto scalare di due vettori Dati due vettori A e B: A θ B Definito θ l’angolo fra i due vettori, si definisce prodotto scalare di A e B A • B = A x B cos (θ) Cioè il prodotto del modulo di A per il modulo di B per il coseno dell’angolo. Nichi D'Amico

Prodotto vettoriale di due vettori Lo vedremo più avanti quando ne troveremo un’applicazione in Fisica Nichi D'Amico

Lezione II - seconda parte Avviare la presentazione col tasto “Invio” © Nichi D'Amico

(descrizione quantitativa del moto dei corpi) Cinematica (descrizione quantitativa del moto dei corpi) Adesso riprenderemo una serie di concetti e di grandezze fisiche di cui abbiamo già parlato e di cui abbiamo già fatto uso sia pure empiricamente e ne daremo la definizione formale e operativa. In particolare: Posizione Spostamento Velocità Accelerazione Lo faremo prima per il caso unidimensionale e poi per i moti in due o tre dimensioni L’oggetto di cui studieremo il moto sarà un «punto materiale», cioè uno oggetto privo di estensioni e quindi privo di fenomeni vibrazionali o rotazionali © Nichi D'Amico

Moto in una dimensione Posizione Spostamento Velocità Accelerazione © Nichi D'Amico

in un «universo unidimensionale» Posizione La posizione di un punto materiale in una dimensione è la sua coordinata sull’asse di riferimento x1 x O Quindi: di quante informazioni abbiamo bisogno per definire la posizione di un punto materiale ? Una sola: x1 Quindi la posizione in un «universo unidimensionale» è in linea di principio semplicemente uno scalare © Nichi D'Amico

Non c’è dubbio però che la posizione di un punto materiale può anche essere definita come un vettore r1 x1 x O Nel caso in questione il vettore r1 ha modulo x1 ed è orientato secondo il versore i r1 = x1 i Questa è la definizione che spesso adotteremo, sia perché la formulazione è più elegante, sia perché la cosa ci tornerà utile quando passeremo dalla trattazione del caso unidimensionale al caso a due o tre dimensioni © Nichi D'Amico

Spostamento Supponiamo che il nostro punto materiale si sposti dal punto x1 al punto x2 x1 x2 x O Di quante informazioni abbiamo bisogno per definire lo spostamento del punto materiale ? Posizione originaria Entità dello spostamento Direzione e verso Quindi lo spostamento è comunque un vettore, anche nel caso di un universo unidimensionale x1 x2 x O O © Nichi D'Amico

Δr = r2 - r1 r1 x1 x r2 x2 x Δr = r2 - r1 x1 x2 x Nel formalismo che abbiamo adottato per la definizione della posizione, e cioè un formalismo vettoriale, lo spostamento altro non è che la variazione Δr del vettore posizione r Δr = r2 - r1 r1 x1 x O r2 x2 x O Δr = r2 - r1 x1 x2 x O © Nichi D'Amico

v = Δr / Δt m / s Velocità Δr = r2 - r1 x1 x2 x Δt La velocità di un punto materiale è la rapidità con cui la sua posizione cambia nel tempo Quindi: se il nostro punto materiale effettua il suo spostamento da x1 a x2 in un Intervallo di tempo Δt: Δr = r2 - r1 x1 x2 x O O Tempo impiegato Δt definiremo la velocità media come: v = Δr / Δt m / s La velocità così definita è detta velocità media in quanto la misura dello spostamento Δr e del tempo trascorso Δt non ci danno informazioni sull’effettivo moto effettuato dal punto materiale fra i punti x1 e x2 ed è un vettore, in quanto risulta dal rapporto fra un vettore (lo spostamento) ed uno scalare (il tempo). © Nichi D'Amico

? v = Δr / Δt Velocità istantanea x Δr Δt La definizione di velocità media può essere utile, ma non ci aiuta a descrive i dettagli del movimento del nostro punto materiale. Si noti per esempio che se durante l’intervallo di tempo Δt il punto materiale in questione torna al punto di partenza, la sua velocità media durante quell’intervallo di tempo risulta pari a zero. Siamo quindi certamente interessati alla definizione di velocità istantanea così da potere ottenere informazioni per esempio su un moto del genere: Δr x O Come ottenere informazioni più dettagliate del semplice rapporto: ? v = Δr / Δt Δt Tempo t © Nichi D'Amico

x O Δr1 Δt1 Tempo t v1 = Δr1 / Δt1 © Nichi D'Amico

x O Δr2 Δt2 Tempo t v2 = Δr2 / Δt2 © Nichi D'Amico

x O Δr3 Δt3 Tempo t v3 = Δr3 / Δt3 © Nichi D'Amico

x O Δr4 Δt4 Tempo t v4 = Δr4 / Δt4 © Nichi D'Amico

x O Δr5 Δt5 Tempo t v5 = Δr5 / Δt5 © Nichi D'Amico

x O Δr6 Δt6 Tempo t v6 = Δr6 / Δt6 © Nichi D'Amico

x O Δr7 Δt7 Tempo t v7 = Δr7 / Δt7 © Nichi D'Amico

x O Δr8 Δt8 Tempo t v8 = Δr8 / Δt8 © Nichi D'Amico

Possiamo rifare questo esperimento, adottando intervalli consecutivi di tempo Δti sempre più piccoli, ottenendo così informazioni sempre più dettagliate sulla velocità media vi durante ogni istante di tempo. x x Tempo t Tempo t © Nichi D'Amico

v = lim ( Δr/Δt ) m / s x = v t x x Ad un dato istante t si definisce velocità istantanea v il valor limite a cui tende il rapporto Δr / Δt quando Δt tende a zero: v = lim ( Δr/Δt ) m / s Δt→0 x = v t x x Δt→0 In ogni punto, la velocità istantanea è il coefficiente angolare della retta tangente la curva x(t) Tempo t Tempo t © Nichi D'Amico

v = lim ( Δr/Δt ) dr d dx dy dz v = = (xi + yj + zk) = i + j + k dt dt Il limite: v = lim ( Δr/Δt ) è la definizione matematica di derivata: v = dr/dt che nel caso unidimensionale in questione si riduce a: vx = dx/dt mentre in generale la derivata di un vettore in uno spazio tridimensionale (x,y,z) sarà data dalla somma delle derivate delle sue componenti: dr d dx dy dz v = = (xi + yj + zk) = i + j + k dt dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k © Nichi D'Amico

Lezione II – terza parte Avviare la presentazione col tasto “Invio” © Nichi D'Amico

Accelerazione a = (v2 – v1) / (t2 – t1) = m / s2 Δv / Δt Come abbiamo visto, in generale la velocità istantanea di un punto materiale in movimento può cambiare nel tempo, e questo porta alla definizione di un’altra grandezza fisica: l’accelerazione. Così come la velocità esprime la rapidità con cui il punto materiale cambia la sua posizione, l’accelerazione esprime la rapidità con cui il punto materiale cambia la sua velocità. Se un punto materiale ad un dato istante t1 si muove con velocità v1 e ad un altro dato istante t2 si muove con velocità v2 l’accelerazione media a è data dal rapporto: a = (v2 – v1) / (t2 – t1) = m / s2 Δv / Δt © Nichi D'Amico

Osservando di nuovo il fenomeno con maggiore risoluzione temporale, misurando cioè l’accelerazione in intervalli di tempo Δt sempre più piccoli, perveniamo alla definizione di accelerazione istantanea: a = lim ( Δv/Δt ) m / s2 Δt→0 v In sostanza, l’accelerazione istantanea tiene conto della rapidità con cui cambia nel tempo il coefficiente angolare della tangente alla curva v(t). Tempo t © Nichi D'Amico 41

a = lim ( Δv/Δt ) dv d dvx dvy dvz a = = (vxi + vyj + vzk) = i + j + k Anche in questo caso il limite: a = lim ( Δv/Δt ) è la definizione matematica di derivata: a = dv/dt che nel caso unidimensionale in questione si riduce a: ax = dvx/dt Anche in questo caso, in generale la derivata di un vettore in uno spazio tridimensionale (x,y,z) sarà data dalla somma delle derivate delle sue componenti: dv d dvx dvy dvz a = = (vxi + vyj + vzk) = i + j + k dt dt dt dt dt a = ax i + ay j + az k © Nichi D'Amico

ax = dvx /dt ay = dvy /dt az = dvz /dt Dalle relazioni: ax = dvx /dt ay = dvy /dt az = dvz /dt e dalle: vx = dx /dt vy = dy /dt vz = dz /dt Risulta: ax = dvx /dt = d2x /dt2 ay = dvy /dt = d2y /dt2 az = dvz /dt = d2z /dt2 Risulta quindi che l’accelerazione è la derivata seconda della posizione © Nichi D'Amico

CINEMATICA UNIDIMENSIONALE Formule e grafici Ricapitolando: in cinematica unidimensionale, il nostro «universo» è costituito da una retta, nella quale sono definiti un punto zero arbitrario, origine, una direzione e un verso: Il nostro punto si muove SOLO lungo questa retta: può variare la velocità, invertire il senso di marcia, ma comunque il suo moto avviene solo lungo la retta. © Nichi D'Amico

del nostro punto materiale lungo la retta in questione. Possiamo quindi definire una variabile x(t) che rappresenta ad ogni istante la posizione del nostro punto materiale lungo la retta in questione. Adottiamo un sistema di assi cartesiani, ponendo x (t) come variabile dipendente sull’asse delle ordinate, e t come variabile indipendente sull’asse delle ascisse. x(t) t © Nichi D'Amico

In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: Primo esempio: il nostro punto materiale è fermo in una posizione A A In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: x(t) = A E la sua rappresentazione grafica è una retta orizzontale x(t) A t © Nichi D'Amico

In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: Secondo esempio: il nostro punto materiale si muove a velocità costante v = dx/dt = B A In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: x(t) = A + Bt dove v x = dx/dt = B E la sua rappresentazione grafica è una retta con coefficiente angolare B x(t) A t © Nichi D'Amico

In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: Terzo esempio: il nostro punto materiale si muove con accelerazione costante a = d2x/dt2 A In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: x(t) = A + Bt + Ct2 Dalle due definizioni: v = dx/dt a = dv /dt Si ha: a = d2x/dt2 = 2C x(t) = x0 + v0 t + ½ at2 Pendenza > B x(t) Pendenza = B A t © Nichi D'Amico

In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: Quarto esempio: il nostro punto materiale si muove di moto oscillante A - A In questo caso, l’equazione del moto è la seguente: x(t) = A cos (ωt) E la sua rappresentazione grafica è la corrispondente funzione trigonometrica x(t) A t © Nichi D'Amico - A

Moto di un corpo in caduta libera Un dato sperimentale: tutti i corpi, indipendentemente dalla loro forma, dimensione, sostanza, etc… cadono per terra con la medesima accelerazione. Apparentemente questo potrebbe sembrarci semplicemente falso, perché nel nostro immaginario, una foglia e una biglia acquisiscono accelerazioni differenti nella caduta a terra. In effetti normalmente nella nostra esperienza quotidiana, i corpi NON sono in caduta libera L’aria è un fluido: la foglia in pratica galleggia in questo fluido, mentre la biglia, soprattutto se di piccole dimensioni, risente poco dell’attrito con l’aria. Ma nel vuoto tutti i corpi in caduta libera acquisiscono la stessa accelerazione g © Nichi D'Amico

y a = costante = -g y = y0 + v0t – ½ gt 2 In prossimità della superficie terrestre, g = 9.8 m / s2 Definiamo allora il nostro sistema di riferimento e applichiamo le equazioni del moto Assumiamo come asse la direzione verticale y e fissiamone il verso positivo verso l’alto. y a = costante = -g In analogia con quanto abbiamo già discusso, le equazioni del moto saranno pertanto: y = y0 + v0t – ½ gt 2 © Nichi D'Amico

Esempio 1 Consideriamo un punto materiale che effettua un moto particolare lungo l’asse x. Supponiamo per esempio che la particella parta da un punto P localizzato a 1m dall’origine e si sposti verso il punto Q localizzato a 5 m dall’origine e quindi torni indietro al punto R a 2 m dall’origine. E supporremo che il tutto si concluda in 4 secondi P R Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x Lo spostamento totale è di un metro nella direzione positiva dell’asse x: ΔS = 1 m Il tempo impiegato è 4 secondi: Δt = 4 s La velocità media è: v = ΔS / Δt = 0,25 m/s nella direzione positiva dell’asse x

Per stimare la velocità istantanea dobbiamo procedere diversamente Per stimare la velocità istantanea dobbiamo procedere diversamente. Definiamo un sistema di assi cartesiani per x e t. Lo spostamento in questo sistema di assi sarà descritto da una curva così. x Q 1 2 3 4 5 6 m R P t 1 2 3 4 sec

La velocità istantanea in ogni punto si ricava come la pendenza della retta tangente in quel dato punto. Così per esempio nel punto Q la velocità istantanea è zero x Q v = dx / dt = 0 1 2 3 4 5 6 m R P t 1 2 3 4 sec

x Q S R E come si calcola ? P t Nel punto S, indicato in verde, la velocità sarà la pendenza della tangente alla curva nello stesso punto: x Q 1 2 3 4 5 6 m S R E come si calcola ? P t 1 2 3 4 sec

In questa retta, individuiamo due punti, per esempio A (t=2s ; x = 7,3m) e B (t=4s; x = 2,5m) 1 2 3 4 sec

A x Δx Δx = -4,8m Δt = 2 s S v = Δx / Δt = -2,4 m/s B Δt t E calcoliamo la pendenza (coefficiente angolare) di questa retta: A x Δx Δx = -4,8m Δt = 2 s 1 2 3 4 5 6 m S v = Δx / Δt = -2,4 m/s B Δt t 1 2 3 4 sec

A x Δx Δx = -4,8m Δt = 2 s S v = Δx / Δt = -2,4 m/s B Δt t Che cosa è questa v = Δx / Δt = -2,4 m/s ? A x Δx Δx = -4,8m Δt = 2 s 1 2 3 4 5 6 m S v = Δx / Δt = -2,4 m/s B Δt La velocità v così calcolata è la velocità di un punto materiale che si muove a velocità costante fra A e B e che nel punto S ha ovviamente la stessa velocità del nostro punto materiale di prima. t 1 2 3 4 sec

In modo del tutto analogo possiamo calcolare la velocità istantanea in qualsiasi punto ! x Q 1 2 3 4 5 6 m R P t 1 2 3 4 sec

Esempio 2 E facile intuire che il moto lungo l’asse x dell’esercizio precedente avviene con accelerazione variabile: P R Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x Si pone allora il problema di calcolare anche l’accelerazione istantanea.

Poiché l’accelerazione istantanea è a = dv / dt, risulta intuitivo che dobbiamo prima ricavare la funzione v(t). Per fare questo, calcoliamo la velocità istantanea vi (ti) in numero di punti sufficientemente elevato. x Q R P t 1 2 3 4 sec

Definiamo un sistema di assi cartesiani per vx e t, e riportiamo i valori delle velocità istantanee calcolate nei vari punti e operiamo una interpolazione grafica vx P S Q W -8 -4 0 4 m/s R t 1 2 3 4 sec

La linea curva che abbiamo individuato nel piano (vx , t) altro non è che la rappresentazione grafica della velocita del punto materiale in funzione del tempo vx (t). vx -8 -4 0 4 m/s t 1 2 3 4 sec

Di questa funzione vx(t) potremo calcolare l’accelerazione istantanea punto per punto ricordando che a = dv /dt è la pendenza della retta tangente in ogni punto vx -8 -4 0 4 m/s t 1 2 3 4 sec

Esempio 3 Consideriamo un moto unidimensionale (trattabile quindi con formalismo puramente scalare) con accelerazione a = costante x Abbiamo imparato che se a = costante: La velocità v cresce linearmente col tempo t: v = v0 + at Lo spostamento x cresce quadraticamente col tempo t: x = v0t + ½ a t2

a = costante (pendenza della curva = 0) Quindi se definiamo dei piani cartesiani in cui raffigurare graficamente l’andamento delle tre grandezze fisiche in questione in funzione del tempo , otterremo quanto segue: a a = costante (pendenza della curva = 0) v cresce linearmente col tempo (pendenza della curva = costante) x cresce quadraticamente col tempo, la pendenza della curva cresce uniformemente col tempo t v t x t

v = dx/dt = d/dt (v0t) + d/dt (½ a t2) = vo + at Nel Corso di Analisi Matematica imparerete a calcolare le derivate di alcune semplici funzioni: Funzione y = f(x) Derivata dy / dx y = k dy/dx = 0 y = k x dy/dx = k y = kx2 dy/dx = 2kx Come abbiamo visto, l’equazione dello spostamento x in funzione del tempo t è una parabola: x = v0t + ½ a t2 e applicando le regole sulle derivate, ricaviamo che: v = dx/dt = d/dt (v0t) + d/dt (½ a t2) = vo + at Ed eseguendo la derivata su v: dv/dt = a = costante

Esempio 4 La velocità di una automobile che viaggia in direzione ovest si riduce uniformemente da 45 km/h a 30 km/h in una distanza di 100 m. 1° Quesito: qual è il valore della accelerazione costante ? Possiamo ridurre il calcolo al caso scalare: una autovettura che si muove lungo l’asse x 30 km/h 45 km/h x 100 m

(v –v0)/a = 2x/(v0+v)  a = (v –v0)/(2x /(v0+v)) Sappiamo che: v = v0 + at Conosciamo v = 30 km/h, e conosciamo v0 = 45 km/h, tuttavia il dato che ci viene fornito NON è il tempo t in cui avviene la variazione di velocità, ma lo spostamento x = 100 m = 0,100 km. Risolviamo la relazione v = v0 + at rispetto a t e otteniamo : t = (v –v0) / a [1] Definiamo adesso la velocità media fra t e t0 come <v> = (v0 + v) / 2 Possiamo quindi scrivere x = <v> t  t = x / <v> = 2x / (v0+v) che eguagliata alla [1] risulta nella relazione: (v –v0)/a = 2x/(v0+v)  a = (v –v0)/(2x /(v0+v))

t = (v –v0)/a = (30 – 45) km/h / -5625 km/h2 = 0.00267 h = 9,6 s 2° Quesito: Quanto tempo è trascorso durante la decelerazione ? Scriveremo: t = (v –v0)/a = (30 – 45) km/h / -5625 km/h2 = 0.00267 h = 9,6 s

t = (v –v0)/a = (0 – 45) km/h / -5625 km/h2 = 0.008 h = 28,8 s 3° Quesito: Se si suppone che l’automobile continui a decelerare con la medesima legge, quanto tempo dovrà trascorrere affinché si fermi, essendo partita con una velocità di 45 km/h ? Scriveremo di nuovo: t = (v –v0)/a = (0 – 45) km/h / -5625 km/h2 = 0.008 h = 28,8 s

Esempio 5 Una particella si muove all’interno di un tubo rettilineo sotto vuoto lungo 2 m 1° Quesito: Supponendo costante l’accelerazione, quanto tempo rimane la particella nel tubo, se vi entra con una velocità di 1000 m/s e ne esce con velocità 9000 m/s ? 2 m 1000 m/s 9000 m/s Di nuovo, scriveremo: x = <v> t dove <v> = (v1 + v2)/2 = (9000+1000)/2 = 5000 m/s Da cui t = x / <v> = 2 m / 5000 m/s = 0,0004 s

Che si legge: 20 milioni di metri al secondo quadrato 2° Quesito: Determinare l’accelerazione Dalla relazione: v2 = v1 +at ricaviamo a = (v2 –v1) / t cioè: a = (9000 -1000) m/s / 0.0004 s = 20 x 106 m/s2 Che si legge: 20 milioni di metri al secondo quadrato

y(t) = v0t − ½ g t2 Dove g = 9,8 m/s2 e v0 = 0 Esempio 6 Un oggetto cade liberamente partendo da fermo. Determinare la posizione e la velocità dell’oggetto dopo 1; 2; 3 e 4 secondi. Definiamo il nostro asse y di riferimento e scegliamo il punto di partenza all’origine. y La posizione y in funzione del tempo t è data dalla formula: y(t) = v0t − ½ g t2 Dove g = 9,8 m/s2 e v0 = 0 Da cui si ricava per s=1: y1 = − ½ 9,8 = −4,9 m E per la velocità si ricava: v1 = vo –gt = 0 – 9,8 = −9,8 m/s

Analogamente, applicando le stesse formule al caso t=2; 3 e 4 s si ricava y2 = − ½ 9,8 x 22 = −19,6 m y3 = − ½ 9,8 x 32 = −44,1 m y4 = − ½ 9,8 x 42 = −78,4 m v2 = vo –gt = 0 – 9,8 x 2 = −19,6 m/s v3 = vo –gt = 0 – 9,8 x 3 = −29,4 m/s v4 = vo –gt = 0 – 9,8 x 4 = −39,2 m/s

Esempio 7 v0 = 29,4 m/s y v = v0 − g t ymax t = (v0 − v) / g Una palla è lanciata verticalmente verso l’alto dal suolo con una velocità di 29,4 m/s. 1° Quesito: Quanto tempo impiega la palla a raggiungere il suo punto più alto ? Dati del quesito: v0 = 29,4 m/s Inoltre risulta evidente che v (ymax) = 0 Per ricavare il tempo t scriveremo: v = v0 − g t t = (v0 − v) / g t = (29,4 -0) m/s / 9,8 m/s2 = 3 s y ymax

y = v0 t – ½ g t2 dove: v0 = 29,4 m/s e t = 3 s 2° Quesito: determinare la massima altezza ymax raggiunta dalla palla. Scriveremo: y = v0 t – ½ g t2 dove: v0 = 29,4 m/s e t = 3 s Quindi: ymax = 29,4 x 3 − ½ 9,8 x 32 = 88,2 − 44,1 = 44 m

y = v0 t – ½ g t2 dove: v0 = 29,4 m/s e y = 39,2 m 3° Quesito: A che istante la palla sarà ad una altezza yk di 39,2 m dal suolo ? Scriveremo nuovamente: y = v0 t – ½ g t2 dove: v0 = 29,4 m/s e y = 39,2 m Abbiamo quindi una equazione di secondo grado in t: ½ g t2 − v0t + yk = 0 4,9 t2 − 29,4 t + 39,2 = 0 a b c t = (−b ± (b2 − 4ac)1/2) / 2a (b2 − 4ac)1/2 = 9,8 t = ( 29,4 ± 9,8 ) / 9,8  t1 = 2 t2 = 4