Esercitazioni numeriche del corso di GENETICA AA 2010/2011 LEZIONE N°1 Probabilità

Definizione classica di probabilità: La probabilità di un dato evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al suo verificarsi e il numero dei casi possibili, purchè essi siano tutti egualmente possibili Dato un evento E, siano h ed n rispettivamente i casi favorevoli e quelli possibili, allora la probabilità che si manifesti l’evento E (detta successo) è indicata con: p = Pr (E) = h/n Moneta : P(testa) = ½ = 0.5 Dado : P(sei) = 1/6 = 0.1666666

q = Pr (non E) = (n – h)/n = 1 – h/n = 1 – Pr(E) La probabilità che non si manifesti l’evento E (detta insuccesso) è indicata con: q = Pr (non E) = (n – h)/n = 1 – h/n = 1 – Pr(E) Quindi: p + q = 1, ovvero Pr (E) + Pr (non E) = 1 Moneta : P(non testa) = q = (2 - 1)/2 = 1 – ½ = 1/2 Dado: P(non sei) = q = (6 – 1)/6 = 1 – 1/6 = 5/6 La somma dell successo e dell’insuccesso è sempre uguale ad 1 Anche per la moneta e il dado la regola è verificabile: Infatti: Moneta : Pr (testa) = ½; Pr (non testa) = ½ ½ + ½ =1 Dado: Pr (sei) = 1/6; Pr (non sei) = 5/6 1/6 + 5/6 = 1

La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1 Se un evento non può presentarsi, la sua probabilità è 0 Se è certo, la sua probabilità è 1

Regola del Prodotto La probabilità che eventi indipendenti si verifichino contemporaneamente è il prodotto delle probabilità degli eventi singoli N.B. - Per eventi indipendenti si intende che il verificarsi dell’uno non influenza il verificarsi dell’altro Esempio = La probabilità di ottenere due quattro lanciando due dadi è 1/6 x 1/6 = 1/36

Probabilità Condizionata. Eventi indipendenti Esempio : Se la probabilità che A sia vivo tra venti anni è 0,5 e che B sia vivo tra venti anni è 0,7, allora la probabilità che tra venti anni sia A che B siano vivi è: 0,5 x 0,7 = 0,35 Ma che succede se i due eventi sono dipendenti tra loro?????

Probabilità Condizionata. eventi dipendenti Esempio 2: Supponiamo che una scatola contenga 3 palline bianche e 2 nere. Sia E1 l’evento “la prima pallina estratta è nera” ed E2 l’evento “la seconda pallina estratta è nera”. Le palline non vengono reintrodotte dopo essere state estratte quindi gli eventi in questo caso sono dipendenti. Pr (E1) = 2 / (3 + 2) = 2/5 = probabilità che la prima pallina estratta sia nera Pr(E2) = 1 / (3 + 1) = 1/4 = probabilità che la seconda pallina sia nera Allora la probabilità che entrambe le palline estratte siano nere è: Pr(E1E2) = Pr (E1) Pr (E2|E1) = 2/5 x 1/4 = 1/10

Eventi indipendenti e dipendenti La probabilità di estrarre due palline nere nelle prime due estrazioni cambia se reintroduciamo la prima pallina estratta oppure no nell’urna Se reintroduciamo: Probabilità di estrarre le due palline nere in due estrazioni è: Pr(estrarre nera) x Pr (estrarre nera) = 2/5 x 2/5 = 0.16 (Esempio di eventi indipendenti) Se non reintroduciamo: Probabilità di estrarre le due palline nere in due estrazioni è: Pr(estrarre nera) x Pr (estrarre nera) = 2/5 x 1/4 = 0.1 (Esempio di eventi dipendenti)

Regola della Somma La probabilità che si realizzino l’uno o l’altro di due eventi mutualmente esclusivi è la somma delle loro probabilità individuali. Esempio: Probabilità lanciando due dadi di fare o due 4 o due 5 = 1/36 + 1/36 = 1/18

Pr (E1 + E2) = Pr (E1) + Pr(E2) – Pr(E1E2) Regola della Somma Se E1 + E2 indica l’evento che gli evnti E1 ed E2 si presentino o l’uno o l’altro o entrambi, allora: Pr (E1 + E2) = Pr (E1) + Pr(E2) – Pr(E1E2) Eventi che si ecludono a vicenda Si dice che due eventi si escludono a vicenda se il presentarsi di uno di essi esclude il presentarsi degli altri. Così, se E1 ed E2 sono eventi escludentesi a vicenda, allora: Pr (E1E2) = 0 Nel caso di eventi che si escludono a vicenda Pr (E1E2) = 0 Pr (E1 + E2) = Pr (E1) + Pr(E2)

Eventi che si ecludono a vicenda Esempio 1: Se E1 è l’evento “estrazione di una asso da un mazzo di carte” e E2 è l’evento “estrazione di un re” allora: Pr (E1) = 4/52 = 1/13 Pr(E2) = 4/52 =1/13 Quindi la probabilità di estrarre un asso o un re in una sola estrazione è: Pr (E1 + E2) = Pr(E1) + Pr(E2) = 1/13 + 1/13 = 2/13 E questo poichè l’asso ed il re non possono essere estratti insieme in una sola estrazione e quindi sono eventi escludentisi a vicenda

Eventi che non si ecludono a vicenda Esempio 2: Se E1 è l’evento “estrazione di una asso da un mazzo di carte” e E2 è l’evento “estrazione di una carta di cuori” allora E1 ed E2 non si escludono a vicenda, dato che è possibile estrarre una asso di cuori. Allora la probabiliti di estrarre o un asso o una carta di cuori o un asso di cuori è: Pr (E1 + E2) = Pr(E1) + Pr(E2) – Pr (E1E2) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 =4/13

Analisi combinatoria Nell’ottenere la probabilità di eventi complessi, l’enumerazione dei casi può spesso risultare difficile o tediosa. Per facilitare il lavoro, si fa uso dei principi su cui è basata la materia chiamata analisi combinatoria Se un evento può presentarsi in uno qualinque di n1 modi e se, quando tale evento si è presentato, un altro evento può presentarsi in uno qualunque di n2 modi, allora il numero di modi in cui entrambi gli eventi possono presentarsi nell’ordine specificato è n1 x n2 Esempio: se ci sono tre candidati per la carica di prefetto e cinque per la carica di sindaco, i due incarichi possono essere occupati in 3 x 5 = 15 modi nFattoriale n fattoriale, indicato con n!, è definito come: n! = n(n-1)(n-2).....1 Così: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 4! X 3! = (4 x 3 x 2 x 1) x (3 x 2 x 1) = 144 0! = 1 (per convenzione)

Combinazioni n! x! (n - x)! n! x! y! Le combinazioni di n oggetti diversi presi x alla volta sono i gruppi di x elementi che si possono formare con gli n elementi di partenza in modo che ciscun gruppo sia diverso dagli altri per un elemento. Il numero di combinazioni di n oggetti presi r alla volta è denotato con: C(n, x), nCx , oppure Cn,x ed è dato da: nCx = [n(n-1) (n-2).....(n-x+1)] / x! = Esempio 1: Il numero di combinazioni delle lettere a, b, c prese due alla volta è C (3, 2) = = 3. Tali combinazioni sono ab, ac e bc n! x! (n - x)! n! se (n – x) = y allora: x! y! 3! 3 x 2 x 1 2! (3-2)! 2 x 1 x (1)

p x q Formula binomiale n! x! y! x y p = probabilità di un oggetto di appartenere alla classe P q = probabilità di un oggetto di appertenere alla classe Q Modi in cui possiamo dividere un gruppo di n oggetti in due classi distinte in modo da ottenere x oggetti nella classe P e y nella classe Q Nel complesso la formula ci restituisce la probabilità di ottenere x oggetti nella classe P (con probabilità p) e y nella classe Q (con probabilità q)

Totale = 22/64 (½) (½) Esempio 1 Probabilità che su sei figli almeno 4 siano femmine? P( 4femm 2 maschi) = 6! (½) 4 (½) 2 = 15/64 4! 2! P( 5femm 1 maschio) = 6/64 P( 6femm 0 maschi) = 1/64 Totale = 22/64

Due individui eterozigoti per un gene responsabile di una data malattia genetica vogliono conoscere qual’è la probabilità che: Il loro primo figlio sia sano I loro primi due figli siano sani I loro primi tre figli siano sani Che il loro primo figlio sia maschio e sano Che dei loro primi 5 figli 3 siano sani ¾ ¾ x ¾ = 9/16 ¾ x ¾ x ¾ = 27/64 ½ x ¾ = 3/8 F f FF Ff ff 5! (3/4)3 x (1/4)2 = 10 x 27/64 x 1/16 = 270/1024 = 0,26 3! x 2!