SSS «BLAISE PASCAL» Voghera MATEMATICA II

RADICE QUADRATA E CUBICA RADICALI RADICE QUADRATA E CUBICA Radice quadrata di un numero reale a, positivo o nullo, è il numero reale b, positivo o nullo il cui quadrato vale a 𝑎 =𝑏 ↔ 𝑏 2 =𝑎 𝑎≥0; 𝑏≥0 il simbolo √ indica la radice quadrata, a è il radicando. La radice quadrata di un numero negativo non esiste Se a non è il quadrato di un numero razionale, la sua radice quadrata è un numero irrazionale ( es 3 ; 2 7 ; ….) Radice cubica di un numero reale a, è il numero reale b , il cui cubo è a 3 𝑎 =𝑏 ↔ 𝑏 3 =𝑎 𝑎∊𝑅; 𝑏∊𝑅 il simbolo ∛ indica la radice cubica di a, a è il radicando la radice cubica di un numero, sia esso positivo o negativo , esiste sempre Se a non è il cubo di un numero razionale, la sua radice cubica è un numero irrazionale ( es 3 2 ; 3 −4; 3 1 5 )

RADICALI RADICALI DI INDICE n Radicali con indice n pari Radice n-esima di un numero reale a, positivo o nullo, è il numero reale b, positivo o nullo, la cui potenza n –esima vale a Radicali con indice n dispari Radice n-esima di un numero reale a, è il numero reale b,, la cui potenza n-esima vale a n pari 𝑎≥0; 𝑏≥0 𝑛 𝑎 =𝑏 ↔ 𝑏 𝑛 =𝑎 con 𝑛 ∊𝑁0 n dispari 𝑎∈𝑅 a è chiamato radicando, la scrittura 𝑛 𝑎 indica il radicale , n è l’indice di radice

RADICALI PROPRIETA’ PRIMA PROPRIETA’ FONDAMENTALE n pari 𝑎≥0 𝑛 𝑎 𝑛 =𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 =𝑎 con 𝑛 ∊𝑁0 n dispari 𝑎∈𝑅 ES: 3 4 3 =4 5 −2 5 =−2 SECONDA PROPRIETA’ FONDAMENTALE 𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑎 se n è pari 𝑛 𝑎 𝑛 =a se n è dispari con n ∈𝑁0 a∈𝑅 PROPRIETA’ INVARIANTIVA 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑛∙𝑝 𝑎 𝑚∙𝑝 con a≥0 𝑚, 𝑛, 𝑝∈𝑁0

RADICALI OPERAZIONI 𝑛 𝑎 ∙ 𝑛 𝑏 = 𝑛 𝑎∙𝑏 con a, b ≥0 𝑛 ∈𝑁0 𝑎∙ 𝑛 𝑏 = 𝑛 𝑎 𝑛 ∙𝑏 con a, b ≥0 𝑛 ∈𝑁0 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑛 𝑎 𝑚 con a ≥0;𝑚, 𝑛 ∈𝑁0 𝑛 𝑚 𝑎 = 𝑚∙𝑛 𝑎 con a ≥0;𝑚, 𝑛 ∈𝑁0 Se n è dispari le relazioni valgono per a, b ∊ R

RADICALI TRASFORMAZIONI DI PARTICOLARI ESPRESSIONI CONTENENTI RADICALI RAZIONALIZZARE il denominatore di una frazione : significa trasformare la frazione in un’altra equivalente in cui non compaiano i radicali al denominatore. La frazione trasformata si ottiene moltiplicando il numeratore e il denominatore per un opportuno fattore razionalizzante Frazione Fattore razionalizzante Frazione equivalente razionalizzata Digitare l'equazione qui.Digitare l'equazione qui. 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑛 𝑎 𝑚 n>m 𝑛 𝑎 𝑛−𝑚 𝑏 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−𝑚 𝑐 𝑎 ± 𝑏 𝑎 ∓ 𝑏 𝑐 𝑎−𝑏 𝑎 ∓ 𝑏 𝑐 𝑎 2 −𝑏 𝑎 ∓ 𝑏 𝑐 𝑎± 𝑏 a∓ 𝑏

PIANO CARTESIANO DEFINIZIONE Si considerano in un piano due rette perpendicolari x e y. La retta orizzontale, x, prende il nome di asse delle ascisse . La retta verticale, y, prende il nome di asse delle ordinate . L’intersezione dei due assi è l’origine. Facendo corrispondere ai punti sulla retta i numeri reali, si assume come positivo il verso della retta x che va verso destra e come positivo il verso della retta y che va verso l’alto. Dopo aver scelto una unità di misura si è fissato un sistema di riferimento cartesiano -1 x y o 1 2 3 -2 (+,+) (-,+) (-,-) (+,-) P (x,y)=(3,1)

PIANO CARTESIANO DISTANZA TRA DUE PUNTI La distanza tra due punti A (xA; yA) e B (xB ; yB) è la lunghezza del segmento AB Caso 1: A e B hanno la stessa ascissa , cioè xA =xB d = 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵 Caso 2: A e B hanno la stessa ordinata, cioè yA =yB d = 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐵 Caso 3: A e B sono in posizioni qualsiasi 𝑑= 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐵 2 + 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵 2

IL CONCETTO DI FUNZIONE PIANO CARTESIANO IL CONCETTO DI FUNZIONE Si definisce Funzione o applicazione una relazione tra un insieme A e un insieme B che fa corrispondere ad ogni elemento di A (dominio) uno e un solo elemento di B (codominio) 48 30 20 15 10 5 l/min 8 l/min 12 l/min 16 l/min 24 l/min 48 30 20 15 10 5 l/min 8 l/min 12 l/min 16 l/min 24 l/min NON FUNZIONE FUNZIONE Se x è un elemento di A il suo unico corrispondente y in B si indica con f(x) ed è l’immagine di x. La scrittura y=f(x) individua l’equazione della funzione, poiché x individua un generico elemento del dominio e y è la sua immagine x è detta variabile indipendente e y è la variabile dipendente; ad x si può assegnare un valore qualunque del dominio, mentre il valore di y dipende dalla x e dall’equazione

PIANO CARTESIANO GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI Yy= x retta bisettrice del I e III quadrante y= |x | funzione modulo y = 𝑥 y= 1/x funzione iperbole y=ax con a>1 funzione esponenziale 𝑦= log 𝑎 𝑥 con a>1 funzione logaritmo

PIANO CARTESIANO LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO Retta passante per l’origine: Equazione in forma esplicita: 𝑦=𝑚𝑥 Equazione in forma implicita: 𝑎𝑥+𝑏𝑦=0 Coefficiente angolare: 𝑚= 𝑦 𝑥 Bisettrici dei quadranti : 𝑦=𝑥 (I e III quadrante) 𝑦=−𝑥 (II e IV quadrante) Asse x: 𝑦=0 Asse y : 𝑥=0 Retta in posizione generica: Equazione in forma esplicita: 𝑦=𝑚𝑥 +q Equazione in forma implicita: 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 Coefficiente angolare: 𝑚= ∆𝑦 ∆𝑥

CALCOLO LETTERALE SISTEMI LINEARI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE si definisce SISTEMA DI EQUAZIONI un insieme di due o più equazioni che vengono considerate contemporaneamente si definisce GRADO di un sistema il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono per indicare che le equazioni fanno parte di un sistema si usa scriverle su righe diverse riunite da una parentesi graffa posta a sinistra. I sistemi di primo grado sono costituiti da equazioni di primo grado e sono anche detti lineari Un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite (x;y) si dice in forma normale o canonica quando è scritto nella forma: 𝑎 1 𝑥+ 𝑏 1 𝑦= 𝑐 1 𝑎 2 𝑥+ 𝑏 2 𝑦= 𝑐 2 a1 ; b1; c1; a2; b2; c2; sono numeri reali le due equazioni rappresentano due rette in posizione generica  

Si definisce SOLUZIONE di un sistema una coppia ordinata di numeri reali tale che sostituendo tali numeri alle corrispondenti incognite, tutte le equazioni si trasformano in uguaglianze vere. Due sistemi si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni Un sistema si dice IMPOSSIBILE se non ha soluzioni Un sistema si dice DETERMINATO se ha un numero finito di soluzioni Un sistema si dice INDETERMINATO se ha infinite soluzioni.

Risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite, significa determinare la posizione reciproca di due rette, in particolare si possono verificare i seguenti casi: se il sistema ha una sola soluzione reale, cioè è DETERMINATO, allora le rette sono incidenti e si intersecano in un punto le cui coordinate costituiscono la soluzione del sistema se il sistema ammette infinite soluzioni, si dice INDETERMINATO, allora le rette sono coincidenti se il sistema non ammette soluzione, cioè è IMPOSSIBILE, allora le rette sono parallele determinato indeterminato impossibile

i coefficienti della y sono stati sostituiti con i termini noti Metodi di risoluzione algebrica metodo di sostituzione metodo del confronto metodo di eliminazione o riduzione metodo di Cramer Il metodo di Cramer 1. Si chiama determinante un numero definito nel seguente modo 3.Definiamo Dx e Dy come segue Dx= 𝑐 1 𝑏 1 𝑐 2 𝑏 2 = 𝑐 1 𝑏 2 − 𝑏 1 𝑐 2 D= 𝑎 1 𝑏 1 𝑎 2 𝑏 2 = 𝑎 1 𝑏 2 − 𝑏 1 𝑎 2 i coefficienti della x sono stati sostituiti con i termini noti   2. Dato il sistema sotto, D è il determinante in cui a1, b1, a2,b2 sono i coefficienti delle x e y rispettivamente Dy= 𝑎 1 𝑐 1 𝑎 2 𝑐 2 = 𝑎 1 𝑐 2 − 𝑐 1 𝑎 2 i coefficienti della y sono stati sostituiti con i termini noti 𝑎 1 𝑥+ 𝑏 1 𝑦= 𝑐 1 𝑎 2 𝑥+ 𝑏 2 𝑦= 𝑐 2   se D ≠ 0 ( sistema determinato) Se D=0 e Dx=0 e Dy =0 sistema indeterminato Dx≠0 o Dy≠0 sistema impossibile 𝑥= 𝐷𝑥 𝐷 𝑦= 𝐷𝑦 𝐷 Le soluzioni sono date da

ELEMENTI DI PROBABILITA’ DEFINIZIONE CLASSICA EVENTO: enunciato soggetto ad incertezza P= probabilità che si realizzi un certo evento è definita dalla relazione P = 𝑚 𝑛 m = numero di casi favorevoli al realizzarsi di un evento n = numero di casi possibili È un numero compreso tra 0 e 1 : 0≤𝑃≤1 EVENTO CERTO: quello in cui m= n cioè il numero dei casi favorevoli coincide con il numero dei casi possibili; P=1 EVNTO IMPOSSIBILE: quello in cui m=0 cioè con ci sono casi possibili; P= 0

ELEMENTI DI PROBABILITA DEFINIZIONE FREQUENTISTA Frequenza relativa dell’evento E : è il rapporto tra il numero di volte in cui l’evento si è verificato ed il numero delle prove fatte. La PROBABILITA’ di un evento E P(E), secondo una valutazione frequentista, o statistica: è il valore a cui tende la frequenza relativa di E, al crescere del numero delle prove eseguite, nelle stesse condizioni. ( Legge dei grandi numeri) 𝑃 𝐸 = 𝑓 𝑛 f = frequenza assoluta (numero di volte in cui si è realizzato l’evento) n = numero di prove fatte

GEOMETRIA TRASFORMAZIONE GEOMETRICHE NEL PIANO Si definisce ISOMETRIA una trasformazione geometrica che ad ogni coppia di punti A e B di un piano associa i punti A’ e B’ dello stesso piano in modo che il segmento AB e il segmento A’B’ siano congruenti Una isometria trasforma rette in rette, conserva l’allineamento dei punti, trasforma semirette in semirette, segmenti in segmenti...Ci sono infiniti modi per realizzare una isometria basta che la regola stabilita per associare i punti nel piano conservi le lunghezze dei segmenti che si corrispondono. In una trasformazione gli elementi e le proprietà che non si modificano sono detti INVARIANTI. Quindi in una isometria sono invarianti: la lunghezza dei segmenti; l’allineamento dei punti; l’incidenza tra rette, il parallelismo, l’ampiezza degli angoli.

Isometrie di base : SIMMETRIA ASSIALE : è la trasformazione che, data una retta r, associa ad ogni punto del piano il suo simmetrico rispetto ad r; Simmetria assiale SIMMETRIA CENTRALE : è la trasformazione che associa ad ogni punto P del piano il suo simmetrico P’ rispetto ad O; Simmetria centrale

Isometrie di base TRASLAZIONE: è la trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il suo traslato P’ secondo un vettore assegnato V; Traslazione ROTAZIONE: è la trasformazione che associa ad ogni punto P del piano il punto P’, ruotato di P rispetto a un centro O ed ad un angolo orientato  Rotazione

GEOMETRIA 𝐾= 𝑎 𝑎′ = 𝑏 𝑏′ = 𝑐 𝑐′ K= 𝑃 𝑃′ 𝐾 2 = 𝐴 𝐴′ Si chiama SIMILITUDINE una trasformazione che trasforma oggetti in altri oggetti aventi stessa forma ma dimensioni diverse A’ B’ C’ a’ b’ c’ A B C a b c Si dice rapporto di similitudine 𝐾 il rapporto tra due lati corrispondenti Si può scrivere, facendo riferimento alle due figure sopra: 𝐾= 𝑎 𝑎′ = 𝑏 𝑏′ = 𝑐 𝑐′ K= 𝑃 𝑃′ 𝐾 2 = 𝐴 𝐴′ P e P’ sono rispettivamente i perimetri del primo triangolo e del secondo A e A’ le rispettive aree

CRITERI DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI GEOMETRIA CRITERI DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI I CRITERIO: due triangoli sono simili se hanno due angoli corrispondenti congruenti II CRITERIO: due triangoli sono simili se hanno due lati in proporzione e gli angoli tra essi compresi congruenti III CRITERIO: due triangoli sono simili se hanno i lati in proporzione