Valutazione dell’incertezza associata alla mappa acustica dinamica di Milano Giovanni Zambon; Roberto Benocci; Maura Smiraglia; H. Eduardo Roman

Introduzione Il progetto Dynamap in ambito urbano si basa sull’ipotesi che i livelli di rumore associati al traffico veicolare urbano abbiano andamenti nel tempo caratteristici. Questo consente di individuare gruppi di strade simili. Il metodo in studio permetterà di ottenere delle mappe dinamiche del rumore stradale a partire da rilievi fonometrici continui presso un numero limitato di postazioni. Questa metodologia prevede diverse fasi: l’individuazione degli andamenti tipici dei livelli di rumore associati alle strade; la caratterizzazione delle singole strade mediante un parametro non acustico; l’aggregazione di tutte le strade in gruppi omogenei a ciascuno dei quali corrisponderà una mappa acustica di base; la procedura per aggiornare le mappe acustiche a partire da un numero limitato di livelli misurati. Ciascuna di queste fasi è affetta da un errore specifico

Caratterizzazione dei livelli equivalenti del rumore stradale Profili di rumore medi normalizzati, [dB], per ciascun cluster con le rispettive bande di incertezza. Nel cluster 1 sono presenti 56 elementi e 37 nel cluster 2.

Il parametro non acustico x e la sua funzione di distribuzione P(x) Per ogni strada monitorata, è stato calcolato il parametro non-acustico x = LogTt, ovvero il logaritmo del flusso di traffico giornaliero nel periodo di 24 ore

La previsione del livello equivalente dai cluster 1 e 2 β1(x) = P1(x)/(P1(x)+ P2(x)) and β2(x) = P2(x)/(P1(x)+ P2(x)) Using the values of β1,2 we can predict the hourly variations δx(h) for a given value of x according to: δx(h) = β1(x) δC1(h) + β2(x) δC2(h) with δC1(h) and δC2(h) representing the mean hourly values of the equivalent level for both Cluster 1 and 2, respectively.

La distribuzione di x per l’intera rete stradale dell’area pilota di Milano La linea continua rappresenta la distribuzione del parametro non acustico x per i 93 archi monitorati.

Suddivisione degli archi stradali in 6 gruppi Le variazioni δx(h), relative ad ogni gruppo, saranno ottenute usando i valori medi 𝛽 1 e 𝛽 2 : 𝛽 1( 𝑥 𝑔 ) = P1( 𝑥 𝑔 )/(P1( 𝑥 𝑔 )+ P2( 𝑥 𝑔 )) and 𝛽 2( 𝑥 𝑔 ) = P2( 𝑥 𝑔 )/(P1( 𝑥 𝑔 )+ P2( 𝑥 𝑔 )) Dove 𝑥 𝑔 il valore medio di x del gruppo g

Stima degli errori nella predizione delle mappe acustiche Valutazione degli errori statistici intrinseci del metodo per la predizione dei livelli equivalenti di rumore di ognuna delle sei mappe acustiche. I sei gruppi g verranno denotati dalle lettere: g=(A, B, C, D, E, F). La varianza totale della somma di processi casuali non correlati, σ 𝑁 2 , è data dalla somma delle varianze associate ai singoli processi. Nel nostro caso abbiamo individuato quattro processi le cui incertezze statistiche contribuiscono all’errore totale, σ 𝑇 2 , come segue: σ 𝑇 2 = σ 𝑝𝑟𝑒𝑑 2 + σ 𝑠𝑡𝑎𝑡 2 + σ 𝑐𝑝 2 + σ sample 2 dove: σ 𝑝𝑟𝑒𝑑 2 = errore di predizione intrinseco del metodo statistico σ 𝑠𝑡𝑎𝑡 2 = varianza del livello equivalente di rumore misurato dalle stazioni di monitoraggio σ 𝑐𝑜𝑚𝑝 2 = errore dovuto alla differente composizione del cluster per i diversi intervalli di t σ sample 2 = errore associato al campionamento stratificato

Errore nella predizione del livello equivalente di rumore: 𝛔 𝐩𝐫𝐞𝐝 𝟐 Questo errore rappresenta l’incertezza intrinseca del metodo statistico di attribuzione di un generico arco ad uno dei due cluster. Per stimare questo contributo per ogni gruppo g, calcoliamo gli errori medi, 𝜀 1 2 e 𝜀 2 2 , per le predizioni delle stazioni di monitoraggio dei livelli di rumore per il Cluster 1 e Cluster 2. L’errore sul singolo arco x viene calcolato secondo la formula: ε2 = 1 24 ℎ=1 24 𝛿 𝑥 ℎ − 𝛿 𝑚𝑒𝑎𝑠 ℎ 2 dove δx(h) = β1(x) δC1(h) + β2(x) δC2(h) rappresenta il valore predetto e δmeas(h) il valore misurato. δC1(h) e δC2(h) sono i valori medi orari dei livelli equivalenti per i Cluster 1 e 2 rispettivamente. Noti questi errori possiamo stimare l’errore medio di predizione all’interno di ciascun gruppo mediante la relazione: σ 𝑝𝑟𝑒𝑑 2 𝑥 𝑔 = 𝛽 1( 𝑥 𝑔 ) 𝜀 1 2 + 𝛽 2( 𝑥 𝑔 ) 𝜀 2 2

σ 𝑠𝑡𝑎𝑡 2 𝑥 𝑔 = 𝛽 1( 𝑥 𝑔 ) 𝜎 1 2 + 𝛽 2( 𝑥 𝑔 ) 𝜎 2 2 . La varianza statistica delle stazioni di monitoraggio del Cluster 1 e 2: 𝛔 𝐬𝐭𝐚𝐭 𝟐 La varianza è stata calcolata nei tre periodi giornalieri: giorno, sera e notte, entro i quali sono stati usati i seguenti intervalli di integrazione: 5, 15, 60 minuti. Nel calcolo abbiamo considerato i profili medi di livello di rumore ottenuti dall’analisi cluster delle misure sui 93 siti. Indicando con 𝜎 1 2 e 𝜎 2 2 le varianze mediate sulle 24 ore (sulle tre fasce orarie) rispettivamente per il Cluster 1 e 2, abbiamo per ogni gruppo g la seguente relazione: σ 𝑠𝑡𝑎𝑡 2 𝑥 𝑔 = 𝛽 1( 𝑥 𝑔 ) 𝜎 1 2 + 𝛽 2( 𝑥 𝑔 ) 𝜎 2 2 .

σ 𝑐𝑝 2 𝑥 𝑔 = 𝛽 1( 𝑥 𝑔 ) σ 𝑐𝑝,𝐶1 2 𝜏 + 𝛽 2( 𝑥 𝑔 ) σ 𝑐𝑝,𝐶2 2 𝜏 . Errore dovuto alle differente composizione del Cluster per intervalli di integrazione inferiori all’ora: 𝛔 𝐜𝐩 𝟐 Per ogni intervallo temporale τ = (5, 15) minuti, abbiamo ottenuto il valor medio 𝛿 𝑚𝑠,𝐶1,2(𝜏) (𝜏) ogni τ minuti e mediato su tutte le strade appartenenti al Cluster 1 e 2 per l’intervallo di tempo τ. Abbiamo calcolato la stessa quantità per l’intervallo orario 𝛿 𝑚𝑠,𝐶1,2 ℎ 𝜏 , e ottenuto le differenze quadratiche medie:    σ 𝑐𝑝,𝐶1,2 2 (𝜏)= 1 𝑁(𝜏) 𝑡=1 𝑁(𝜏) [ 𝛿 𝑚𝑠,𝐶1,2 𝜏 (𝑡)− 𝛿 𝑚𝑠,𝐶1,2(ℎ) (𝑡)] 2 dove N(τ)= 24 (60/τ), è il numero di punti (dati) contenuti in 24 ore. Per calcolare l’errore associato ad ogni gruppo, moltiplichiamo la varianza di ciascun cluster per il corrispondente valor medio 𝛽 1( 𝑥 𝑔 ) e 𝛽 2( 𝑥 𝑔 ): σ 𝑐𝑝 2 𝑥 𝑔 = 𝛽 1( 𝑥 𝑔 ) σ 𝑐𝑝,𝐶1 2 𝜏 + 𝛽 2( 𝑥 𝑔 ) σ 𝑐𝑝,𝐶2 2 𝜏 .

Errore associato al campionamento stratificato: 𝛔 𝒔𝒂𝒎𝒑𝒍𝒆 𝟐 Nel campionamento spaziale stratificato il campione viene diviso in strati (sotto campioni) in modo da ridurre le varianze nella stima del campione. Dal teorema del limite centrale si ricava che l’accuratezza ɛ per una corretta stima del valor medio della popolazione risulta essere data da: (i=1, 2) dove nc1, nc2 sono il numero di misure effettuate per ciascun cluster (192 in totale), S la deviazione standard del campione e Zα = 1.96

Deviazione della media del campione rispetto alla media della popolazione per tempi di integrazione T = 5, 15, 60 min

Deviazione giornaliera media 𝜺 𝒔𝒂𝒎𝒑𝒍𝒆 per i tre intervalli di tempo τ (min) Cluster 1 Cluster 2 Tot. n° of measurements n°measurements ε (dB) 07:00-21:00 5 110 0.32 82 0.26 192 21:00-01:00 15 106 0.36 86 0.30 01:00-07:00 60 125 0.44 67 0.42 I risultati mostrano che l’accuratezza media prevista 𝜀 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒 ( = σsample ), calcolata nei tre intervalli di tempo Th [(07:00 - 21:00), (21:00 - 01:00), (01:00 - 07:00)], relativi ai tempi di rappresentazione della mappa T= (5, 15, 60) minuti, è di 0.37 e 0.33 dB, rispettivamente per il Cluster 1 e 2

Somma degli errori per ogni gruppo g: 𝛔 𝐓 𝟐 Error/Group A B C D E F 𝝈 𝒑𝒓𝒆𝒅 1,47 1,44 1,40 1,37 1,36 1,31 𝝈 𝒔𝒕𝒂𝒕 1,53 1,35 1,32 1,22 𝝈 𝒄𝒐𝒎𝒑 0,14 0,15 0,17 0,18 0,20 𝝈 𝒔𝒂𝒎𝒑𝒍𝒆 0,37 0,36 0,35 0,34 𝝈 𝑻 2,16 2,09 2,02 1,96 1,94 1,83 L’errore totale 𝜎 𝑇 [dB] risulta essere dell’ordine dei 2 dB per tutti i gruppi g