un numero famoso dall'antichità La sezione aurea un numero famoso dall'antichità

Indice Introduzione Unità 1 – Che cos’è la sezione aurea Unità 2 – Come calcolare il valore di phi Unità 3 – Proprietà della sezione aurea Unità 4 – La sezione aurea nell’arte Unità 5 – La sezione aurea nella simbologia Conclusione Approfondimenti

Introduzione La sezione aurea è un particolare numero irrazionale, che verifica interessanti proprietà matematiche La caratteristica di questo numero è che si ritrova nei più svariati campi: dall’architettura, alla pittura, alla musica, al simbolismo tradizionale La sezione aurea compare anche in vari fenomeni naturali quali:

La fillotassi

La forma di alcune conchiglie

La struttura delle galassie

Che cos'è la sezione aurea Unità 1 Che cos'è la sezione aurea Si chiama “sezione aurea” un rapporto particolare di lunghezze, tale che la parte minore sta alla maggiore come la maggiore sta al tutto. A C B AB : AC = AC : CB AC è la sezione aurea di AB, mentre questo uguale rapporto è detto “numero d’oro”, indicato con Ф, e si dimostra essere un numero irrazionale il cui valore approssimato è 1,6180339887…

Alcune applicazioni matematiche Un rettangolo aureo è uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea.

All’interno di un pentagono regolare, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due vertici non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, con la proprietà di avere la base sezione aurea del lato

Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato.

Si punti la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e si tracci l’arco che unisce i gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto. Si ripeta l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua: la spirale logaritmica .

Jacques Bernoulli dedicò a questa curva un trattato:Spira mirabilis Usò un motto per caratterizzarla: Eadem mutato resurgo La caratteristica fondamentale di questa curva è che crescendo non cambia forma

“ Si può usarla come simbolo sia della forza e costanza nelle avversità, sia del corpo umano che, dopo tutti i cambiamenti, e perfino dopo la morte, è restituito al suo preciso e perfetto Sé” Jacques Bernoulli

Come calcolare il valore di phi Unità 2 Come calcolare il valore di phi A C B AB : AC = AC : CB Chiamando c la lunghezza AB, a la lunghezza AC e b la lunghezza CB, si ottiene: c/a = a/b La lunghezza c è uguale ad a+b, possiamo allora scrivere: (a+b)/a = a/b. Chiamando x il rapporto a/b, otteniamo l’equazione 1+ 1/x = x, che risolta fornisce le soluzioni x = (1±√5)/2 Il valore positivo è il numero d’oro, il valore negativo è il reciproco del suo opposto.

Ф = (1+√5)/2 è un numero irrazionale: proprio con esso il pitagorico Ippaso di Metaponto scoprì l’incommensurabilità tra segmenti Questo significa che non c’è nessun segmentino, per quanto piccolo, a partire dal quale si possano costruire entrambi i segmenti AB e BC Lo spazio, come il tempo, è una grandezza continua; non può essere costruito mettendo un mattoncino dietro l’altro

Proprietà della sezione aurea Unità 3 Proprietà della sezione aurea “ La media aurea non è affatto banale Tutt’altra cosa che un comune irrazionale. Capovolta, pensate un po’, resta sé stessa meno l’unità. Se poi di uno la aumentate Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato” Paul S. Bruckman, 1977

E Paul Bruckman non dimentica nemmeno quest’ultima proprietà: Questa poesia riassume le più evidenti (per i matematici) proprietà di Ф, ma non è finita! Immaginavate che………… Ф = ? E Paul Bruckman non dimentica nemmeno quest’ultima proprietà:

“Scritta come frazione con continuità, È uno, uno, uno …. fino a sazietà; Così chiara che più chiara alcuna non resta (non vi comincia a girare un po’ la testa?)”

Dal “Liber abaci, 1202 “Un uomo mise una coppia di conigli in un luogo circondato da tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli possono essere prodotte dalla coppia iniziale in un anno supponendo che ogni mese una nuova coppia produca una nuova coppia in grado di riprodursi a sua volta dal secondo mese?” Il famoso problema di Fibonacci porta all’omonima successione dove ogni numero è dato dalla somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…….

Se in questa successione calcoliamo il rapporto tra un termine ed il suo precedente, andando avanti ci accorgiamo che questi rapporti si avvicinano sempre più ad un certo valore numerico: Ф

La sezione aurea nell'arte Unità 4 La sezione aurea nell'arte La sezione aurea riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole è stata usata come base per la composizione di quadri o di elementi architettonici. Sembra che la percezione umana mostri una naturale preferenza e predisposizione verso le proporzioni in accordo con la sezione aurea; gli artisti tenderebbero a disporre gli elementi di una composizione in base a tali rapporti.

In particolare Leonardo incorporò il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda                                                                                                         

L’ultima cena

L’uomo di Vitruvio

Già i Greci ritenevano che il rettangolo aureo fosse un canone estetico fondamentale. Un esempio in architettura è la facciata del Partenone sull’Acropoli di Atene.

La sezione aurea nella simbologia Unità 5 La sezione aurea nella simbologia Dal punto di vista tradizionale la sezione aurea è strettamente legata al simbolo del pentagramma e del numero 5

Il pentagramma, conosciuto dai Pitagorici e segno della loro scuola, è un simbolo che si riferisce al microcosmo e quindi all’uomo.

Simboleggia l’uomo con i suoi cinque organi di senso, e le sue cinque facoltà di sensazione e di azione Si ritrova in tutte le civiltà tradizionali Il pentagramma è anche un simbolo esoterico, la stella fiammeggiante con al centro la lettera G, iniziale di God ma anche di Geometria

Conclusione Il rapporto aureo sembra dare alla visione dello spettatore una sensazione di geometrica armonia. Ciò avviene perché lo spettatore è condizionato da canoni estetici e da modelli culturali o c’è qualcosa di più profondo nell’inconscio che ci porta inevitabilmente a preferire certi rapporti? In proposito si può osservare che il rapporto aureo si ritrova anche in civiltà lontane, certamente non condizionate dai modelli culturali occidentali, come per esempio la piramide di Teotiuacan in Messico.

I problemi rimasti aperti sono tanti; tornando a quanto detto nell’introduzione, come mai la natura sceglie il rapporto aureo? Forse proprio per il concetto di autosimiglianza implicito nel numero d’oro ed in altri concetti matematici ad esso collegati quali i frattali……..

…..concetto inerente alla costituzione stessa dell’Universo

“Vedere un mondo In un grano di sabbia E un universo in un fiore di campo Possedere l’infinito Sul palmo della mano E l’eternità in un’ora” William Blake

Approfondimenti Bibliografia Fare Matematica, Fascicolo n. 1, Geometria e Arte, ed. BCM Maurizio Bonicatti, Enciclopedia di tutte le arti di tutti i popoli in tutti i tempi, vol. II, pp. 41-51, Fratelli Fabbri Editori, Milano 1974 G. Brigola, Annali della fabbrica del Duomo, Milano 1877, vol I, pp. 209–211 Giorgio Cricco, Francesco P. Di Teodoro, Itinerario dell’arte, Vol. 1, ed. Zanichelli M. Gaffo, Numeri e cifre (tratto da "Focus" n. 79,  Maggio 1999), ed. Mondadori Hans M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Einaudi Martin Kemp, La scienza dell’Arte, ed. Giunti Hamilton Luske, Donald in MathMagic land, Walt Disney Productions, 1987 Carl Schefold, Collana il Marco Polo (vol. Grecia classica, pp. 131-181) E. Vorobyou, I numeri di Fibonacci, Le Monnier J. Wasserman, Leonardo da Vinci, ed. Garzanti Mario Livio, La sezione aurea, ed. Rizzoli Jules Boucher, La simbologia massonica, ed. Atanor