Corso di Analisi Statistica per le Imprese Cross tabulation e relazioni tra variabili Prof. L. Neri a.a. 2015-2016 1

Distribuzione doppia di frequenza Addetti Genere respons 6 M 10 F 7 3 4 Genere responsabile M F 3 4 6 7 10 2 1 Addetti 2 1 1 2  Quanti sono i punti vendita con 3 addetti, il cui responsabile è un maschio? 2  Quanti sono i punti vendita con 3 addetti, il cui responsabile è una femmina? 2

Distribuzione doppia di frequenza Genere responsabile Tot M F 3 2 4 1 6 7 10 5 9 1 è la frequenza congiunta associata alla modalità 4 del Numero di addetti e alla modalità F del Genere responsabile Addetti 3

Distribuzione doppia di frequenza Genere responsabile Tot M F 3 2 4 1 6 7 10 5 9 Distribuzione marginale del genere del responsabile (distribuzione di frequenza semplice del carattere “genere del responsabile”) Addetti Qual è la proporzione di punti vendita il cui responsabile è una femmina? 4

Distribuzione doppia di frequenza Genere responsabile Tot M F 3 2 4 1 6 7 10 5 9 Distribuzione marginale degli addetti (distribuzione di frequenza semplice del carattere “numero di addetti”) Addetti 5

Distribuzione doppia di frequenza Genere responsabile Tot M F 3 2 4 1 6 7 10 5 9 Distribuzione parziale del numero di addetti, condizionata alla modalità “maschio” del carattere “genere del responsabile” Addetti Distribuzione del numero di addetti dato che il genere del responsabile è “maschio” Qual è il numero medio di addetti dei punti vendita il cui responsabile è un uomo? 6

Distribuzione doppia di frequenza Genere responsabile Tot M F 3 2 4 1 6 7 10 5 9 Distribuzione parziale del genere del responsabile, condizionata alla modalità “6” del carattere “numero di addetti” Addetti Distribuzione del genere del responsabile dato che il numero di addetti è pari a 6 Considerando i punti vendita con 6 addetti, qual è la proporzione il cui responsabile è una femmina? 7

Distribuzione doppia di frequenza Ubicazione Vendita on line centro si periferia Semicentro no Vendita on line Tot si no Centro 2 4 Semicentro Perif. 1 3 6 9 Ubicazione 8

Distribuzione doppia di frequenza Vendita on line Tot si no Centro 2 4 Semicentro Perif. 1 3 6 9 Qual è la proporzione di p.v. ubicati in centro? Nel sottoinsieme dei p.v. che effettuano anche la vendita on line, qual è la proporzione di p.v. ubicati in centro? Ubicazione Qual è la proporzione di p.v. che vendono anche on line? Nel sottoinsieme di p.v. ubicati in periferia, qual è la proporzione di p.v. che vendono anche on line? 9

Distribuzione doppia di frequenza Y Tot y1 … yj yK X X1 n11 n1j n1k n1. Xi ni1 nij nik ni. xH nH1 nHj nHK nH. n.1 n.j n.K n 2 distribuzioni marginali H distribuzioni parziali di Y, condizionate ad ogni valore di X K distribuzioni parziali di X, condizionate ad ogni valore di Y 10

Relazioni tra variabili: indipendenza Quando si osservano due caratteri X e Y diventa interessante studiare la relazione tra di essi Se tra X e Y non c’è alcun legame X e Y sono indipendenti statisticamente Tra due caratteri esiste indipendenza statistica quando la conoscenza della modalità di uno dei due caratteri non migliora la “previsione” della modalità dell’altro 11

Associazione In presenza di un qualche legame (associazione) tra X e Y, lo studio della relazione tra i due caratteri richiede di: distinguere la tipologia di caratteri che si esaminano specificare se si è interessati a studiare la dipendenza o l’interdipendenza 12

Dipendenza e interdipendenza studia come le modalità di un carattere dipendano da quelle di un altro carattere secondo un legame unidirezionale Interdipendenza: Si assume che i due caratteri abbiano lo stesso ruolo e che il legame sia bidirezionale 13

Caratteri qualitativi sconnessi Tabella doppia di frequenza Frequenze osservate nij Frequenze teoriche (quelle che si osserverebbero in caso di indipendenza statistica) La condizione di indipendenza statistica si verifica a partire dalle differenze cij tra ciascuna frequenza osservata e la corrispondente frequenza teorica 14

Freq. osservate e freq. teoriche Y Tot y1 … yj yK X X1 n11 n1j n1k n1. Xi ni1 nik xH nH1 nHj nHK nH. n.1 n.K Freq. osservate Freq. che si utilizzano per ricavare le freq. teoriche nij ni. n.j n 15

Frequenze osservate Vendita on line Tot si no Centro 2 4 Semicentro Perif. 1 3 6 9 Ubicazione 16

Frequenze teoriche Vendita on line Tot si no Centro 4 Semicentro 2 Perif. 3 6 9 Se ci fosse indipendenza statistica quali sarebbero le frequenze congiunte? Ubicazione 17

Frequenze osservate e teoriche Vendita on line Tot si no Centro 2 4 Semicentro Perif. 1 3 6 9 Vendita on line Tot si no Centro 1,33 2,67 4 Semicentro 0,67 2 Perif. 1 3 6 9 Osservate Teoriche Ubicazione Ubicazione Non tutte le freq. teoriche sono uguali alle corrispondenti freq. osservate Non c’è indipendenza statistica tra i due caratteri Qual è il grado di associazione tra i due caratteri? 18

Interdipendenza: Indice Chi-quadrato Studia l’interdipendenza tra due caratteri qualitativi sconnessi a partire da una tabella doppia indipendenza statistica interdipendenza 19

Interdipendenza: Indice V di Cramer Indice relativo per misurare l’associazione (interdipendenza) tra due caratteri qualitativi V=0 indipendenza statistica V=1 associazione perfetta Più V si avvicina ad 1 e più aumenta il grado di associazione tra X e Y 20

Calcolo di χ2 e V H=3, K=2 quindi il minimo tra H-1 e K-1 è uguale a 1 21

Per caratteri che non sono qualitativi sconnessi Se X e/o Y sono qualitativi ordinati o quantitativi (in classi), un’analisi esplorativa sulla tabella doppia con l’indice Chi-quadrato è sempre possibile Tuttavia ci sono indici più opportuni da utilizzare 22

Un carattere quantitativo e uno qualsiasi Se Y è un carattere quantitativo e X è qualitativo o quantitativo discreto o quantitativo continuo ma raggruppato in classi si può costruire un indice che misuri l’intensità della dipendenza in media di Y da X, si parla di rapporto di correlazione. 23

Caratteri quantitativi Se X e Y sono quantitativi si può costruire un indice che misuri l’intensità del legame lineare tra le variabili (covarianza, coefficiente di correlazione). 24

Rappresentazione grafica Grafico di dispersione Due variabili quantitative Ricavi sull’asse X Costi sull’asse Y Ogni punto rappresenta una unità (un punto vendita) Le coordinate (x,y) del punto rappresentano i valori rispettivamente dei ricavi e dei costi osservati per quel punto vendita n=9 coppie di valori del tipo (xi,yi) 25

Grafico di dispersione Da come si dispongono i punti sul piano possiamo capire il tipo di relazione (se esiste) tra le due variabili In questo caso, a ricavi alti corrispondono costi alti e, viceversa, a ricavi bassi corrispondono costi bassi C’è una relazione lineare positiva (concordanza) tra costi e ricavi 26

Interdipendenza tra due caratteri quantitativi Covarianza: Indice simmetrico di associazione tra due variabili quantitative Cov > 0 se prevalgono scostamenti concordi di X e Y (bassi valori di X corrispondenti a bassi valori di Y oppure alti valori di X corrispondenti a alti valori di Y). Cov < 0 se prevalgono scostamenti discordi (alti valori di una variabile associati a bassi valori dell’altra variabile) Cov = 0 in assenza di relazione lineare tra X e Y 27

Covarianza nulla Cov(X,Y)=0 28

Covarianza positiva (concordanza) Cov(X,Y)>0 29

Covarianza negativa (discordanza) Cov(X,Y)<0 30

Legame non lineare La relazione tra X e Y non è di tipo lineare Ci aspettiamo un valore di Cov(X,Y) prossimo allo 0, il che indica assenza di legame lineare X e Y NON sono indipendenti, ma legati da una forte relazione di tipo non lineare 31

Correlazione lineare Indice relativo di concordanza/discordanza perfetta discordanza discordanza assenza di legame lineare concordanza concordanza perfetta 32

Concordanza e discordanza perfetta ρ=1 Perfetta concordanza ρ=-1 Perfetta discordanza 33

Calcolo della covarianza Ricavi (X) Costi (Y) 350 205 200 100 600 500 270 180 120 105 340 210 280 140 Scarti X Scarti Y 25 16,11 -125 -88,99 275 161,11 175 81,11 -55 11,11 -145 -68,89 -120 -83,89 15 21,11 -45 -48,89 (Scarti X) x (Scarti Y) 402,8 11111,1 44305,6 14194,4 -611,1 9988,9 10066,7 316,7 2200,0 Media 325 188,89 34

Calcolo del coefficiente di correlazione Ricavi (X) Costi (Y) 350 205 200 100 600 500 270 180 120 105 340 210 280 140 C’è una forte concordanza tra ricavi e costi Media 325 188,89 Dev std 134,66 78,48 35

Ancora sulla covarianza 36

Relazioni tra variabili: riepilogo Tipo di relazione Caratteri Struttura dati Indici Interdipendenza tra X e Y qualsiasi (se qualitativi sconnessi è l’unico tipo di relazione da studiare) Tabella doppia di frequenze χ2 V (relativo) Dipendenza in media di Y da X Y quantitativo X qualsiasi (se quantitativo continuo, in classi) Valori raggruppati in base alle modalità di X η2 (relativo) Interdipendenza tra X e Y (concordanza/discordanza) quantitativi Coppie di valori Cov ρ (relativo) 37