“BLAISE PASCAL”- Voghera- LICEO DELLE SCIENZE UMANE “BLAISE PASCAL”- Voghera- MATEMATICA III

Scomposizione di polinomi Scomporre significa trasformare un polinomio di partenza nel prodotto di altri polinomi di grado inferiore rispetto al polinomio di partenza, uno dei quali può anche essere un monomio. In questo caso il polinomio è detto riducibile Raccoglimento totale a fattor comune Si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione 𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐴𝐷=𝐴 𝐵+𝐶+𝐷 Il fattore A è quello messo in evidenza ed è di solito il MCD dei termini del polinomio da scomporre. Il polinomio B+C+D è il quoziente tra il polinomio dato e il termine A: Es: 2𝑥 2 +6𝑥𝑦+4𝑥=𝟐𝒙∙𝑥+𝟐𝒙∙3𝑦+𝟐𝒙∙2=𝟐𝒙∙ 𝑥+3𝑦+2 𝑨∙ 𝐵+ 𝑨∙ 𝐶+ 𝑨∙ 𝐷=𝑨∙ (𝐵+𝐶+𝐷) Raccoglimento parziale a fattor comune Si applica quando è possibile effettuare dei raccoglimenti parziali tra gruppi di termini in modo tale che successivamente sia possibile mettere in evidenza un fattor comune 𝑎𝒙−3𝒙+𝑎𝒚−3𝒚=𝒙 𝑎−3 +𝒚 𝑎−3 =(𝑎−3)(𝑥+𝑦) si mette in evidenza (𝑎−3)

Scomposizione di polinomi Trinomio scomponibile nel quadrato di un binomio 𝐴 2 +2𝐴∙𝐵+ 𝐵 2 = 𝐴+𝐵 2 Differenza di due quadrati 𝐴 2 − 𝐵 2 = 𝐴+𝐵 ∙ 𝐴−𝐵 Polinomio scomponibile nel quadrato di un trinomio 𝐴 2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 +2𝐴𝐵+2𝐴𝐶+2𝐵𝐶= 𝐴+𝐵+𝐶 2 Somma e differenza di cubi 𝐴 3 + 𝐵 3 = 𝐴+𝐵 ( 𝐴 2 −𝐴𝐵+ 𝐵 2 ) 𝐴 3 − 𝐵 3 = 𝐴−𝐵 ( 𝐴 2 +𝐴𝐵+ 𝐵 2 Scomposizione del trinomio notevole 𝑥 2 + 𝐴+𝐵 𝑥+𝐴∙𝐵= 𝑥+𝐴 ∙ 𝑥+𝐵 Quadrinomio scomponibile nel cubo di un binomio 𝐴 3 + 𝐵 3 +3 𝐴 2 𝐵+3𝐴 𝐵 2 = 𝐴+𝐵 3

POLINOMI Frazioni algebriche Definizione: è un’espressione letterale della forma 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑛 𝐵≠0 dove 𝐴 𝑒 𝐵 sono polinomi e B è diverso dal polinomio nullo; 𝐴 𝑒 𝐵 sono i termini della frazione, 𝐴 è il numeratore e 𝐵 è il denominatore Condizioni di esistenza di una frazione algebrica Una frazione algebrica ha significato per i valori numerici che, attribuiti alle lettere che figurano in essa, non annullano il suo denominatore 𝑎+2 𝑎+4 ℎ𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑎≠−4→𝐶.𝐸:𝑎≠−4 Proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo il numeratore e il denominatore di una frazione algebrica per uno stesso polinomio non nullo, si ottiene una frazione algebrica equivalente alla data

POLINOMI Frazioni algebriche Semplificazione di una frazione algebrica: è necessario dividere il numeratore e il denominatore per un divisore comune 𝐴 𝐵 = 𝑎 2 𝑏𝑥− 𝑎 2 𝑏𝑦 3 𝑎 3 𝑏 = 𝑎 2 𝑏 𝑥−𝑦 3 𝑎 3 𝑏 = 𝑥−𝑦 3𝑎 il divisore comune è 𝑎 2 𝑏 Riduzione di più frazioni algebriche allo stesso denominatore Si semplificano le frazioni date Il denominatore comune cercato è il mcm dei denominatori Si divide il denominatore comune per il denominatore di ciascuna frazione Si moltiplica il numeratore di ciascuna frazione per il corrispondente quoziente determinato al punto c. I prodotti così ottenuti sono i numeratori delle frazioni richieste il cui denominatore comune è quello determinato al punto B Nota: il procedimento di riduzione è analogo a quello usato per le frazioni numeriche allo stesso modo: Le operazioni con le frazioni algebriche seguono le stesse regole viste per le frazioni numeriche

IL SECONDO GRADO Equazioni di secondo grado Premesso che un’equazione algebrica intera nell’incognita x può essere scritta nella forma detta NORMALE o CANONICA: P(x) =0 in cui P(x) è un polinomio, Si definisce equazione di II grado un’equazione in cui P(x) è un polinomio di secondo grado. La forma canonica di un’equazione di II grado è quindi: a, b e c sono detti rispettivamente coefficienti del termine di II grado, di I grado e termine noto 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 Se tutti i coefficienti, a, b e c sono ≠ da 0 l’equazione di dice completa Se b = 0 l’equazione diventa incompleta ax 2+c=0 ed è detta pura Se c = 0 l’equazione diventa incompleta ax 2+bx=0 ed è detta spuria Se a=0 l’equazione diventa bx +c =0, cioè un’equazione di I grado.

IL SECONDO GRADO Equazioni di secondo grado E’ possibile dimostrare che un’equazione di II grado, quando è risolvibile ha sempre due soluzioni in campo reale. Nel caso dell’equazione completa   le soluzioni sono date dalla formula:   Si ricorda che la radice quadrata di un numero esiste se il radicando è ≥ 0, perciò si possono fare le seguenti considerazioni: Se   l’ equazione ha due soluzioni distinte   l’ equazione ha due soluzioni coincidenti Se     Se   l’ equazione non ha soluzioni in campo reale, si dice impossibile

IL SECONDO GRADO Equazioni di secondo grado Nel caso di equazioni incomplete, anziché utilizzare la formula precedente si procede più velocemente come di seguito: Nel caso dell’equazione spuria   si può scrivere   da cui si ottengono, applicando la legge di annullamento del prodotto, le due soluzioni   Nel caso dell’equazione pura   si può scrivere       da cui se se   L’equazione è impossibile

disequazioni di secondo grado IL SECONDO GRADO disequazioni di secondo grado Sono disequazioni che si presentano in una delle seguenti forme           Valgono le regole riportate nella tabella seguente Δ= b2-4ac Primo coefficiente e segno della disequazione ax2 +bx+c>0 ax2 +bx+c<0 ax2 +bx+c≥0 ax2 +bx+c≤0   Δ > 0 concordi x<x1 o x>x2 x ≤ x1 o x ≥ x2 discordi x1<x<x2 x1≤ x ≤ x2 Δ < 0 qualunque x≠x1=x2 qualunque x nessuna x= x1 =x2 Δ = 0

Equazioni irrazionali RADICALI Equazioni irrazionali Definizione: un’equazione in una incognita, si dice irrazionale se in essa compaiono uno o più radicali contenti l’incognita. In generale si presenta nella forma:     Si risolvono elevando a potenza n entrambi i termini dell’equazione, eliminando quindi le radici e ottenendo così un’equazione razionale che si può risolvere. Occorre però tener presente che: Elevando entrambi i membri di un’equazione ad una potenza con esponente pari, si ottiene un’equazione che può non essere equivalente a quella data Elevando entrambi i membri di un’equazione ad una potenza con esponente dispari si ottiene un’equazione equivalente alla data (stesse soluzioni) Per le due proprietà sopra scritte: nei casi in cui l’indice di radice è pari è necessario procedere ad una verifica delle soluzioni trovate Nei casi in cui l’indice è dispari, le soluzioni ottenute sono accettabili e non c’è necessità di verifica

Equazioni irrazionali RADICALI Equazioni irrazionali Un esempio 2𝑥−3 =5−2𝑥 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑠𝑖 ℎ𝑎 2𝑥−3= 5−2𝑥 2 →2𝑥−3=25−20𝑥+4 𝑥 2 4 𝑥 2 −22𝑥+28=0→2 𝑥 2 −11𝑥+14=0 𝑥 1 = 11− 121−112 4 = 11−3 4 = 8 4 =2== 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 = = 𝑥 2 = 11+ 121−112 4 = 11+3 4 = 14 4 = 7 2 == Verifica delle soluzioni trovate, sostituendo i valori di x trovati, si ha:    

disequazioni irrazionali RADICALI disequazioni irrazionali Definizione: una disequazione in una incognita, si dice irrazionale se in essa compaiono uno o più radicali contenti l’incognita. Si presenta nella forma:        

RADICALI Disequazioni irrazionali Indice pari        

PIANO CARTESIANO Parabola Definizione: è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice   Vertice   Asse di simmetria   Fuoco   Direttrice

PIANO CARTESIANO La circonferenza Definizione: è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro Equazione della circonferenza di centro C (x0 ; y0 ) e raggio r Se la circonferenza ha centro nell’origine degli assi cioè C (0; 0) l’equazione è L’equazione rappresenta l’equazione di una circonferenza con centro C e raggio r      

PIANO CARTESIANO L’ellisse Definizione: è il luogo dei punti di un piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi Ellisse riferita al centro e agli assi con i fuochi sull’asse x    

PIANO CARTESIANO L’iperbole Definizione: è il luogo dei punti di un piano per i quali è costante la differenza ( in valore assoluto) delle distanze da due punti fissi detti fuochi Iperbole riferita al centro e agli assi con i fuochi sull’asse x

Dipendenza statistica correlazione e regressione INTERPOLAZIONE: date due distribuzioni statistiche x1, x2, …..xn; e y1, y2,….yn il problema della interpolazione consiste nel determinare una funzione y=f(x) detta funzione interpolante che descriva la relazione tra i valori di x e di y , nel caso in cui la funzione interpolante passi esattamente per i punti (x1;y1) (x2; y2)…(xn; yn) si parla di interpolazione matematica ( o interpolazione per punti)

Dipendenza statistica correlazione e regressione INTERPOLAZIONE STATISTICA ( O REGRESSIONE) : il problema della REGRESSIONE consiste nel determinare all’interno di una classe di funzioni (lineare, esponenziale, polinomiale …) quella i cui valori f(x1), f(x2), f(x3)…. f(xn) meglio approssimano i dati y1; y2; y3;……yn

REGRESSIONE LINEARE : il problema consiste nel determinare l’equazione della retta ( detta RETTA DI REGRESSIONE) i cui punti meglio approssimano i valori (x 1;y 1), (x 2; y 2), ……..(x n ; y n). L’equazione della retta di regressione si determina attraverso la seguente: y - M y = a * ( x – Mx ) in cui My; Mx e a sono calcolati rispettivamente con: M x è il valore medio dei valori x1,x2,….. x n M y è il valore medio dei valori y1,y2,….. y n il coefficiente angolare della retta si determina svolgendo la divisione tra la somma dei prodotti degli scarti dalla media e la somma dei quadrati degli scarti dalla media degli x i valori

REGRESSIONE LINEARE : il problema consiste nel determinare l’equazione della retta ( detta RETTA DI REGRESSIONE) i cui punti meglio approssimano i valori (x 1;y 1), (x 2; y 2), ……..(x n ; y n). L’equazione della retta di regressione si determina attraverso la seguente: y - M y = a * ( x – Mx ) in cui My; Mx e a sono calcolati rispettivamente con: M x è il valore medio dei valori x1,x2,….. x n M y è il valore medio dei valori y1,y2,….. y n il coefficiente angolare della retta si determina svolgendo la divisione tra la somma dei prodotti degli scarti dalla media e la somma dei quadrati degli scarti dalla media degli x i valori

CORRELAZIONE: è il termine che in statistica indica se le variazioni di due caratteri quantitativi X e Y sono collegate tra loro. Se al crescere di X cresce anche Y si parla di correlazione positiva; se al crescere di X , Y decresce si parla di correlazione negativa L’indice di correlazione di Pearson, r : è un coefficiente che permette di stabilire se due caratteri quantitativi sono correlati tra loro. E’ dato da: dove σXY; σx ; σY sono dati da: r assume valori compresi tra -1 e 1: -1≤ r ≤ 1 se r =-1 la correlazione è negativa; se r = 1 la correlazione è positiva; se r =0 non c’è correlazione tra i due caratteri quantitativi