LA CIRCONFERENZA

COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA Vediamo come trovare l'equazione di una circonferenza se conosciamo alcune sue caratteristiche. L'equazione generale di una circonferenza è: x²+y²+ax+by+c=0. Per poter determinare i tre coefficienti a,b e c, servono tre condizioni. Se conosciamo le coordinate di tre punti, possiamo scrivere un sistema di tre equazioni in tre incognite (i coefficienti a,b,c  ) sostituendo le loro coordinate alla x  e alla y  della circonferenza. Vogliamo ora trovare i coefficienti a,b,c  dell'equazione di una circonferenza, sapendo che passa per un punto e che il centro è C : la prima equazione sarà data dalla sostituzione delle coordinate del punto nell’equazione della circonferenza, la seconda equazione si ottiene ponendo l’ascissa del centro= - a/2 e la terza equazione ponendo l’ordinata del centro = -b/2 Determiniamo l’equazione di una circonferenza che passa per due punti e tangente ad una retta data: le prime due equazioni si otterranno dalla sostituzione delle coordinate dei due punti nell’equazione della circonferenza. Poi mettiamo a sistema l’equazione generica della circonferenza con l’equazione della retta e poniamo il =0 (condizione di tangenza). L’equazione =0 sarà la terza equazione del sistema.

INTERSEZIONI TRA DUE CIRCONFERENZE Due circonferenze nel piano che si intersecano hanno due punti in comune. Quindi, facendo il sistema fra le due circonferenze è possibile trovare le coordinate dei punti. Pero' un'equazione di una circonferenza e' di secondo grado, quindi il sistema fra le due circonferenze sarebbe di quarto grado quindi per risolvere il problema possiamo utilizzare una proprieta' delle equazioni: la somma o la differenza termine a termine fra due equazioni valide e' ancora un'equazione valida.

Trovare i punti comuni alle circonferenze x2+ y2 - 2x = 0 x2+ y2 - 4x - 2y + 4= 0 metto a sistema le due equazioni x2+ y2 - 2x = 0 x2+ y2 - 4x - 2y + 4 = 0 sottraggo le due equazioni termine a termine  x2 + y2 - 2x             = 0 -x2 - y2 + 4x + 2y - 4 = 0 ------------------------------------     //     //   +  2x + 2y - 4 = 0 Posso ancora semplificarla dividendola per 2 x + y - 2 = 0 Sostituisco ora questa equazione alla seconda equazione del sistema x2+ y2 - 2x = 0 x + y - 2 = 0 Ricavo la x dalla seconda equazione x2+ y2 - 2x = 0 x = 2 - y Sostituisco il valore della x nella prima equazione (2 - y)2+ y2 - 2(2 - y) = 0 x = 2 - y y1 = 0     y2 = 1 I punti cercati sono A(2;0) B(1;1) I sol. y = 0 x=2 II sol. y = 1 x=1 I punti cercati sono A(2,0)     B(1,1) A fianco una rappresentazione grafica del problema

Dimostrazione teorica Quello che abbiamo fatto come esercizio è in modo teorico: Considero le due circonferenza: x2+ y2 + ax + by + c = 0 x2+ y2 + a1x + b1y + c1 = 0 metto a sistema le due equazioni x2+ y2 + ax + by + c = 0 x2+ y2 + a1x + b1y + c1 = 0 sottraggo le due equazioni termine a termine x2+ y2 + ax        + by        + c = 0 -x2- y2 – a1x        - b1y         - c1 = 0 ----------------------------------------------------------     //     // (a – a1)x + (b – b1)y + c – c1 = 0 questa e' un'equazione di primo grado che sostituita ad una delle due equazioni del sistema rende il sistema di secondo grado. L'equazione di primo grado che abbiamo ottenuto sottraendo termine a termine le due circonferenze e' (a – a1)x + (b – b1)y + c – c1 = 0 ed e' l'equazione di una retta perche' e' di primo grado nelle incognite x e y e, poiche‘ risolvendo il sistema si ottengono i punti comuni alle due circonferenze, la retta deve passare per quei due punti. Questa retta e' la perpendicolare alla retta che congiunge i raggi delle due circonferenze: viene chiamata    Asse radicale

ASSE RADICALE DI DUE CIRCONFERENZE CIRCONFERENZE CHE NON HANNO PUNTI IN COMUNE CIRCONFERENZE SECANTI CIRCONFERENZE TANGENTI Si dice asse radicale di due circonferenze secanti, la retta passante per i due punti di intersezione delle due circonferenze. indicati con A e B  i punti di intersezione delle due circonferenze,  la retta ottenuta  come differenza tra le equazioni delle due circonferenze (combinazione lineare ), dovrà necessariamente passare per A e B e sarà pertanto l’asse radicale delle due circonferenze. Sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene quindi l’equazione dell’asse radicale che è (a – a1)x + (b – b1)y + c – c1 = 0 Se le due circonferenze sono tangenti esternamente o internamente, l’asse radicale passerà per il punto di tangenza. Si parla di asse radicale di due circonferenze anche nel caso in cui le due circonferenze non abbiano punti comuni. L’asse radicale sarà sempre quella retta che risulterà perpendicolare alla congiungente i due centri e si otterrà sottraendo membro a membro le equazioni delle due circonferenze. Nel caso di circonferenze concentriche non esiste l’asse radicale.

l’equazione dell’asse radicale è (a – a1)x + (b – b1)y + c – c1 = 0 Il coefficiente angolare dell’asse radicale è mentre il coefficiente angolare della retta passante per i centri C ( ) e C1 ( ) è m = e poiché m dell’asse radicale per m della retta passante per i centri = l’asse radicale è perpendicolare alla retta passante per i centri delle due circonferenze. Se si conosce l’asse radicale si possono trovare i punti di intersezione tre due circonferenze, mettendo a sistema l’equazione dell’asse radicale con l’equazione di una circonferenza.

FASCI DI CIRCONFERENZE Un fascio di circonferenze è un insieme di circonferenze con una caratteristica in comune. Prendiamo due circonferenze γ 1   e γ 2, due numeri reali p e q non entrambi nulli contemporaneamente, cioè se p=0  allora q≠0  e viceversa. Il fascio di circonferenze è la combinazione lineare di γ 1   e γ 2   rispetto ai due coefficienti p e q: F:p(x² +y² +ax+by+c)+q(x² +y² +a ′x+b ′y+c)=0  γ 1   e γ 2   sono le generatrici del fascio di circonferenze F. p e q non possono essere nulli contemporaneamente. Supponiamo allora che p≠0  e dividiamo l'equazione di F per p e poniamo q/p =k  . L'espressione di F diventa F:x² +y² +ax+by+c+k(x² +y² +a ′x+b ′y+c)=0  Svolgendo i calcoli nell’equazione del fascio possiamo scrivere: (1+k)x² +(1+k)y² +(a+ka ′)x+(b+kb ′)y+c+kc ′=0 Per k diverso da -1 otteniamo l’equazione: Per k = -1 (che equivale a sottrarre membro a membro le due equazioni generatrici) otteniamo l’equazione della retta asse radicale del fascio: (a-a’)x+(b-b‘)y+c+c‘=0. L’asse radicale può essere considerato come una particolare circonferenza con un raggio infinitamente grande, ossia come una circonferenza degenere.

Se le due circonferenze generatrici del fascio si intersecano nei punti A e B, tutte le circonferenze del fascio passano per A e B, che vengono detti punti base del fascio e l’asse radicale è la retta AB. L’asse centrale è la retta che passa per i centri delle circonferenza, perpendicolare all’asse radicale. Se le due circonferenze generatrici del fascio sono tangenti nel punto A, allora tutte le circonferenze del fascio passano per A che è l’unico punto base e l’asse radicale è la retta tangente in A alla circonferenza. L’asse centrale è la retta che passa per i centri delle circonferenza, perpendicolare all’asse radiale. Se le due circonferenze generatrici del fascio non si intersecano, non esistono punti in comune alle circonferenze del fascio e l’asse radicale è esterno alle circonferenze. L’asse centrale è la retta che passa per i centri delle circonferenza, perpendicolare all’asse radiale. Se le due circonferenze generatrici del fascio sono concentriche e quindi a=a‘ e b=b‘, l’asse radicale non esiste.

STUDIO DI UN FASCIO DI CIRCONFERENZE Per studiare un fascio di circonferenze bisogna trovare: centro e raggio in funzione di k le due generatrici i punti base l’asse radicale e l’asse centrale eventuali circonferenze degeneri Studiamo il fascio: x²+y²+kx+(k-2)y-7-k=0 Le coordinate dei centri al variare di k sono C( ) La misura dei raggi è: r= Troviamo le equazioni generatrici: x²+y²+kx+ky-2y-7-k=0 raccogliamo per k: x²+y²-2y-7+k(x+y-1)=0 Le equazioni delle circonferenze generatrici sono: x²+y²-2y-7=0 e x+y-1=0 L’equazione dell’asse radicale del fascio è rappresentata dalla seconda equazione: y=-x+1 Troviamo i punti base del fascio mettendo a sistema le equazioni delle generatrici: x²+y²-2y-7=0 x²+(-x+1)²-2(-x+1)-7=0 x²+ x²-2x+1+2x-2-7=0 2x²-8=0 x=2 x+y-1=0 Y= -x+1 Y= -x+1 Y= -x+1 Y=-x+1

I punti base sono A(+2;-1) e B(-2;+3) Attribuiamo a k alcuni valori: Per k=0 x²+y²-2y-7=0 C(0;1) r= 2√2 Per k=1 x²+y²+x-y-8=0 C¹( ) r= L’asse centrale è la retta che passa per C e per C¹: m= 1=1(0) +q q=1 Y= x+1