La distribuzione binomiale Detta anche di Bernoulli o delle prove ripetute (seguirà anche la presentazione della distribuzione di Poisson o dei casi rari)

La variabile aleatoria x è discreta Considerando n prove ripetute il cui esito può verificare una proposizione (evento) con una probabilità p , allora la probabilità Pn(x) che si verifichi x volte l’evento è data da: Essendo q = 1 – p la probabilità contraria al verificarsi dell’evento.

Come si dimostra Nell’ipotesi che le prove siano indipendenti, cioè che il verificarsi dell’evento E non modifichi la probabilità con cui può verificarsi nella prova successiva, allora: L’evento composto “E si è verificato x volte e (quindi) non si è verificato (n – x) volte” ha probabilità data dalla somma di tutte le probabilità in cui si possono combinare le n prove negli x successi o, che è lo stesso, in cui si possono combinare le n prove negli (n – x) insuccessi.

Qualche spiegazione in più … Calcolo della probabilità che nelle n ripetizioni l’evento E (che ha probabilità p di verificarsi) si sia verificato nelle prime x ripetizioni: P(EE … EE E… E) = x volte (n – x) volte = pp…pqq…q = pxqn-x x volte (n – x) volte

La probabilità che l’evento E si sia verificato x volte indipendentemente dall’ordine: Tuttavia nelle permutazioni degli n esiti ci sono anche le x! permutazioni e le (n-x)! permutazioni in ogni combinazione: EE EE EEE la combinazione non cambia se permuto le E o le E Ecco perché:

Un esempio con n = 20 , p = 1/6

Il valore medio di una variabile binomiale è np (=) Dimostrazione: Posto k = x – 1  x = k + 1 , la somma diventa:

Riassumendo: Si ha che: Ovvero: Quindi:

La varianza di una variabile binomiale è npq Dimostrazione:

continuazione Quindi:

infine Quindi:

Il massimo di probabilità si ha in x = int[p(n+1)] Valutiamo la differenza di probabilità tra due valori successivi x e x + 1 : dP = P n (x+1) – P n (x) = Raccogliendo a fattor comune:

continuazione Ricordando che q = 1 – p e che p + q = 1 : La differenza P n (x+1) – P n (x) risulta maggiore di zero finché risulta: x < p(n+1) – 1 Quindi per x = int[p(n+1)] la probabilità è massima

Nel caso in cui np  10 e n > 50 La distribuzione di Bernoulli è approssimata molto bene dalla distribuzione di Poisson: In cui con  si è indicato il valor medio N.B.: n > 50 e np  10 sono condizioni che approssimano le ipotesi n   e p  0 da cui la distribuzione di Bernoulli diviene quella di Poisson

Il caso n = 100 , p = 1/6 è così così

Il caso n = 100 , p = 1/20 va meglio

Dimostrazione Sostituendo p = /n alla distribuzionen P n (x) : Nel limite n   ( p  0 ma con np = ) Si ottiene proprio la distribuzione di Poisson.

La distribuzione di Poisson è detta anche dei casi rari Esempi: Probabilità che una squadra in un campionato faccia x gol per partita Probabilità che un nucleo radioattivo decada in un secondo

Il valore medio della variabile di Poisson è  Dimostrazione: Effettuando la sostituzione k = x – 1  x = k + 1

La varianza della variabile di Poisson è sempre  Dimostrazione: Con la solita sostiutzione k = x – 1 …

K = x – 1  x = k + 1 si ottiene:

Il massimo di probabilità si ha in k = int[-1] Valutiamo la differenza di probabilità tra due valori successivi x e x + 1 : dP = P(x+1) – P(x) = La differenza P(x+1) – P(x) risulta maggiore di zero finché risulta: x <  – 1 Quindi per x = int[ – 1] la probabilità è massima

L’esempio dei gol

L’istogramma

L’esempio del decadimento radioattivo Dalla legge dedotta sperimentalmente: dN = – Ndt si è ricavata la legge: N = N0e–t Ove N0 è il numero di nuclei radioattivi presenti all’istante iniziale (t = 0) La probabilità che uno degli N0 nuclei decada tra t e t + dt è:

Per t = 1 e dt = 1 si ha: P(un decadimento tra 1 e 2 secondi) = e- Che corrisponde alla probabilità di un caso raro con valore medio 