Lezione nr. 2 Vettori e Cinematica del punto Fisica Generale 1 Ingegneria Edile F. Garufi

Fabio Garufi - Fisica Generale I Cenni sui vettori In fisica si distinguono grandezze scalari – per esempio la massa o la temperatura di un corpo – e grandezze vettoriali – ad esempio lo spostamento di un punto. Uno scalare è identificato da un solo valore numerico – per es. una massa di 30 g – e l’unità di misura che ne identifica la natura fisica. Per individuare lo spostamento di un punto nello spazio, non basta dire che si è spostato di 10 cm, bisogna specificare anche la direzione (per es. lungo l’asse Nord-Sud) ed il verso (Verso Nord). Questo tipo di grandezza è un vettore. Fabio Garufi - Fisica Generale I

Rappresentazione dei vettori I vettori, come si intuisce, sono rappresentabili come segmenti orientati nello spazio. 𝐹 = 𝐴𝐵 Sono caratterizzati da un modulo |AB| che ne rappresenta la lunghezza, la direzione, data dalla retta di applicazione r, ed il verso, indicato dalla punta della freccia (da A a B) Il modulo del vettore 𝐹 è sempre positivo Il punto di origine – A - è il punto di applicazione del vettore, che in molti problemi può essere indeteriminato r B A 𝐹 y x Fabio Garufi - Fisica Generale I

Rappresentazione cartesiana dei vettori I Riferito alla terna cartesiana, il segmento orientato 𝐹 , è definito univocamente dalle coordinate (x,y,z) del punto A e quelle (x’, y’, z’) del punto B. Le proiezioni di 𝐹 nella direzione degli assi si chiamano le componenti del vettore 𝐹 : 𝐹 𝑥 = 𝑥 ′ −𝑥 𝐹 𝑦 = 𝑦 ′ −𝑦 𝐹 𝑧 = 𝑧 ′ −𝑧 Il modulo del vettore, ovvero la sua lunghezza, lo calcoliamo con il teorema di Pitagora: 𝐹 = 𝐹 𝑥 2 + 𝐹 𝑦 2 + 𝐹 𝑧 2 Detti 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 i vettori unitari nelle direzioni rispettivamente di x, y e z (i versori degli assi), allora 𝐹 = 𝐹 𝑥 𝑖 + 𝐹 𝑦 𝑗 + 𝐹 𝑥 𝑘 ≡ 𝐹 𝑥 𝐹 𝑦 𝐹 𝑧 = 𝑖=1 3 𝐹 𝑖 𝑒 𝑖 Avendo indicato con 𝑒 𝑖 i versori dei tre assi supposto che sia: 𝑥 1 =𝑥; 𝑥 2 =𝑦; 𝑥 3 =𝑧: 𝑖=1 3 𝐹 𝑖 𝑒 𝑖 = 𝐹 1 𝑒 1 + 𝐹 2 𝑒 2 + 𝐹 3 𝑒 3 Fabio Garufi - Fisica Generale I

Rappresentazione cartesiana dei vettori II Alternativamente, possiamo determinare il vettore dandone il modulo, le coordinate del punto di applicazione A e l’orientazione; L’orientazione rispetto agli assi coordinati è individuata dai coseni direttori cos(xF), cos(yF), cos(zF), ove xF, yF, e zF sono gli angoli che il vettore F forma con i tre assi. Siccome esiste una relazione che lega i tre coseni direttori: cos 2 (xF)+ cos 2 (yF)+ cos 2 (zF) = 1, solo due sono indipendenti. Fabio Garufi - Fisica Generale I

Rappresentazione cartesiana dei vettori II I coseni direttori possono essere espressi in funzione delle componenti del vettore: 𝐹 = 𝐹 𝑥 2 + 𝐹 𝑦 2 + 𝐹 𝑧 2 cos 𝑥𝐹 = 𝐹 𝑥 𝐹 cos 𝑦𝐹 = 𝐹 𝑦 𝐹 cos 𝑧𝐹 = 𝐹 𝑧 𝐹 𝐹 y 𝐹 𝑥 x Fabio Garufi - Fisica Generale I

Fabio Garufi - Fisica Generale I Algebra dei vettori Tra i vettori possono essere definite le operazioni di somma e moltiplicazione e moltiplicazione per uno scalare. La somma di vettori gode della proprietà commutativa ed associativa: A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C; Rispetto alla somma esiste l’elemento inverso e l’elemento nullo 0: A +(-A) = 0 Si dice che rispetto alla somma, i vettori formino un gruppo commutativo (o abeliano) Fabio Garufi - Fisica Generale I

Dimostrare la regola della somma con le componenti 𝑅 = 𝐴 + 𝐵 𝑅 𝑥 𝑅 𝑦 = 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 + 𝐵 𝑥 𝐵 𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 𝐴 𝑦 + 𝐵 𝑦 O con i versori: 𝑅 = 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 + 𝐵 𝑥 𝑖 + 𝐵 𝑦 𝑗 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 + 𝐵 𝑦 𝑗 Fabio Garufi - Fisica Generale I

Algebra dei vettori: prodotto per uno scalare Il prodotto di un vettore 𝐹 per uno scalare a - 𝐹 ’=a 𝐹 - è un vettore il cui modulo è il prodotto del modulo per il valore assoluto dello scalare, il cui verso è dato dal verso del vettore per il segno dello scalare e la direzione è immutata. Rispetto al prodotto per uno scalare, valgono le proprietà associativa e distributiva: (a+b) 𝐹 =a 𝐹 +b 𝐹 ; a( 𝐹 + 𝐹 ’)=a 𝐹 +a 𝐹 ’; a(b 𝐹 )=(a 𝐹 )𝑏 Fabio Garufi - Fisica Generale I

Algebra dei vettori: prodotti fra vettori Esistono due modi in cui si possono moltiplicare fra loro due vettori: uno in cui il prodotto è ancora un vettore, l’altro in cui il prodotto è uno scalare. Dal punto di vista algebrico, il primo è un’operazione interna allo spazio dei vettori ed i matematici lo chiamano prodotto esterno o, più comunemente, prodotto vettoriale e si indica con il simbolo × (in alcuni testi ⋀) Nel secondo caso, il prodotto restituisce uno scalare e si chiama prodotto scalare e si indica con il simbolo ∙ Fabio Garufi - Fisica Generale I

Fabio Garufi - Fisica Generale I Prodotto scalare Il prodotto scalare di due vettori 𝐴 e 𝐵 è un numero il cui valore è 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 𝜃 dove 𝜃 è l’angolo che i vettori formano fra loro Rappresenta il modulo di un vettore per la proiezione dell’altro lungo la direzione del primo Se 𝐴 ⊥ 𝐵 allora 𝐴 ∙ 𝐵 =0 Se 𝐴 ∥ 𝐵 ⇒ 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝐵 ; di conseguenza 𝐴 2 = 𝐴 ∙ 𝐴 𝐵 𝐴 A cos 𝜃 Fabio Garufi - Fisica Generale I

Dimostrare la regola del prodotto scalare con le componenti Fabio Garufi - Fisica Generale I

Fabio Garufi - Fisica Generale I Prodotto vettoriale 𝐴 𝐵 θ 𝐴 × 𝐵 Il prodotto vettoriale di due vettori 𝐴 e 𝐵 , è un vettore il cui modulo è 𝐴 𝐵 sin 𝜃 e la cui direzione è ortogonale al piano individuato dai due vettori. Il verso del vettore prodotto è dato dalla regola della mano sinistra: il medio indica la direzione di A, l’indice quella di B, il pollice la direzione del prodotto. C’è anche la regola della mano destra: il pollice indica la direzione del prodotto e le dita si chiudono da A verso B. Se 𝐴 ∥ 𝐵 ⇒ 𝐴 × 𝐵 =0⇒ 𝐴 × 𝐴 =0 Se 𝐴 ⊥ 𝐵 ⇒ 𝐴 × 𝐵 =AB 𝐴 × 𝐵 =− 𝐵 × 𝐴 , pseudovettore Il prodotto vettoriale non è distributivo: ( 𝐴 × 𝐵 )× 𝐶 ≠ 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 Infatti basta prendere A parallelo a B: il primo prodotto è nullo, il secondo no. Fabio Garufi - Fisica Generale I

Dimostrare la regola del prodotto vettoriale con le componenti Fabio Garufi - Fisica Generale I

Fabio Garufi - Fisica Generale I Prodotti tripli Siccome esistono due tipi di prodotti fra vettori, sono possibili due prodotti tripli fra vettori: 𝐴 × 𝐵 ∙ 𝐶 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 Dei rimanenti: due volte il prodotto scalare non è possibile perché il prodotto scalare restituisce un numero, né è possibile il 𝐴 ∙ 𝐵 × 𝐶 , per lo stesso motivo… Fabio Garufi - Fisica Generale I

Fabio Garufi - Fisica Generale I Prodotto misto 𝐴 × 𝐵 =𝐴𝐵 sin 𝜃 𝐴𝐵 sin 𝜃 è l’area del parallelogramma formato dai due vettori Se A e B giacciono sul piano xy, il loro prodotto vettoriale, 𝐹 = 𝐴 × 𝐵 , è lungo l’asse z 𝐹 ∙ 𝐶 =𝐹𝐶 cos 𝜑 =𝐹 𝑂𝐻 OH è l’altezza del parallelepipedo il prodotto misto è il volume del parallelepipedo individuato dai tre vettori. z H 𝐶 ϕ 𝐵 O y θ 𝐴 x Fabio Garufi - Fisica Generale I

Prodotto vettoriale triplo 𝐷 = 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 𝐷 è nel piano individuato da B e C essendo perpendicolare a 𝐵 × 𝐶 , dunque: 𝐷 =𝑚 𝐵 +𝑛 𝐶 Ma 𝐷 è anche perpendicolare ad 𝐴 , dunque: 𝐴 ∙ 𝐷 =0=𝑚 𝐴 ∙ 𝐵 +𝑛( 𝐴 ∙ 𝐶 ) che è verificata per 𝑚=𝑘 𝐴 ∙ 𝐶 e 𝑛=−𝑘 𝐴 ∙ 𝐵 , dunque 𝐷 =𝑘 𝐴 ∙ 𝐶 𝐵 − 𝐴 ∙ 𝐵 𝐶 Si può mostrare che 𝑘=1, dunque: 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐶 𝐵 − 𝐴 ∙ 𝐵 𝐶 Fabio Garufi - Fisica Generale I

Cinematica del punto materiale Studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue cause Il moto è completamente determinato se è nota la posizione del corpo in funzione del tempo Necessità di un sistema di riferimento per determinare la posizione Diversi tipi di sistemi di riferimento: Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z Polare (2 dimensioni): r, f Sferico (3 dimensioni): r, q, f Fabio Garufi - Fisica Generale I

Coordinate sul piano Cartesiane Polari

Fabio Garufi - Fisica Generale I Cinematica Ogni coordinata è funzione del tempo  legge oraria: x(t), y(t), z(t) r(t), f(t) r(t), f(t), z(t) r(t), q(t), f(t) Traiettoria: è il luogo dei punti dello spazio occupati dal corpo nei successivi istanti di tempo dà informazioni di tipo geometrico, e si scrive ad esempio y=f(x) tratteremo traiettorie semplici (rettilinee, paraboliche circolari) Fabio Garufi - Fisica Generale I

Posizione e spostamento La posizione di un corpo in un determinato sistema di riferimento è identificata dalle sue coordinate rispetto all’origine. Lo spostamento è una variazione della posizione, per es. dalla coordinata 𝑥 1 alla coordinata 𝑥 2 . Indichiamo la variazione con la lettera greca Δ. Si scrive: ∆𝑥= 𝑥 2 − 𝑥 1 Esempio: uno spostamento dal punto a 1 m a sinistra dell’origine al punto a 6 m a destra, lungo l’asse x sarà: ∆𝑥=6− −1 =7; se avessimo fatto il percorso inverso, da +6 a -1, ∆𝑥= −1 −6=−7 La posizione è un vettore dall’origine al punto considerato, e dunque lo spostamento è il vettore differenza tra le posizioni di fine ed inizio. Valgono, dunque tutte le considerazioni fatte per i vettori z 𝑟 1 𝑟 2 − 𝑟 1 𝑟 2 y Nota: se il corpo si sposta lungo una curva nello spazio, lo spostamento può essere molto diverso dallo spazio totale percorso, che dipende dalla forma della curva. x Fabio Garufi - Fisica Generale I

Velocità media ed istantanea Un modo compatto di descrivere il moto è attraverso il grafico della posizione in funzione del tempo (legge oraria) 𝑥=𝑥(𝑡). La velocità indica quanto spazio si è percorso in un certo intervallo di tempo: 𝑣 𝑚𝑒𝑑 = 𝑥( 𝑡 2 )−𝑥( 𝑡 1 ) 𝑡 2 − 𝑡 1 = ∆𝑥 ∆𝑡 Indica la velocità media del moto nell’intervallo di tempo 𝑡 2 − 𝑡 1 Le dimensioni fisiche della velocità sono [v]=[L] [𝑇] −1 e le unità nel SI sono 𝑚 𝑠 −1 Nel grafico, la velocità è la pendenza del segmento che unisce i due punti considerati. Fra questi due punti, la velocità può cambiare; la tangente alla curva che descrive la legge oraria, punto per punto, rappresenta la velocità istantanea (istante per istante): 𝑣= lim ∆𝑡→0 ∆𝑥 ∆𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Derivate e integrali Fabio Garufi - Fisica Generale I

Fabio Garufi - Fisica Generale I Velocità vettoriale Quanto detto, vale anche in più dimensioni; lo spostamento è un vettore, e il rapporto tra lo spostamento ed il tempo (che è uno scalare) è ancora un vettore. Esempio: una particella, al tempo 𝑡 1 è in 𝑟 (𝑡 1 )= 1 3 7 , dopo 2 secondi si è spostata nel punto 𝑟 (𝑡 2 )= 2 4 9 , quale sarà la velocità media nell’intervallo di tempo 𝑡 2 − 𝑡 1 =2𝑠? 𝑣 𝑚𝑒𝑑 = 𝑟 ( 𝑡 2 )− 𝑟 ( 𝑡 1 ) 𝑡 2 − 𝑡 1 = 2−1 4−3 9−7 2 = 1 1 2 2 = 1 2 1 2 1 m/s Il modulo di questa velocità vettoriale è quella che segnerebbe il tachimetro nei 2s: v= 3 2 m/s. Si noti che in Inglese si usano due parole diverse per indicare il vettore velocità (velocity) ed il suo modulo (speed) Fabio Garufi - Fisica Generale I

Fabio Garufi - Fisica Generale I Esercizio y Una particella si muove lungo una circonferenza di raggio r=1m, con moto circolare uniforme in senso antiorario. Ad un certo istante, la velocità è 𝑣 𝑥 = 2𝑚 𝑠 −1 ; 𝑣 𝑦 =2𝑚 𝑠 −1 . Dove si trova la particella in quell’istante? Le coordinate del punto lungo la circonferenza sono date da: 𝑥=𝑟 cos 𝜃(𝑡) 𝑦=𝑟 sin 𝜃 (𝑡) Le componenti della velocità, che è tangente alla circonferenza saranno: 𝑣 𝑥 = 𝑑 𝑟 cos 𝜃(𝑡) 𝑑𝑡 =−𝑟 𝜃 sin 𝜃(𝑡) 𝑣 𝑦 = 𝑑𝑟 𝑟 sin 𝜃(𝑡) 𝑑𝑡 =𝑟 𝜃 cos 𝜃(𝑡) Dunque le velocità saranno uguali nelle due componenti quando −sin 𝜃(𝑡) = cos 𝜃(𝑡) , che visto il verso di rotazione, sono nel II e IV quadrante. Affinché siano entrambe positive, come nei dati del problema, devono essere nel IV => 𝜃= 3𝜋 2 𝑣 r 𝜃 x Moto circolare uniforme: il modulo della velocità lungo la circonferenza è costante e pari a 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑡 ≡𝑟𝜔 Fabio Garufi - Fisica Generale I

Fabio Garufi - Fisica Generale I Accelerazione Analogamente a quanto visto per la velocità rispetto allo spostamento, la variazione della velocità nel tempo è l’accelerazione: 𝑎 𝑚𝑒𝑑 = ∆ 𝑣 ∆𝑡 ; 𝑎 = 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 L’accelerazione potrà essere diversa da zero anche se il modulo della velocità non cambia, basta che cambi direzione. L’accelerazione può avere componenti sia lungo la tangente sia lungo la normale alla traiettoria del moto. Fabio Garufi - Fisica Generale I

Ricavare la legge oraria dalla velocità e dall’accelerazione. 𝑣= 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⇒𝑥= 𝑣 𝑑𝑡+ 𝑥 0 𝑎= 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 ⇒𝑣= 𝑎 𝑑𝑡+ 𝑣 0 ; integrando nuovamente: 𝑥= 𝑣 𝑑𝑡+ 𝑥 0 = 𝑥 0 + 𝑣 0 𝑡+ 𝑑𝑡 0 𝑡 𝑎 𝑑𝑡′ . Se l’accelerazione è costante 𝑥= 𝑥 0 + 𝑣 0 𝑡+ 1 2 𝑎 𝑡 2 Fabio Garufi - Fisica Generale I

Esempio Se il corpo che cade da altezza h con velocità iniziale nulla: x0=h, v0=0, t0=0 si ha: Il corpo raggiunge il suolo, cioè il punto x=0, al tempo: con velocità:

Fabio Garufi - Fisica Generale I Il moto dei proiettili Consideriamo una particella che si muove in due dimensioni soggetta all’accelerazione di gravità 𝑔 , diretta verso il basso, a partire da una velocità iniziale 𝑣 0 : 𝑔 =0 𝑖 −𝑔 𝑗 𝑣 0 = 𝑣 0𝑥 𝑖 + 𝑣 0𝑦 𝑗 ⇒ 𝑣 = 𝑣 0𝑥 𝑖 +( 𝑣 0𝑦 −𝑔𝑡) 𝑗 𝑥 𝑦 = 𝑥 0 +𝑣 0𝑥 𝑡 𝑦 0 +𝑣 0𝑦 𝑡− 1 2 𝑔 𝑡 2 Ricordando che 𝑣 0𝑥 = 𝑣 0 cos 𝜃 0 ; 𝑣 0𝑦 = 𝑣 0 sin 𝜃 0 Dunque nel moto del proiettile, la velocità iniziale rimane costante lungo l’asse orizzontale, ed è uniformemente accelerata lungo l’asse y. Risolvendo l’equazione in x, rispetto al tempo, otteniamo 𝑡= 𝑥− 𝑥 0 𝑣 0 cos 𝜃 0 Sostituendo nell’equazione in y: 𝑦= 𝑦 0 + 𝑥− 𝑥 0 tan 𝜃 0 − 𝑔 𝑥− 𝑥 0 2 2 𝑣 0 cos 𝜃 0 2 Che ci dice che la traiettoria è una parabola. Fabio Garufi - Fisica Generale I

Fabio Garufi - Fisica Generale I Lancio da x=0; y=0 𝑦=𝑥 tan 𝜃 0 − 𝑔 𝑥 2 2 𝑣 0 cos 𝜃 0 2 Incrocia l’asse delle x quando y=0, dunque in 0…e ce l’aspettavamo e quando 𝑥 tan 𝜃 0 = 𝑔 𝑥 2 2 𝑣 0 cos 𝜃 0 2 dunque: 𝑥= 2 tan 𝜃 0 𝑣 0 cos 𝜃 0 2 𝑔 = 2 𝑣 0 2 𝑔 sin 𝜃 0 cos 𝜃 0 = 𝑣 0 2 𝑔 sin 2𝜃 0 Questo valore di x è la gittata del lancio ed è massima quando sin 2𝜃 0 =1 cioè per 2 𝜃 0 = 𝜋 2 ; l’altezza del massimo si ha quando 𝑣 𝑦 =0⇒ 𝑣 0𝑦 =𝑔𝑡;⇒𝑡= 𝑣 0𝑦 𝑔 𝑦 𝑚 = 𝑦 0 + 𝑣 0𝑦 2 𝑔 − 1 2 𝑔 𝑣 0𝑦 2 𝑔 2 = 𝑦 0 + 1 2 𝑣 0𝑦 2 𝑔 Fabio Garufi - Fisica Generale I