QUALE GEOMETRIA SULLA SFERA? Daniel Battocletti, Klaus Conte, Luca Degasper, Luca Dellantonio, Lara Milan, Christian Nicolussi Moro, Jessica Parisi, Giulia Pergher, Luciana Zingg Prof. Italo Tamanini – Prof. Diego Gottardi Bottega del Matematico 2009 30 marzo – 2 aprile

KARL FRIEDRICH GAUSS Braunschweig, 30 aprile 1777 Göttingen, 23 febbraio 1855

Longitudine -180° < λ ≤ 180° Latitudine -90° ≤ φ ≤ 90°

Coordinate geografiche: (λ, φ) Coordinate cartesiane: (x, y, z) x = Rcosφcosλ y = Rcosφsinλ z = Rsinφ

Distanza tra due punti sulla sfera

Geometria sul piano e sulla sfera rette e segmenti sul piano e sulla sfera poligoni sul piano e sulla sfera

Il biangolo

Area del biangolo 𝐴 𝐿 𝛼 : 𝐴 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =𝛼:2π 𝐴 𝐿 𝛼 = 4απ 𝑅 2 2π = 2αR 2

I triangoli sferici Intersezione di tre circonferenze massime passanti per tre punti non allineati. 12

I triangoli sferici Ad ogni triangolo sferico ne corrisponde uno antipodale 13

Limitazioni geometriche Condizioni di esistenza di un triangolo sferico Legenda: “a”, “b”, “c” lati del triangolo sferico 14

Limitazioni goniometriche Condizioni di esistenza di un triangolo sferico Legenda: “α”, “β”, “γ” angoli del triangolo sferico 15

Il triangolo equilatero Triangoli simili Non esiste similitudine

Limitazioni di un triangolo equilatero Condizioni di esistenza di un triangolo sferico Legenda: “α” angolo del triangolo sferico “l” lato del triangolo sferico 17

Il triangolo trirettangolo Sulla sfera possiamo individuare un particolare tipo di triangolo detto trirettangolo 18

Il triangolo trirettangolo Legenda: “α" angolo del triangolo sferico “l” lato del triangolo sferico 19

I criteri di congruenza LAL Due lati e l’angolo compreso 20

I criteri di congruenza ALA Un lato e i due angoli adiacenti 21

I criteri di congruenza LLL Tre lati 22

I criteri di congruenza AAA Tre angoli Inapplicabilità del concetto di similitudine sulla sfera 23

Area di un triangolo generico 24

Area di un triangolo generico 𝑇 𝐴𝐵𝐶 = T(ABC) = L(A) ∩ L(B) ∩ L(C) 25

Area di un triangolo generico 26

Area di un triangolo generico

Area di un triangolo generico Dove ε = α + β + γ – π è l’eccesso sferico 28

Relazioni trigonometriche Teorema di Eulero 29

Per i triangoli equilateri − 30

Il teorema di Pitagora per il triangolo sferico a = ipotenusa b, c = cateti 31