Tassellature del piano Con poligoni regolari “Il matematico , come il pittore o il poeta è un creatore di forme,e se le forme che crea sono più durature delle loro è perchè le sue sono fatte di idee.” Godfrey H. Hardy (matematico inglese 1877-1947)

definizione Tassellare il piano in modo regolare significa ricoprire il piano con poligoni regolari in modo che non ci siano né sovrapposizioni, né spazi vuoti.

Percorso didattico

Le pavimentazioni con poligoni regolari congruenti sono solo tre Sia n= numero di lati del poligono regolare Sia K=numero di poligoni concorrenti nello stesso vertice Poiché la somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è uguale a (n-2)180° si ha: K[(n-2)180°/n]=360° da cui semplificando : K=2n/n-2 Si hanno le seguenti possibilità accettabili: Se n=3 allora K=6 cioè in ogni vertice convergono 6 triangoli equilateri Se n= 4 allora K=4 cioè in ogni vertice convergono 4 quadrati; Se n= 6 allora K=3 cioè in ogni vertice convergono 3 esagoni regolari. Vedi fig.1 Vedi fig.2 Vedi fig.3

Figura 1.1 (3,3,3,3,3,3) In ogni vertice convergono 6 triangoli equilateri Tassellatura ottenuta a partire da un triangolo equilatero con simmetrie assiali rispetto ai lati.

Figura 1.2 (4,4,4,4)In ogni vertice convergono 4 quadrati Tassellatura ottenuta da un quadrato con simmetrie assiali rispetto ai lati.

Figura 1.3 (6,6,6) In ogni vertice convergono 3 esagoni regolari Tassellatura ottenuta a partire da un esagono regolare mediante simmetrie assiali rispetto ai lati .

Tassellature con 2 tipi di poligoni regolari aventi stesso lato Tassellatura (4,8,8) Tassellatura (3,12,12) Tassellatura (3,3,3,3,6) Tassellatura (3,6,3,6) Tassellatura (3,3,4,4) Tassellatura (3,3,4,3,4) Vedi fig.2.1 Vedi fig.2.2 Vedi fig.2.3 Vedi fig 2.4 Vedi fig.2.5 Vedi fig.2.6

Figura 2.1: Tassellatura (4,8,8) Tassellatura ottenuta mediante simmetrie assiali di un ottagono regolare rispetto a quattro lati non consecutivi.

Figura 2.2: Tassellatura (12,12,3) Tassellatura ottenuta a partire da un dodecagono regolare con simmetrie assiali rispetto a lati non consecutivi.

Figura 2.3: Tassellatura (6,3,3,3,3) Tassellatura ottenuta mediante opportune simmetrie assiali di un triangolo equilatero rispetto ai lati.

Figura 2.4: Tassellatura (3,6,3,6) Tassellatura ottenibile mediante simmetrie centrali di un triangolo intorno ai suoi vertici o di un esagono intorno ai suoi vertici. Vedi esempio nell’arte

Figura 2.5:Tassellatura(3,3,3,4,4)

Figura 2.6:Tassellatura (3,3,4,3,4)

Tassellature con 3 tipi di poligoni regolari aventi stesso lato Tassellatura(3,4,6,4) Tassellatura(4,6,12) Vedi fig.3.1 Vedi fig.3.2

Figura 3.1: Tassellatura (3,4,6,4) Vedi esempio nell’arte

Figura 3.2: Tassellatura (4,6,12)

Mosaico 1 Questo mosaico è stato ottenuto a partire dal triangolo rettangolo isoscele con il motivo disegnato in figura attraverso le seguenti trasformazioni: Simmetria assiale rispetto all’ipotenusa; Rotazione di 90° rispetto al vertice dell’angolo retto

Mosaico 2 Mosaico ottenuto a partire da un triangolo equilatero mediante simmetrie assiali rispetto ai lati.

Mosaico 3 Mosaico ottenuto a partire da un triangolo rettangolo isoscele con simmetrie rispetto ai cateti e all’ipotenusa.

Mosaico 4 Mosaico ottenuto dal triangolo equilatero isoscele in figura attraverso: Simmetria assiale rispetto all’ipotenusa Rotazioni di 90° rispetto al vertice dell’angolo retto

Mosaico 5 Mosaico ottenuto dal triangolo rettangolo(30°,60°) in figura mediante simmetrie assiali rispetto ai lati.

Mosaico 6 Mosaico ottenuto dal triangolo rettangolo (30°,60°) in figura attraverso simmetrie assiali rispetto ai lati.

Curiosità 1 Perché le cellette di un alveare hanno sezione esagonale anziché triangolare o quadrata? Tra queste figure, a parità di perimetro, e quindi di cera, usata nella costruzione della cella, l’esagono regolare è quello che racchiude un’area maggiore.

Curiosità 2 Un entomologo ha catturato sette api. Vuole studiare il loro comportamento isolandole una dall’altra. Ha solo sei vasi a forma di prisma a base esagonale che può ricoprire con un’unica lastra di vetro. Come risolve il problema?…..

Curiosità 3 Il pallone da calcio si ottiene deformando un poliedro le cui facce sono esagoni e pentagoni regolari aventi lo stesso lato. Il suo sviluppo non costituisce una tassellatura del piano.

Curiosità 4 Esempio di tassellatura irregolare in natura.

Matematica e arte Pavimento cosmatesco nella Chiesa di San Clemente a Roma Vedi Tassellatura(3,6,3,6)

Matematica e arte Pavimento cosmatesco nella Chiesa di Santa Prassede a Roma Vedi Tassellatura(3,4,6,4)

Liceo Scientifico “N. Copernico” di Prato a.s. 2005/06 A cura di : Niccolò Cappellini (IIDs) Alessia De Lucia (IIDs) Elena Lucattelli (IIDs) Lorenzo Lombardi (IICs) Francesca Bresci (IICs) Giulia Ciardi (IICs) Greta Coppini(IICs) Carlotta Ponzecchi (IICs) Responsabili progetto: Prof.sse S. Casini, A. Lupi