1 ESEMPIO F ~ F’’ Definizione Si chiama similitudine la trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di una omotetia con una isometria, in qualunque ordine queste trasformazioni vengano applicate. Un’omotetia è una trasformazione di una figura dove gli angoli corrispondenti sono congruenti, i segmenti corrispondenti sono paralleli e il rapporto tra le loro lunghezze è costante; tutti i punti corrispondenti sono allineati con un punto fisso, che è il centro dell’omotetia. L’isometria è un movimento rigido di un oggetto o di una figura geometrica Per indicare che due figure G e G’ sono simili si scrive G ~ G’ ESEMPIO Applichiamo alla figura F una omotetia di centro O e rapporto k e successivamente una simmetria di asse r. F ~ F’’ 1

Proprietà Per la similitudine valgono tutte quelle proprietà che valgono contemporaneamente per una omotetia e per una isometria, quindi, in una similitudine: il rapporto fra segmenti corrispondenti è costante ed è uguale al valore assoluto del rapporto di omotetia; esso prende il nome di rapporto di similitudine e lo indicheremo con k angoli che si corrispondono sono congruenti la figura simile a una retta è una retta se due rette sono parallele anche le loro corrispondenti lo sono e se due rette sono incidenti anche le loro corrispondenti sono incidenti allo stesso modo. Inoltre: due figure omotetiche sono anche simili (l’isometria in questo caso coincide con l’identità) due figure congruenti sono anche simili (l’omotetia ha rapporto k = 1). 2

Per i triangoli esistono inoltre tre criteri di similitudine Riconoscere poligoni simili Se due poligoni hanno: i lati proporzionali: gli angoli congruenti: allora sono simili. Per i triangoli esistono inoltre tre criteri di similitudine 3

4 I criteri di similitudine Teorema (I criterio di similitudine). Due triangoli che hanno due coppie di angoli corrispondenti congruenti sono simili. A ≅ A’, B ≅ B’ ABC ~ A’B’C’ 4

5 I criteri di similitudine Teorema (II criterio di similitudine). Due triangoli che hanno una coppia di angoli corrispondenti congruenti e i lati che li determinano in proporzione, sono simili. AB : A’B’ = AC : A’C’, A ≅ A’ ABC ~ A’B’C’ 5

6 I criteri di similitudine Teorema (III criterio di similitudine). Due triangoli che hanno i lati corrispondenti in proporzione sono simili.. AB : A’B’ = AC : A’C’ = BC : B’C’ ABC ~ A’B’C’ 6

Primo teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto e' equivalente ad un rettangolo avente per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa. Ogni cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa. Ho costruito il rettangolo prendendo BC' congruente a BC BH è la proiezione del cateto AB in pratica devo dimostrare che, se il triangolo è rettangolo, le due figure in azzurro, il quadrato Q ed il rettangolo R, sono equivalenti Nei problemi sarà particolarmente importante la seguente forma del teorema: AB2 = BH · BC Poiché tale formula coinvolge 3 quantità sarà sufficiente conoscerne 2 per trovare la terza. Passiamo alla dimostrazione: Ipotesi BAC triangolo rettangolo Tesi Q equivalente R